行列式の性質（7）

$1$ つの成分を除き、他のすべての成分が $0$ である行（または列）を持つ行列の行列式について成り立つ性質を示します。

この定理は、行列式の次数を下げる方法を与えるものであり、具体的な行列式の計算において極めて有用です。また、この定理は、前項の定理 3.16（零行列をブロックにもつ行列の行列式）の系でもあります。

0 を含む行列の行列式#

系 3.17（0 を含む行列の行列式）#

正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ の第 $1$ 列の成分が $(1, 1)$ 成分を除いてすべて $0$ であるとき、次が成り立つ。

解説#

行列式の次数下げ（0 を含む行列の行列式）#

系 3.17（0 を含む行列の行列式）は、$A$ の第 $1$ 列の成分が $(1, 1)$ 成分を除いてすべて $0$ であるとき、$A$ の行列式を次数の $1$ つ低い行列の行列式に帰着できることを示しています。

（3.5.15）式において、左辺は $n$ 次正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ の行列式であり、右辺は $(n - 1)$ 次正方行列の行列式に係数 $a_{11}$ が掛かったものです。すなわち、$A$ の第 $1$ 列の成分が $(1, 1)$ 成分を除いてすべて $0$ であるとき、$A$ の列式は、$A$ から第 $1$ 列と第 $1$ 列を取り出した行列の行列式と $a_{11}$ の積に等しくなります。

このような方法により行列式の次数を下げることは、具体的に与えられた行列式の計算において大変重要です。実際、行列式の計算手順の項でも触れますが、具体的に与えられた行列式を計算する際は、$0$ が多く含まれる列（または行）をいかに作るかが肝になります。

系 3.17の証明方法#

系 3.17（0 を含む行列の行列式）は定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）の系であり、定理 3.16から直ちに導くことができます。一方で、定理 3.16とは独立に行列式の定義から直接導くこともできます。

ここでは、次の $2$ 通りの証明を示します。

• （$1$）零行列を含む行列の性質を利用した証明
  • 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）を用いる。
  • 極めて簡潔な証明となる。
  • 先立って定理 3.16を示しておく必要がある。
• （$2$）行列式の定義による証明
  • 行列式の定義から直接示す。
  • （$1$）と比べて複雑な証明となる。
  • 定理 3.16を前提としなくてよい。

定理 3.16と系 3.17の証明の考え方は基本的に同じであるため、どちらを先に示してもあまり差はありません。

証明 1（零行列を含む行列の性質を利用した証明）#

定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）より、次が成り立つ。

証明の考え方 1#

定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）における $A, B, C, O$ をそれぞれ次のように置くことで、直ちに示すことができます。

定理 3.16を適用できることは、$A$ と $B$ がともに正方行列であることから確かめられます。（ここで便宜上、$1$ つしか成分のない行列 $A$ を、$1$ 次の正方行列として取り扱っています。）

証明 2（行列式の定義による方法）#

行列式の定義より、次が成り立つ。

$A = (\, a_{ij} \,)$ において、$2 \leqslant i \leqslant n$ のとき、$\sigma (i) = 1$ ならば $a_{i \, \sigma (i)} = 0$ となるから、和は $2 \leqslant \sigma(i) \leqslant n$ の場合のみ考えればよい。このとき、$\sigma$ は全単射であるから、$i = 1$ ならば $\sigma(i) = 1$ となる。すなわち、$\tau$ を $\lbrace 2, \cdots, n \rbrace$ 上の置換として $\sigma = \tau$ が成り立つ。したがって、

証明の考え方 2#

置換が全単射であることを用いて（$1$）$n$ 次の置換 $\sigma$ を $(n - 1)$ 次の置換に縮約し、行列式の定義にしたがって（$2$）$0$ を含む行列 $A$ の行列式を計算します。

考え方は、前項の定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）の証明と同じです。

前提事項の整理#

• （3.5.15）式の左辺の行列式を、行列式の定義にしたがって書き下すと、次のようになります。
  $$\begin{align*} \vert \, A \, \vert = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\ \end{align*}$$

