行列式の性質（2）

行列式の性質に関する諸定理を導きます。ここでは、交代性と呼ばれる性質について示します。

行列式の交代性は、前項で示した多重線型性と合わせて、行列式を特徴づける基本的な性質の $1$ つです。行列式の交代性により、「$2$ つの行を入れ替えると行列式は $-1$ 倍される」、「$2$ つの行が等しい行列式の値は $0$ に等しい」、「ある行を定数倍したものを他の行に加えても行列式の値は変わらない」といった性質が導かれます。これらの性質は、行列式を計算する際のテクニックとして便利です。

交代性#

定理 3.9（行列式の交代性）#

$A = ( \, a_{i j} \, )$ を $n$ 次の正方行列とする。置換 $\tau$ によって $A$ の行の順序を変更して得られる行列の行列式は $\text{sgn} (\tau) \; \det A$ に等しい。

（3.5.4式）の左辺の行列式は、置換 $\tau$ によって $A$ の行の順序を変更して得られる行列の行列式を表しています。すなわち、この定理は、置換 $\tau$ によって行の順序を変更すると行列式は $\text{sgn} (\tau)$ 倍になるということを示しているともいえます。このことは、例えば、$\tau$ が $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行のみを入れ替え他の行は動かさない場合、すなわち $\tau$ が互換 $(\, i \; j \,)$ である場合などをイメージするとわかりやすいです。この場合、元の行列式 $\det A$ に対して、行の順序が入れ替えられた行列式を $\det B$ とすると、それぞれ次のようになります。このとき、$\det B = \text{sgn} (\tau) \det A$ が成り立つというのが定理 3.9の主張に他なりません。

もちろん、定理 3.9は（互換を含む）一般の置換に対して成り立つことを主張するものですので、$2$ つの行の入れ替えのみならず全行が入れ替わる場合を含めて、置換により得られた行列の行列式が、元の行列式の $\text{sgn} (\tau)$ 倍に等しいということを示しています。この定理が成り立つとき、行列式は行について交代的（$\text{alternating}$）であるといい、この性質を交代性と呼びます。

この定理から直ちに導かれる系として、系 3.10「$2$ つの行を入れ替えると行列式は $-1$ 倍になる」、系 3.11「$2$ つの行が等しい行列式の値は $0$ である」、系 3.12「ある行を定数倍したものを他の行に加えても行列式の値は変わらない」など、行列式の性質についての具体的な考察が得られます。これらは、行列式をより計算しやすい形に変形するためのテクニックとして良く用いられる性質でもあり、行列式の交代性が行列式の基本的な性質の $1$ つであるといえます。

証明（定理 3.9）#

$A = ( \, a_{i j} \, ), \; B = ( \, b_{i j} \, ) = ( \, a_{\tau(i) \, j} \, )$ と置くと、$\det B$ は次のように表すことができる。

いま、$\sigma$ が $S_n$ 全体をわたるならば $\sigma \tau^{-1}$ も $S_n$ 全体をわたり、$\text{sgn} (\sigma) = \text{sgn} (\sigma \tau^{-1} \, \tau) = \text{sgn} (\sigma \tau^{-1}) \, \text{sgn} (\tau)$ であるから、

したがって、$\det B = \text{sgn} (\tau) \; \det A$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の骨子#

行列式の定義と置換の符号の性質から導きます。

• まず、行の順序が入れ替えられた行列の行列式（（3.5.4式）の左辺）を行列式の定義に従って示します。

  • 置換 $\tau$ により行の順序が入れ替えられる前の行列（（3.5.4式）の右辺）を $A = ( \, a_{i j} \, )$、行の順序が入れ替えられた行列（（3.5.4式）の左辺）を $B = ( \, b_{i j} \, ) = ( \, a_{\tau(i) \, j} \, )$ と置きます。

  • $\det B$ を行列式の定義に従って示すと、次のようになります。

    $$ \begin{split} \det B &\overset{(\text{i})}{=} \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; b_{1 \, \sigma(1)} \cdots b_{n \, \sigma(n)} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{\tau(1) \, \sigma(1)} \cdots a_{\tau(n) \, \sigma(n)} \\ \end{split} $$
    
    
    • （$\text{i}$）は行列式の定義そのものです。
    • （$\text{ii}$）は、$A$ と $B$ の置き方にしたがって、$B$ の成分を $A$ の成分で表しなおしています。

• 次に、並び替えにより $a_{\tau(1) \, \sigma(1)} \cdots a_{\tau(n) \, \sigma(n)} = a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)}$ と変形します。

