行列式の性質（5）

行列式の性質に関する諸定理を導きます。ここでは、行列式の積に関する定理を示します。

この定理により、行列の積 $AB$ の行列式が、それぞれの行列式 $\det A, \det B$ の積に等しいということがわかります。この定理の証明の仕方は何通りか考えられますが、主なものとして、行列式の定義から直接示す方法と前項の定理 3.14（写像としての行列式）を用いる方法の $2$ 通りを示します。

行列式の積#

定理 3.15（行列式の積）#

$2$ つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい。

$2$ つの行列の積 $AB$ の行列式は、それぞれの行列式 $\det A, \det B$ の積に等しくなります。前項で示したように行列式を写像 $F : M_n (K) \to K$ と捉えれば、行列式は積の演算を保存する写像であるということがいえます。つまり、行列の積 $AB$ の $F$ による像 $F (AB)$ と、行列 $A, B$ の $F$ による像 $F (A), F (B)$ の積が等しいと捉えることができます。

この定理の証明の仕方は何通りか考えられますが、ここでは主なものとして、行列式の定義から直接示す方法（証明 1）と、前項の定理 3.14（写像としての行列式）を用いる方法（証明 2）の $2$ 通りを示します。

証明 1（行列式の定義による方法）#

$A = (\, a_{i j} \,), \; B = (\, b_{i j} \,)$ を $n$ 次の正方行列とする。また、$A = (\, \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} \,)$ とすると、行列の積 $AB$ は以下のように表せる。

よって $\det (AB)$ は次のようになる。

ここで、定理 3.7を繰り返し用いると、

また、定理 3.9より、$i_1, i_2, \cdots, i_n$ のうちに等しいものがあれば $\det ( \bm{a}_{i_1}, \, \bm{a}_{i_2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{i_n} ) = 0$ となるので、和は $i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ がすべて異なる場合のみを加えればよい。したがって、

また、再び定理 3.9より、$\det ( \bm{a}_{\sigma (1)}, \, \bm{a}_{\sigma (2)}, \, \cdots, \, \bm{a}_{\sigma (n)} ) = \text{sgn} (\sigma) \; \det ( \bm{a}_{1}, \, \bm{a}_{2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{n} )$ であるから、

証明の骨子 1#

行列式の定義から直接示します。行列式の基本的な性質である、多重線型性（定理 3.7）と交代性（定理 3.9）を利用します。

• 行列の積 $AB$ を列ベクトルで表示します。

  • まず $A = (\, a_{i j} \,), \; B = (\, b_{i j} \,)$ とします。行列の積の定義より、$AB$ の $(i, j)$ 成分は $\displaystyle \sum_{k} a_{ik} \, b_{kj}$ と表せますので、$AB$ は次のようになります。ここで、各成分における添え字 $k$ は本来すべて異なるもので、それぞれ独立に $k_{ij}$ のように書き分けるべきですが、表記が煩雑になるため簡略化しています。

    $$ \begin{align*} AB = \begin{pmatrix} \displaystyle \sum_{k} a_{1k} \, b_{k1} & \displaystyle \sum_{k} a_{1k} \, b_{k2} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} a_{1k} \, b_{kn} \\ \displaystyle \sum_{k} a_{2k} \, b_{k1} & \displaystyle \sum_{k} a_{2k} \, b_{k2} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} a_{2k} \, b_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \sum_{k} a_{2k} \, b_{k1} & \displaystyle \sum_{k} a_{2k} \, b_{k2} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} a_{2k} \, b_{kn} \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$
    
    

  • この $AB$ を列ベクトルで表すことを考えます。

    • まず、$AB$ の $1$ 列目を見ると、$b_{k1}$ は共通しており、それぞれ $A$ の $k$ 列に関する和になっています。そこで、$A$ を列ベクトルで表すことで、$AB$ の $1$ 行目（仮にこれを $\bm{c}_{1}$ と置きます）は、次のように表すことができます。

      $$ \begin{array} {ccc} \bm{c}_{1} = \displaystyle \sum_{k} \bm{a}_k \, b_{k1} && ( \; \bm{a}_k = \begin{pmatrix} a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{nk} \end{pmatrix} \; ) \end{array} $$
      
      

    • $2$ 行目以降も同様にして、$A$ の列ベクトルと $B$ の成分の和として表します。上に述べた通り $k$ はすべて異なるため、独立した添え字として $1$ 列目には $i_1$、$2$ 列目には $i_2$、$\cdots$ のように $i$ を使って表すようにします。

