転置行列

行列 $A$ の行と列を入れ替えた行列を $A$ の転置行列といい、${}^t A$ と表します。

ここでは、転置行列を定義するとともに、転置行列に関して成り立つ演算法則を示します。

転置行列の定義#

まず、転置行列の定義を示します。

定義 2.8（転置行列）#

$(m, n)$ 型の行列 $A$ に対して、$A$ の $(i, j)$ 成分を $(j, i)$ 成分とする $(n, m)$ 型の行列を、$A$ の転置行列（$\text{transpose / transposed matrix}$）といい、${}^t A$ と表す。

解説#

転置行列とは：行と列を入れ替えた行列#

くだけた表現でいえば、 転置行列とは、ある行列 $A$ の行と列を入れ替えた（縦横を逆にした）行列です。

すなわち、$A = (\, a_{ij} \,)$ を $(m, n)$ 型行列とすると、任意の $i, j$ について $a_{ij} = b_{ji}$ を満たす、$(n, m)$ 型の行列 $B = (\, b_{ji} \,)$ が $A$ の転置行列です。このとき、$B = {}^t A$ が成り立ちます。

転置行列の成分に成り立つ式#

もとの行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ と、その転置行列 $B = (\, b_{ji} \,)$ の各成分について、次が成り立ちます。

このことは、種々の定理の証明などにおいて非常に有用です。

転置行列の具体的なイメージ#

もとの行列 $A$ の成分を用いて、$A$ の転置行列 ${}^t A$ を書き下すと、次のようになります。

転置行列 ${}^t A$ においては、もとの行列 $A$ の各成分が対角線を軸にして折り返した位置に移っていることが確かめられます。

対称行列と交代行列#

特に、$A$ を正方行列としたとき、${}^t A = A$ を満たす行列 $A$ を対称行列（$\text{symmetric matrix}$）、${}^t A = -A$ を満たす行列 $A$ を交代行列（$\text{alternate matrix}$）といいます。

対称行列とは#

対称行列とは、${}^t A = A$ を満たすような行列のことです。

行列 $A$ が ${}^t A = A$ を満たすということは、行列 $A$ の成分が対角線を軸にして対称的であるということに他なりません。このような意味で、$A$ を対称行列と呼びます。

また、$A$ が対称行列であるとき、すべての $A$ の成分について、$a_{ij} = a_{ji}$ が成り立ちます。

交代行列とは#

交代行列とは、${}^t A = -A$ を満たすような行列のことです。

行列 $A$ が ${}^t A = -A$ を満たすということは、行列 $A$ の成分は転置に対して $(-1)$ 倍になるということです。このような意味で、$A$ を対称行列と呼びます。

また、行列 $A$ が交代行列であるとき、すべての $A$ の成分について、$a_{ij} = - a_{ji}$ が成り立ちます。

用語について（交代行列）#

多くの教科書（ [1], [2], [3], [4]）において「交代行列（$\text{alternate matrix}$）」という用語が用いられています。

英語の教科書（ [6] など）では、$\text{antisymmetric}$ $\text{matrix}$ $\text{/}$ $\text{skew-symmetric}$ $\text{matrix}$ とされていることが多いようです。それぞれ、「反対称行列 / 歪対称（わいたいしょう）行列」などと訳されますが、これらは「交代行列」と同じものを指します。

転置行列と行列の型#

いま、特に $A$ が正方行列である場合に限って、 対称行列と 交代行列を定義しました。

しかしながら、 転置行列そのものは、正方行列に限らず、あくまで一般の $(m, n)$ 型行列に対して定義されます。

一般の $(m, n)$ 型行列の場合、その転置行列は $(n, m)$ 型行列になりますので、 対称行列や 交代行列はそもそも定義されません。

演算法則#

次に、転置行列について成り立つ演算規則を示します。

定理 2.3（転置行列）#

転置行列に関して、次の演算法則が成り立つ。

解説#

行列の転置の演算規則#

定理 2.3（転置行列）の（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iv}$）は、 転置行列について成り立つ演算規則です。ここで、$A, B \in M_{m, n} (K)$ は任意の行列、$c \in K$ は任意のスカラーを表しています。