  • これは、行番号が $\tau(1), \tau(2), \cdots, \tau(n)$ の順に並んでいる成分を、行番号が $1, 2, \cdots, n$ の順になるように並び替えていることに相当します。

  • 並び替えにより各成分がどのように順序になるかは、下のような対応をとってみるとわかりやすいです。下の対応において上段は行番号、下段は列番号を示しています。

    $$ \begin{array} {ccc} \begin{matrix} \tau(1) & \cdots & \tau(i) & \cdots & \tau(n) \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{matrix} & \; \Rightarrow \; & \begin{matrix} 1 & \cdots \; \cdots & n \\ \sigma \tau^{-1} (1) & \cdots \; \cdots & \sigma \tau^{-1} (n) \\ \end{matrix} \end{array} $$
    
    
    • まず、$\tau$ は全単射なので、$\lbrace \tau(1), \cdots, \tau(n) \rbrace$ は集合として $\lbrace 1, \cdots, n \rbrace$ に一致します。つまり、$\lbrace \tau(1), \cdots, \tau(n) \rbrace$ に対して、$\tau(i) = 1$ となる $i$ が必ず存在します。
    • いま、$\tau(i) = 1$ であるとして $i$ 番目に並んでいる $a_{\tau(i) \, \sigma(i)}$ という成分を $1$ 番目に持ってきます。ことのとき、$\tau(i) = 1 \Rightarrow i = \tau^{-1} (1)$ であることから、$\sigma(i) = \sigma( \tau^{-1} (1) ) = \sigma \tau^{-1} (1)$ が成り立ちます。
    • したがって、もともと $a_{\tau(i) \, \sigma(i)}$ であった成分は、並び替えにより $1$ 番目にくることで $a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)}$ と表すことができます。これは、並び替えにより添え字の表記が変わっただけで、成分自体が変わったわけではありません。
    • 同様の操作を $2 \sim n$ 番目の成分にも行うことで、$\tau(1), \tau(2), \cdots, \tau(n)$ 順から $1, 2, \cdots, n$ 順への並び替えが完了し、$a_{\tau(1) \, \sigma(1)} \cdots a_{\tau(n) \, \sigma(n)} = a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)}$ となります。

  • この並び替えにより、$\det B$ は次のようになります。

    $$ \begin{split} \det B &= \displaystyle \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{\tau{1} \, \sigma(1)} \cdots a_{\tau{n} \, \sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)} \\ \end{split} $$
    
    

• 最後に、もとの行列の行列式 $\det A$ の形を抽出します。

  • 置換の符号の性質を用いて、$\text{det} A$ の形を作ります。

    $$ \begin{split} \det B &\overset{(\text{i})}{=} \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma \tau^{-1}) \text{sgn} (\tau) \; a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \text{sgn} (\tau) \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma \tau^{-1}) \; a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)} \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \text{sgn} (\tau) \sum_{\sigma \tau^{-1} \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma \tau^{-1}) \; a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)} \\ &\overset{(\text{v})}{=} \text{sgn} (\tau) \; \det A \end{split} $$
    
    

    • （$\text{i}$）は上の考察より得られた形のままです。

    • （$\text{ii}$）は、置換の符号の性質より、$\text{sgn} (\sigma) = \text{sgn} (\sigma \tau^{-1} \, \tau) = \text{sgn} (\sigma \tau^{-1}) \, \text{sgn} (\tau)$ が成り立つことによります。すなわち、置換の積の符号は置換の符号の積に等しいということを用いています。この変形は少し突飛に見えますが、最終的に得たい形が $\tau$ を含む $\det B = \text{sgn} (\tau) \; \det A$ という式であるため、$\sigma = \sigma \epsilon = \sigma \tau^{-1} \tau$ としていると考えれば納得できるかと思います。

    • （$\text{iii}$）では、和の記号 $\sigma \in S_n$ に関係ない $\text{sgn} (\tau)$ をくくり出しています。

    • （$\text{iv}$）は、和の記号の対象を変更しています。$\tau, \sigma$ が全単射であることから $\tau^{-1}, \sigma \tau^{-1}$ も全単射であり、$\sigma$ が $S_n$ 全体をわたるとき $\sigma \tau^{-1}$ もまた $S_n$ 全体をわたります。したがって、$\sigma \in S_n$ に関する和を $\sigma \tau^{-1} \in S_n$ に関する和として置き換えています。