    • ここまでで、行列の積 $AB$ を列ベクトルに分解して表すことができました。

      $$ \begin{align*} AB = \big( \, \sum_{i_1} \bm{a}_{i_1} b_{i_1 1}, \, \sum_{i_2} \bm{a}_{i_2} b_{i_2 2}, \, \cdots, \, \sum_{i_n} \bm{a}_{i_n} b_{i_n n} \, \big) \end{align*} $$
      
      

    • 今回の証明では、まず $AB$ を列ベクトルに分解する方針をとっていますが、行ベクトルに分解しても同様に証明することができます。この場合は、$B$ を行ベクトル $\bm{b}_k = ( b_{k1}, \, b_{k2}, \, \cdots, \, b_{kn} )$ で表すことで、$AB$ は次のようになります。

      $$ \begin{align*} AB = \begin{pmatrix} \displaystyle \sum_{j_1} a_{1 j_1} \bm{b}_{j_1} \\ \displaystyle \sum_{j_2} a_{1 j_2} \bm{b}_{j_2} \\ \vdots \\ \displaystyle \sum_{j_1} a_{1 j_n} \bm{b}_{j_n} \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$
      
      

• 行列式の基本的性質（定理 3.7（多重線型性）と定理 3.9（交代性））を用いて、$\det (AB)$ を求めます。

  • 列ベクトルで表した $AB$ について、その行列式をとります。

    $$ \begin{align*} \begin{split} \det (AB) &= \det \big( \, \sum_{i_1} \bm{a}_{i_1} b_{i_1 1}, \, \sum_{i_2} \bm{a}_{i_2} b_{i_2 2}, \, \cdots, \, \sum_{i_n} \bm{a}_{i_n} b_{i_n n} \, \big) \end{split} \end{align*} $$
    
    

  • まず、定理 3.7（多重線型性）を繰り返し適用することで、和の記号と定数項は $\text{det}$ の外に出ます。

    $$ \begin{align*} \begin{split} \det (AB) &= \det \big( \, \sum_{i_1} \bm{a}_{i_1} b_{i_1 1}, \, \sum_{i_2} \bm{a}_{i_2} b_{i_2 2}, \, \cdots, \, \sum_{i_n} \bm{a}_{i_n} b_{i_n n} \, \big) \\ &= \sum_{i_1} \sum_{i_2} \cdots \sum_{i_n} \; b_{i_1 1} b_{i_2 2} \cdots b_{i_n n} \; \det ( \bm{a}_{i_1}, \, \bm{a}_{i_2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{i_n} ) \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    

  • 次に、定理 3.9（交代性）より、$i_1, i_2, \cdots, i_n$ のうちに等しいものがあれば $\det ( \bm{a}_{i_1}, \, \bm{a}_{i_2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{i_n} ) = 0$ となるので、この場合は和に含めなくてもよいことがわかります。つまり、$i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ がすべて異なる場合に限って和をとればよいわけですが、これは、$n$ 文字の置換全体についての和をとることに等しいです。

    $$ \begin{align*} \begin{split} \det (AB) &= \sum_{i_1} \sum_{i_2} \cdots \sum_{i_n} \; b_{i_1 1} b_{i_2 2} \cdots b_{i_n n} \; \det ( \bm{a}_{i_1}, \, \bm{a}_{i_2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{i_n} ) \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \, b_{\sigma (1) \, 1} \, b_{\sigma (2) \, 2} \, \cdots \, b_{\sigma (n) \, n} \; \det ( \bm{a}_{\sigma (1)}, \, \bm{a}_{\sigma (2)}, \, \cdots, \, \bm{a}_{\sigma (n)} ) \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    