これらの演算法則は、基本的には 転置行列の定義より明らかで、行列の各成分に着目することで、簡単に証明できます。

ただし、 （$\text{ii}$）の証明には比較的多くの手間がかかります。したがって、下記の 証明では、特に（$\text{ii}$）について詳述します。

行列の和の転置#

上記の （$\text{i}$）は、行列の和の転置行列がそれぞれの転置行列の和に等しいことを表しています。

ここで、行列の和が定義されるために、$A$ と $B$ は同じ型の行列である必要があります。

行列の積の転置#

同様に （$\text{ii}$）は、行列の積の転置行列がそれぞれの転置行列の積に等しいことを表しています。特に、左辺と右辺で、積の対象となる行列 $A$ と $B$ の順序が入れ替わっていることに注意が必要です。

これは、 行列の積が定義されるための条件を考えると当然といえます。

すなわち、$A$ を $(l, m)$ 型の行列、$B$ を $(m, n)$ 型の行列とすると、 転置行列の定義より、${}^{t} A$ は $(m, l)$ 型の行列、${}^{t} B$ は $(n, m)$ 型の行列となります。このとき、行列 $A$ の列数（$m$）と $B$ の行数（$m$）が等しく行列の積 $AB$ が定義できることは、転置行列 ${}^{t} B$ の列数（$m$）と ${}^{t} A$ の行数（$m$）が等しく行列の積 ${}^{t} B \, {}^{t} A$ が定義できることは同値となります。

転置行列の転置#

（$\text{iii}$）は、転置行列の転置行列が元の行列に等しいことを表しています。

行列のスカラー倍の転置#

（$\text{iv}$）は、行列のスカラー倍の転置行列が転置行列のスカラー倍に等しいことを表しています。

証明#

（$\text{i}$） 転置行列の定義より明らか。

（$\text{ii}$）$A = (\, a_{ij} \,)$ を $(l, m)$ 型行列、$B = (\, b_{jk} \,)$ を $(m, n)$ 型行列とすると、$AB$ の $(i,k)$ 成分は $\displaystyle \sum_{j}^{m} a_{ij} \, b_{jk}$ であるから、${}^t (AB)$ の $(k,i)$ 成分は $\displaystyle \sum_{j}^{m} a_{ij} \, b_{jk}$ となる。

また、このとき、${}^{t} B$ は $(n, m)$ 型行列、${}^{t} A$ は $(m, l)$ 型行列であるから、行列の積 ${}^{t} B {}^{t} A$ が定義できる。${}^t B$ の $(k,j)$ 成分は $b_{jk}$ であり、${}^t A$ の $(j,i)$ 成分は $a_{ij}$ であるから、${}^t B \, {}^t A$ の $(k,i)$ 成分は $\displaystyle \sum_{j}^{m} b_{jk} \, a_{ij}$ となる。

以上から、${}^t (AB)$ と ${}^t B \, {}^t A$ の対応する成分が等しく、したがって、${}^t (AB) = {}^t B \, {}^t A$ が成り立つ。

（$\text{iii}$）、（$\text{iv}$） 転置行列の定義より明らか。$\quad \square$

証明の考え方#

それぞれ、行列の成分に着目し、 転置行列の定義にしたがって証明できます。

特に（$\text{ii}$）の証明は、複数の 転置行列とその積を考えなければならないなど煩雑ですが、添え字に注意して ${}^t (AB)$ と ${}^t B \, {}^t A$ を丁寧に計算すれば、定義のみにしたがって証明できます。

