行列式の性質（3）

行列式の性質に関する諸定理を導きます。ここでは、転置行列の行列式が、もとの行列の行列式に等しいことを示します。

この性質により、行列式に関する性質で行について成り立つことは、列についても成り立つということが示されます。

転置行列の行列式#

定理 3.13（転置行列の行列式）#

転置行列の行列式は、もとの行列の行列式に等しい。

この定理は、行列の行と列を入れ替えても行列式の値が変わらないということを示しています。つまり、行列式の行と列に関する対称性を示すものであるともいえます。この定理が成り立つとき、もとの行列の行に関する性質は、転置行列において列に関する性質として変わらず成り立つということになりますから、一般に、行列式の行に関する定理は、列に関しても成り立つということがわかります。例えば、前項と前々項で行に関して示した定理 3.7（多重線型性）と定理 3.8（交代性）について、行列式は列に関しても多重線型かつ交代的であるということです。

証明#

$A = ( \, a_{i j} \, ), \; {}^t A = ( \, b_{i j} \, )$ とおくと、$b_{i j} = a_{j i}$ であるから、$\det {}^t A$ は次のように表せる。

いま $\sigma$ が $S_n$ 全体をわたるならば $\sigma^{-1}$ も $S_n$ 全体をわたり、$\text{sgn} (\sigma) = \text{sgn} (\sigma^{-1})$ であるから、

したがって、$\det {}^t A = \det A$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の骨子#

行列式の定義と置換の符号の性質から導きます。考え方は、前項に示した定理 3.8（交代性）の証明と同じです。

• まず、転置行列の行列式 $\det {}^t A$ を行列式の定義に従って示します。

  • 元の行列 $A = (\, a_{i j} \,)$ に対して、転置行列を ${}^t A = (\, b_{i j} \,)$ と置きます。このとき、$A$ と ${}^t A$ それぞれの成分の間には $b_{i j} = a_{j \, i}$ が成り立ちます。

  • $\det {}^t A$ を行列式の定義に従って示すと、次のようになります。

    $$ \begin{split} \det {}^t A &\overset{(\text{i})}{=} \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; b_{1 \, \sigma(1)} \cdots b_{n \, \sigma(n)} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{\sigma(1) \, 1} \cdots a_{\sigma(n) \, n} \\ \end{split} $$
    
    
    • （$\text{i}$）は行列式の定義そのものです。
    • （$\text{ii}$）は、$A$ と ${}^t A$ の置き方にしたがって、${}^t A$ の成分を $A$ の成分で表しなおしています。

• 次に、並び替えにより $a_{\sigma(1) \, 1} \cdots a_{\sigma(n) \, n} = a_{1 \, \sigma^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma^{-1} (n)}$ と変形します。

  • これは、$\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)$ という順に並んでいる成分を $1, 2, \cdots, n$ の順に並び替えていることに相当します。

  • 並び替えにより各成分がどのように順序になるかは、下のような対応をとってみるとわかりやすいです。下の対応において上段は行番号、下段は列番号を示しています。

    $$ \begin{array} {ccc} \begin{matrix} \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n) \\ 1 & \cdots & i & \cdots & n \\ \end{matrix} & \quad \Rightarrow \quad & \begin{matrix} 1 & \cdots \; \cdots & n \\ \sigma^{-1} (1) & \cdots \; \cdots & \sigma^{-1} (n) \\ \end{matrix} \end{array} $$
    
    
    • まず、$\sigma$ は全単射なので、$\lbrace \sigma(1), \cdots, \sigma(n) \rbrace$ は集合として $\lbrace 1, \cdots, n \rbrace$ に一致します。つまり、$\lbrace \sigma(1), \cdots, \sigma(n) \rbrace$ に対して、$\sigma(i) = 1$ となる $i$ が必ず存在します。
    • いま、$\tau(i) = 1$ であるとして $i$ 番目に並んでいる $a_{\sigma(i) \, i}$ という成分を $1$ 番目に持ってきます。ことのとき、$\sigma(i) = 1 \Rightarrow i = \sigma^{-1} (1)$ であることから、もともと $a_{\sigma(i) \, i}$ であった成分は、並び替えにより $1$ 番目にくることで $a_{1 \, \sigma^{-1} (1)}$ と表すことができます。これは、並び替えにより添え字の表記が変わっただけで、成分自体が変わったわけではありません。
    • 同様の操作を $2 \sim n$ 番目の成分にも行うことで、$\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)$ 順から $1, 2, \cdots, n$ 順への並び替えが完了し、$a_{\sigma(1) \, 1} \cdots a_{\sigma(n) \, n} = a_{1 \, \sigma^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma^{-1} (n)}$ となります。
    • もっと簡単に、
      $$ \begin{array} {ccc} \begin{pmatrix} \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n) \\ 1 & \cdots & i & \cdots & n \\ \end{pmatrix} & = \sigma^{-1} = & \begin{pmatrix} 1 & \cdots \; \cdots & n \\ \sigma^{-1} (1) & \cdots \; \cdots & \sigma^{-1} (n) \\ \end{pmatrix} \end{array} $$
      
      と考えてもわかりやすいかと思います。

  • この並び替えにより、$\det {}^t A$ は次のようになります。

    $$ \begin{split} \det {}^t A &= \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{\sigma(1) \, 1} \cdots a_{\sigma(n) \, n} \\ &= \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma^{-1} (n)} \\ \end{split} $$
    
    

• 最後に、もとの行列の行列式 $\det A$ の形を抽出します。

  • 置換の符号の性質を用いて、$\text{det} A$ の形を作ります。

    $$ \begin{split} \det {}^t A &\overset{(\text{i})}{=} \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma^{-1} (n)} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \sum_{\sigma^{-1} \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma^{-1}) \; a_{1 \, \sigma^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma^{-1} (n)} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \det A \end{split} $$
    
    
    • （$\text{i}$）は上の考察より得られた形のままです。
    • （$\text{ii}$）は、置換の符号の性質より、$\text{sgn} (\sigma) = \text{sgn} (\sigma^{-1})$ が成り立つことによります。すなわち、逆置換の符号はもとの置換の符号に等しいということを用いています。また、$\sigma$ が全単射であることから $\sigma^{-1}$ も全単射であり、$\sigma$ が $S_n$ 全体をわたるとき、$\sigma^{-1}$ もまた $S_n$ 全体をわたります。したがって、$\sigma \in S_n$ に関する和を $\sigma^{-1} \in S_n$ に関する和として置き換えています。
    • （$\text{iii}$）ここまでの変形で得られた $\displaystyle \sum_{\sigma^{-1} \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma^{-1}) \; a_{1 \, \sigma^{-1} (1)} \cdots a_{n \, \sigma^{-1} (n)}$ は $\det A$ の定義式に他なりません。

  • 以上から $\det {}^t A = \det A$ となり、題意が示されました。

まとめ#

• 転置行列の行列式は、もとの行列の行列式に等しい。
  
• 行列式の行に関する定理は、列に関しても成り立つ。
  

参考文献#