  • 定理 3.9（交代性）を再び用いて、行列式 $\det A$ と $\det B$ の形を抽出します。

    $$ \begin{align*} \begin{split} \det (AB) &\overset{(1)}{=} \sum_{\sigma \in S_n} \, b_{\sigma (1) \, 1} \, b_{\sigma (2) \, 2} \, \cdots \, b_{\sigma (n) \, n} \; \det ( \bm{a}_{\sigma (1)}, \, \bm{a}_{\sigma (2)}, \, \cdots, \, \bm{a}_{\sigma (n)} ) \\ &\overset{(2)}{=} \sum_{\sigma \in S_n} \, b_{\sigma (1) \, 1} \, b_{\sigma (2) \, 2} \, \cdots \, b_{\sigma (n) \, n} \; \text{sgn} (\sigma) \; \det ( \bm{a}_{1}, \, \bm{a}_{2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{n} ) \\ &\overset{(3)}{=} \det ( \bm{a}_{1}, \, \bm{a}_{2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{n} ) \, \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \,b_{\sigma (1) \, 1} \, b_{\sigma (2) \, 2} \, \cdots \, b_{\sigma (n) \, n} \\ &\overset{(4)}{=} \det A \cdot \det B \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    
    • （$1$）上で得られた形のままです。
    • （$2$）まず、定理 3.9（交代性）より $\det ( \bm{a}_{\sigma (1)}, \, \bm{a}_{\sigma (2)}, \, \cdots, \, \bm{a}_{\sigma (n)} ) = \text{sgn} (\sigma) \; \det ( \bm{a}_{1}, \, \bm{a}_{2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{n} )$ とすることで、$A$ の行列式 $\det ( \bm{a}_{1}, \, \bm{a}_{2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{n} )$ の形が得られます。
    • （$3$）$\det ( \bm{a}_{1}, \, \bm{a}_{2}, \, \cdots, \, \bm{a}_{n} )$ は $\sigma$ に依存しませんので、和の外に出せます。そうすると、残る項は $\displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \,b_{\sigma (1) \, 1} \, b_{\sigma (2) \, 2} \, \cdots \, b_{\sigma (n) \, n}$ になりますが、これは $B$ の行列式の定義に他なりません。

  • 以上から、$\det (AB) = \det A \cdot \det B$ となり、題意が示されました。

この証明は、行列式の定義と、多重線型性（定理 3.7）、交代性（定理 3.9）という行列式の基本的な性質のみを用いるという点で基礎的な証明といえます。しかしながら、はじめに $AB$ を列ベクトル（もしくは行ベクトル）で表す箇所で多くの添え字を扱わなければならないため、この点少し面倒な証明ともいえます。

証明 2（定理 3.14 を用いる方法）#

$B = (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n})$ とする。$F$ を $\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}$ に対して $\det ( A \bm{b}_{1}, A \bm{b}_{2}, \cdots, A \bm{b}_{n})$ を対応させる写像とすると、$F (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}) = \det (AB)$ であり、かつ、$F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) = \det A$ である。また、$F$ は定理 3.14における条件（$\text{i}$）、（$\text{ii}$）、（$\text{iii}$）を満たすので、

よって、

証明の骨子 2#

定理 3.14（写像としての行列式）を用います。

• まず、定理 3.14の要件を満たす写像 $F$ を置きます。

  • 写像 $F$ を次のように置きます。

    $$ \begin{align*} F (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}) = \det ( A \bm{b}_{1}, A \bm{b}_{2}, \cdots, A \bm{b}_{n}) \end{align*} $$
    
    
    • 定理 3.14の対象となる写像は、$n$ 個の $n$ 次元ベクトルの組に対してある数を対応させる写像（$F : K^n \times \cdots \times K^n \to K$）のような写像ですので、これは要件を満たしています。
    • ここで、行列 $B = (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n})$ を変数として扱い、行列 $A$ を定数のように扱っています。

  • $F$ の置き方により、以下の $2$ つの関係が得られます。

    $$ \begin{array} {cl} (\alpha) & F (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}) = \det ( A \bm{b}_{1}, A \bm{b}_{2}, \cdots, A \bm{b}_{n}) = \det (AB) \\ (\beta) & F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) = \det ( A \bm{e}_{1}, A \bm{e}_{2}, \cdots, A \bm{e}_{n}) = \det ( \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}) = \det A \\ \end{array} $$
    
    
    • （$\alpha$）は、$\det (AB)$ が $B$ により定まることを示しています。つまり $F(B) = \det (AB)$ となります。これは $F$ の置き方そのもので、むしろ $F(B) = \det (AB)$ となるように $F$ を設定しているといえます。
    • （$\beta$）は、単位行列 $E$ の $F$ による像が $\det A$ となることを示しています。つまり $F(E) = \det A$ となります。これも $F$ の置き方により、$A$ を固定している（定数のように扱っている）ためであり、$F(E) = \det A$ となるように $F$ を設定しているといえます。
• $F$ に定理 3.14を適用します。

  • 証明においては自明なこととして省略していますが、$F$ が定理 3.14の条件（$\text{i}$）、（$\text{ii}$）、（$\text{iii}$）を満たすことを確認します。