（1）置換全体の和の縮約#

• 定理の仮定（与えられた $A$ の形）より、$\sigma \in S_{n}$ に関する和を見直します。
• 行列式 $A$ は $n$ 次の置換全体にわたる和になりますが、$A$ の第 $1$ 列は、$(1, 1)$ 成分を除いてすべて $0$ であるため、いくつかの項は $0$ に等しくなり和に含めなくて良くなるはずです。
• $A$ の行番号を $i$ として、$a_{i \, \sigma(i)} = 0$ となるか否か、次のように場合分けして考えます。

$2 \leqslant i \leqslant n$ の場合#

• $A$ の第 $1$ 列の成分は $(1, 1)$ 成分を除いてすべて $0$ であるので、$A$ の $(i, j)$ 成分 $a_{ij}$ について、$2 \leqslant i \leqslant n$ かつ $j=1$ ならば $a_{ij} = 0$ となります。

• よって、$2 \leqslant i \leqslant n$ かつ $\sigma(i) = 1$ ならば、$a_{i \, \sigma(i)} = 0$ となり、このとき、次が成り立ちます。

  $$\begin{gather*} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma(1)} \, \cdots \, a_{i \, \sigma(i)} \, \cdots \, a_{(n) \, \sigma(n)} = 0 \end{gather*}$$

• つまり、このような場合は、行列式の和の計算に含めなくて良いということです。

• したがって、$2 \leqslant i \leqslant n$ かつ $2 \leqslant \sigma(i) \leqslant n$ となる場合のみ行列式の和を計算すればよい、ということがわかります。

$i =1$ の場合#

• 上記の考察から、$2 \leqslant i \leqslant n$ ならば $2 \leqslant \sigma(i) \leqslant n$ となる場合しか行列式の和の計算に含めないこととしました。
  • $i$ が $2 \sim n$ の範囲にあれば、$\sigma(i)$ も $2 \sim n$ の範囲にある場合しか考えないということです。
  • また、集合として $\lbrace \sigma(2), \cdots, \sigma(n) \rbrace = \lbrace 2, \cdots, n \rbrace$ の場合のみ考えるとしても同じです。
• ここで、置換 $\sigma$ は、定義により全単射となります（置換の定義）。
• したがって、$i$ が $2 \sim n$ の範囲にあれば $\sigma(i)$ も $2 \sim n$ の範囲にあるということは、逆に、$i = 1$ であれば $\sigma(i) = 1$ でなければならないということです
• すなわち、$i = 1$ かつ $\sigma(i) = 1$ となる場合のみ、行列式の和を計算すればよいということです。
• 以上から、$A$ の行列式の計算において、$n$ 次の置換 $\sigma$ は $(n - 1)$ 次の置換 $\tau$ に縮約できることがわかりました。つまり、$\sigma = \tau$ となります。

（2）行列式の計算#

• 上記の考察から、$\sigma$ が次のような置換である場合に限って和をとればよいことがわかります。

  $$\begin{align*} \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$
  • すなわち、$\sigma$ は $1$ の行き先が $1$ に固定されている置換であり、$(n-1)$ 次の置換 $\tau$ に等しくなります。
  • よって、$\sigma \in S_n$ に関する和は、$\tau \in S_{n-1}$ に関する和に見直すことができます。

• したがって、$\vert \, A \, \vert$ は次のように計算できます。

  $$\begin{split} \vert \, A \, \vert &= \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\ &= \sum_{\tau \in S_{n-1}} \text{sgn} (\tau) \; a_{11} \, a_{2 \, \tau (2)} \, \cdots \, a_{n \, \tau (n)} \\ &= \; a_{11} \sum_{\tau \in S_{n-1}} \text{sgn} (\tau) \; a_{2 \, \tau (2)} \, \cdots \, a_{n \, \tau (n)} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} \; a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & & \vdots \; \\ \; a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \end{split}$$
  • $3$ 行目の等式において、$a_{11}$ は置換 $\tau$ によらず固定されているため和の記号の外に出せます。

• 以上から $\vert \, A \, \vert = a_{11} \begin{vmatrix} \; a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & & \vdots \; \\ \; a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{vmatrix}$ となり、題意が示されました。

まとめ#

• 正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ の第 $1$ 列の成分が $(1, 1)$ 成分を除いてすべて $0$ であるとき、次が成り立つ。
  $$\begin{equation*} \begin{vmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & & \vdots \; \\ \; 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} \; a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & & \vdots \; \\ \; a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \end{equation*}$$

参考文献#

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