    • （$\text{v}$）ここまでの変形で得られた $\displaystyle \sum_{\sigma \tau^{-1} \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma \tau^{-1}) \; a_{1 \, \sigma \tau^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma \tau^{-1} (n)}$ は $\det A$ の定義式に他なりません。

  • 以上から $\det B = \text{sgn} (\tau) \; \det A$ となり、題意が示されました。

なお、次項において転置行列の行列式に関する定理を示しますが、行列式に関する性質で行について成り立つことは列についても成り立つことがわかります。つまり、交代性に関する定理 3.9は列の順序の変更についても成り立ちます。そして、実は、列の順序の変更についての方が証明しやすいです。上の証明にある（面倒な）並び替えの手順を踏む必要がなく $1$ 行少なく証明が完了できます。多くの教科書で、多重線型性や交代性に先立って、転置行列に関する定理が示されているのは、この為ではないかと勘繰ってしまいます。単に、行列を列ベクトルにより $A = (\bm{a}_1, \bm{a}_2, \cdots, \bm{a}_n)$ と表記した方が記載としてコンパクトだから、以降の定理を列についての定理として示したい、という理由もあるかと思われます。

次に、この定理から直ちに導かれる系を見てみます。

系 3.10#

$2$ つの行を入れ替えると、行列式は $-1$ 倍になる。

これは、定理 3.9において $\tau = (\, i \; j \,)$ とした場合に他なりません。互換は奇置換ですので $\text{sgn} ((\, i \; j \,)) = -1$ であり、$1$ 度の入れ替えで行列式が $-1$ 倍になることがわかります。

証明（系 3.10）#

系 3.11#

$2$ つの行が等しい行列式の値は $0$ である。すなわち、$a_{i \, k} = a_{j \, k} \; (1 \leqslant k \leqslant n)$ ならば、次が成り立つ。

系 3.11が示す「$2$ つの行が等しい行列式の値は $0$ である」という性質を指して行列式の交代性と呼ばれることもあります。定理 3.9と系 3.11はほぼ等価な命題ですが、定理 3.9よりも系 3.11の方が記述としてシンプルであるといえます。

またここでは、定理 3.9の系として系 3.11を導入し、証明においても定理 3.9の特殊な場合である系 3.10を用います。しかしながら、逆に、まず系 3.11を行列式の定義から示し、系 3.11と前項で示した多重線型性から定理 3.9を導くこともできます。どちらを定理としてどちらを系とするかは、どちらをより重要視するか（主たる命題とするか）ということですから、それぞれの好みに合わせて良いところかと思います。

証明（系 3.11）#

正方行列 $A$ において $i$ 列と $j$ 列が等しい、すなわち $a_{i \, k} = a_{j \, k} \; (1 \leqslant k \leqslant n)$ ならば、系 3.10より $\det A = - \det A$、したがって $\det A = 0$ である。$\quad \square$

系 3.12#

ある行を定数倍したものを他の行に加えても、行列式の値は変わらない。

証明（系 3.12）#

正方行列 $A$ の $j$ 行目を $c$ 倍したものを $i$ 行目に加えた行列の行列式について考えます。まず、定理 3.8（多重線型性）より、左辺は $2$ つの行列式の和に分解できます。つぎに、系 3.11より、同じ行を含む行列式は $0$ になりますので、右辺の第 $2$ 項の値は $0$ になります。結果として、元の正方行列 $A$ の行列式が得られます。

ある行（または列）を定数倍したものを他の行（または列）に加える、という操作は、行列式をより計算しやすい形に変形するためのテクニックとして多用されます。また、上の証明にも現れているとおり、この操作の正当性は、多重線型性と交代性という最も基本的な行列式の性質により与えられていることがわかります。

まとめ#

• 置換 $\tau$ によって行の順序を変更すると、行列式は $\text{sgn} (\tau)$ 倍になる。

  $$ \begin{equation*} \begin{vmatrix} \; a_{\tau(1) \, 1} & a_{\tau(1) \, 2} & \cdots & a_{\tau(1) \, n} \; \\ \; a_{\tau(2) \, 1} & a_{\tau(2) \, 2} & \cdots & a_{\tau(2) \, n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{\tau(n) \, 1} & a_{\tau(n) \, 2} & \cdots & a_{\tau(n) \, n} \; \\ \end{vmatrix} = \text{sgn} (\tau) \begin{vmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \end{equation*} $$
  
  
  • $2$ つの行を入れ替えると、行列式は $-1$ 倍になる。
    
  • $2$ つの行が等しい行列式の値は $0$ である。
    
  • ある行を定数倍したものを他の行に加えても、行列式の値は変わらない。
    

参考文献#