正則行列（2）

前項で定義したとおり、正則行列とは逆行列を持つ行列のことです。

ここでは、正則行列について成り立つ演算法則を示します。

正則行列の演算#

定理 2.5（正則行列）#

正則行列に関して、次の演算法則が成り立つ。

解説#

正則行列について成り立つ演算法則#

任意の正則行列 $A, B \in GL_{n} (K)$ について、上記の（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iii}$）が成り立ちます。これらの演算法則は、正則行列の定義や転置行列に関する演算法則から直ちに導かれます。このことは、以下の証明からも明らかといえます。

ここで、$GL_{n} (K)$ は $n$ 次の正則行列全体の集合を意味しています。（記号の用法は正則行列の定義の項を参照してください。）

（$\text{i}$）行列の積の逆行列はそれぞれの逆行列の積に等しい#

行列 $A, B$ が正則であれば、行列の積 $AB$ も正則であり、$AB$ の逆行列は $B^{-1} A^{-1}$ に等しくなります。端的には、行列の積の逆行列はそれぞれの逆行列の積に等しい、といえます。

右辺と左辺で、積の順序が入替ることに注意が必要です。

（$\text{ii}$）逆行列の逆行列は元の行列に等しい#

行列 $A$ が正則であればその逆行列 $A^{-1}$ も正則であり、$A^{-1}$ の逆行列は $A$ に等しくなります。すなわち、逆行列の逆行列は元の行列に等しいということです。

（$\text{iii}$）転置行列の逆行列は逆行列の転置行列#

行列 $A$ が正則であればその転置行列 ${}^t A$ も正則であり、${}^t A$ の逆行列は $A^{-1}$ の転置行列に等しくなります。すなわち、転置行列の逆行列は逆行列の転置行列であるということです。

証明#

（$\text{i}$）$A, B$ を正則行列とすると $AA^{-1} = A^{-1} A = E, \; BB^{-1} = B^{-1} B = E$ となる $A^{-1}, B^{-1}$ が存在する。このとき、行列の積 $AB$ と $B^{-1}A^{-1}$ について、以下が成り立つ。

よって、$AB$ は正則であり $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ となる。

（$\text{ii}$）$A$ を正則行列とすると $AA^{-1} = A^{-1} A = E$ となる $A^{-1}$ が存在する。すなわち、行列 $A^{-1}$ は正則であり $(A^{-1})^{-1} = A$ となる。

（$\text{iii}$）$A$ を正則行列とすると $AA^{-1} = A^{-1} A = E$ となる $A^{-1}$ が存在する。このとき、行列の積 $AA^{-1}$ と $A^{-1}A$ について、以下が成り立つ。

よって、行列 ${}^t A$ は正則であり $({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$ となる。$\quad \square$

証明の考え方#

（$\text{i}$）の証明#

• $A, B$ が正則行列であるという仮定から $A^{-1}, B^{-1}$ の存在を示し、その積 $B^{-1}A^{-1}$ が $AB$ の逆行列であることを定義に従って示します。

• 計算により、$B^{-1}A^{-1}$ と $AB$ について、次が成り立つことが確かめられます。

  $$ \begin{split} (AB) (B^{-1}A^{-1}) &\overset{(1)} {=} A (BB^{-1}) A^{-1} \\ &\overset{(2)} {=} AA^{-1} \\ &\overset{(2)} {=} E \\ (B^{-1}A^{-1}) (AB) &\overset{(1)} {=} B (AA^{-1}) B^{-1} \\ &\overset{(2)} {=} BB^{-1} \\ &\overset{(2)} {=} E \\ \end{split} $$
  • （$1$）行列の積の結合法則（定理 2.2（行列の積））によります。
  • （$2$）正則行列の定義（$A, B$ が正則行列であるという仮定）によります。

• $(AB) (B^{-1}A^{-1}) = (B^{-1}A^{-1}) (AB) = E$ が成り立つので、$AB$ は正則であり、その逆行列は $B^{-1}A^{-1}$ であるということが示されました。

（$\text{ii}$）の証明#

• $A$ が正則であるという仮定から直ちに示せます。
  • $A$ が正則であるという仮定を $A^{-1}$ を主語として読み替えると、「行列 $A^{-1}$ に対して $AA^{-1} = A^{-1} A = E$ となる $A$ が存在する」となります。
  • これは、「行列 $A^{-1}$ に対して、その逆行列 $A$ が存在する」ということに他なりません。
  • したがって、正則行列の定義より、$A^{-1}$ は正則であるといえます。

（$\text{iii}$）の証明#

• $A$ が正則行列であるという仮定から $A^{-1}$ の存在を示し、行列の積 $AA^{-1}$ と $A^{-1}A$ の転置行列を考えます。

• 計算により、${}^t A$ と ${}^t (A^{-1})$ について、次が成り立つことが確かめられます。

  $$ \begin{split} {}^t (AA^{-1}) &\overset{(1)} {=} {}^t (A^{-1}) \, {}^t A \\ &\overset{(2)} {=} E \\ {}^t (A^{-1}A) &\overset{(1)} {=} {}^t A \, {}^t (A^{-1}) \\ &\overset{(2)} {=} E \\ \end{split} $$
  • （$1$）転置行列に関する演算法則によります（定理 2.3（転置行列））。すなわち、行列の積の転置に関して ${}^t (AB) = {}^t B \, {}^t A$ が成り立ちます。
  • （$2$）単位行列の性質によります。すなわち、定義より、単位行列に関して ${}^t E = E$ が成り立ちます。

• 以上から、${}^t A \, {}^t (A^{-1}) = {}^t (A^{-1}) \, {}^t A = E$ が成り立つので、${}^t A$ は正則であり、その逆行列は ${}^t (A^{-1})$ であるということが示されました。

まとめ#

• $A, B$ が正則であれば $AB$ も正則であり、$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ 。（積の順序に要注意）
• $A$ が正則であればその逆行列 $A^{-1}$ も正則であり、$((A)^{-1})^{-1} = A$ 。
• $A$ が正則であればその転置行列 ${}^t A$ も正則であり、$({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$ 。

参考文献#