（$\text{ii}$）の証明#

前提事項の整理#

• まず、$2$ つの行列 $A, B$ を、適当に（行列の積が定義できる形に）置く必票があります。
  • 定理の前提として、$AB$ が定義できなければなりません。
  • したがって、$A$ の列の数と $B$ の行の数が等しくなる必要があります。
• よって、$A$ を $(l, m)$ 型の行列、$B$ を $(m, n)$ 型の行列とします。
  • また、行列の成分を表すために、 $l, m, n$ に対応させて $i, j, k$ を用いることにします。
• 以上から、$A, B$ は、次のように表せます。
  $$ \begin{gather*} \begin{array} {cc} A = (\, a_{ij} \,), & B = (\, b_{jk} \,) \end{array} \\ \\ \Bigg[ \quad \begin{alignat*} {3} i &= 1, \cdots, l, \quad & j &= 1, \cdots, m, \\ k &= 1, \cdots, n \end{alignat*} \quad \Bigg] \end{gather*} $$
  
  

行列の積の計算#

• 行列の積の定義と 転置行列の定義にしたがって、行列の積の転置 ${}^t (AB)$ と、転置行列の積 ${}^t B \, {}^t A$ をそれぞれ計算します。

行列の積の転置 ${}^t (AB)$ の計算#

• まず、${}^t (AB)$ を計算します。
• 行列の積の定義より、$AB$ の $(i, k)$ 成分は $\displaystyle \sum_{j}^{m} a_{ij} \, b_{jk}$ です。
• 転置行列の定義より、${}^t (AB)$ の $(k, j)$ 成分は、$AB$ の $(i, k)$ 成分と等しくとなります。
• したがって、行列の積 $AB$ の転置行列 ${}^t (AB)$ は、次のように表せます。
  $$ \begin{align*} {}^t (AB) = \left( \, \sum_{j}^{m} a_{ij} \, b_{jk} \, \right) \end{align*} $$

転置行列の積 ${}^t B \, {}^t A$ の計算#

• 次に、${}^t B \, {}^t A$ を計算します。
• 転置行列の定義より、${}^t B$ の $(k,j)$ 成分は $B$ の $(j, k)$ 成分と等しく、$b_{jk}$ です。同様に、${}^t A$ の $(j, i)$ 成分は $A$ の $(i, j)$ 成分と等しく、$a_{ij}$ です。
• よって、 行列の積の定義より、${}^t B \, {}^t A$ の $(k,i)$ 成分は $\displaystyle \sum_{j}^{m} b_{jk} \, a_{ij}$ と表すことができます。
• したがって、$A$ と $B$ の転置行列の積 ${}^t B \, {}^t A$ は、次のように表せます。
  $$ \begin{align*} {}^t B \, {}^t A = \left( \, \sum_{j}^{m} b_{jk} \, a_{ij} \, \right) \end{align*} $$

証明のまとめ#

• 以上から、${}^t (AB)$ の $(k, i)$ 成分と、${}^t B \, {}^t A$ の $(k, i)$ 成分が等しいことがわかりました。

  $$ \begin{align*} \sum_{j}^{m} a_{ij} \, b_{jk} = \sum_{j}^{m} b_{jk} \, a_{ij} \end{align*} $$

• すなわち、$2$ つの行列 ${}^t (AB)$ と ${}^t B \, {}^t A$ の対応する成分が等しいので、${}^t (AB) = {}^t B \, {}^t A$ が成り立ちます。

まとめ#

• 行列 $A$ の $(i, j)$ 成分を $(j, i)$ 成分とする行列を $A$ の転置行列といい、${}^t A$ と表す。
  • $A = (\, a_{i,j} \,)$ の転置行列を $B = (\, b_{j,i} \,)$ とすると、$a_{i,j} = b_{j,i}$ が成り立つ。
  • 特に $A$ が正方行列のとき、${}^t A = A$ ならば対称行列、${}^t A = -A$ ならば交代行列という。
• 転置行列に関して、次の演算法則が成り立つ。
  $$ \begin{gather*} (\text{i}) & {}^t (A + B) = {}^t A + {}^t B \\ (\text{ii}) & {}^t (AB) = {}^t B \, {}^t A \\ (\text{iii}) & {}^t ({}^t A) = A \\ (\text{iv}) & {}^t (c A) = c \, {}^t A\\ \end{gather*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.