    • （$\text{i}$）については、行列の演算規則（$2$ 行目）と行列式の多重線型性（$3$ 行目）から明らかといえます。

      $$ \begin{align*} \begin{split} F (\bm{b}_{1}, \cdots, \bm{b}_{i} + \bm{b}_{j}, \cdots, \bm{b}_{n}) &= \det ( A \bm{b}_{1}, \cdots, A (\bm{b}_{i} + \bm{b}_{j}), \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ &= \det ( A \bm{b}_{1}, \cdots, A \bm{b}_{i} + A \bm{b}_{j}, \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ &= \det ( A \bm{b}_{1}, \cdots, A \bm{b}_{i}, \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ & \quad \quad \quad + \det ( A \bm{b}_{1}, \cdots, A \bm{b}_{j}, \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ &= F (\bm{b}_{1}, \cdots, \bm{b}_{i}, \cdots, \bm{b}_{n}) \\ & \quad \quad \quad + F (\bm{b}_{1}, \cdots, \bm{b}_{j}, \cdots, \bm{b}_{n}) \end{split} \end{align*} $$
      
      

    • （$\text{ii}$）についても同様に、行列とベクトルの演算規則（$2$ 行目）と行列式の多重線型性（$3$ 行目）から明らかといえます。

      $$ \begin{align*} \begin{split} F (\bm{b}_{1}, \cdots, c \, \bm{b}_{i}, \cdots, \bm{b}_{n}) &= \det ( A \bm{b}_{1}, \cdots, A (c \, \bm{b}_{i}), \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ &= \det ( A \bm{b}_{1}, \cdots, c \, (A \bm{b}_{i}), \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ &= c \, \det ( A \bm{b}_{1}, \cdots, A \bm{b}_{i}, \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ &= c \, F (\bm{b}_{1}, \cdots, \bm{b}_{i}, \cdots, \bm{b}_{n}) \end{split} \end{align*} $$
      
      

    • （$\text{iii}$）については、$A$ を定数行列としていますので、行列式の交代性（$2$ 行目）から明らかといえます。

      $$ \begin{align*} \begin{split} F (\bm{b}_{\tau (1)}, \bm{b}_{\tau (2)}, \cdots, \bm{b}_{\tau (n)}) &= \det ( A \bm{b}_{\tau (1)}, A \bm{b}_{\tau (2)}, \cdots, A \bm{b}_{\tau (n)}) \\ &= \text{sgn} (\tau) \; \det ( A \bm{b}_{1}, A \bm{b}_{2}, \cdots, A \bm{b}_{n}) \\ &= \text{sgn} (\tau) \; F (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}) \end{split} \end{align*} $$
      
      

    • 以上から、$F$ が条件（$\text{i}$）、（$\text{ii}$）、（$\text{iii}$）を満たすことが確認できました。条件を満たすことの確認はわりと簡単なので、証明に記載されていないことが多いです。また、「簡単にわかるように $\cdots$ 」と付記されている教科書（[1]）もありました。上の証明でも、$F$ が「定理YY4における条件（$\text{i}$）、（$\text{ii}$）、（$\text{iii}$）を満たす」とのみ記載するにとどめましたが、必要に応じてその根拠を示せるように、一度は確認しておくと良いかもしれません。

  • 定理 3.14を用いて、$\det A$ と $\det B$ の形を抽出します。

    $$ \begin{split} F (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}) &= F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) \; \det ( \bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}) \\ &= \det A \cdot \det B \\ \end{split} $$
    
    
    • 左辺について、$F$ の置き方（$\alpha$）より $F (\bm{b}_{1}, \bm{b}_{2}, \cdots, \bm{b}_{n}) = \det (AB)$ であるので、左辺は積 $AB$ の行列式に一致します。
    • 右辺について、$F$ の置き方（$\beta$）より $F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) = \det A$ であるので、右辺の第 $1$ 項は $A$ の行列式と一致します。また、右辺の第 $2$ 項は、$B$ の行列式の定義に他なりません。

  • 以上から、$\det (AB) = \det A \cdot \det B$ が得られました。

この証明の要所は、$A$ を固定して $B$ を変数として扱い、$F(B) = \det (AB)$ となるように $F$ を置くところにあります。この着想が得られれば、かなり簡単に証明を進めることができます。定理 3.14を最大限に活用することで、証明 1に比べてだいぶ少ない労力と記述量で証明を完了することができます。

まとめ#

• $2$ つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい。
  $$ \begin{equation*} \det (AB) = \det A \cdot \det B \end{equation*} $$
  
  

参考文献#