ベクトル空間の性質（1）

ベクトル空間の公理から直ちに導かれる定理を示します。すなわち、零ベクトルや逆ベクトルが一意に定まることや、 公理から導かれる簡単な演算規則を示します。

これらは、ベクトル空間の基本的な性質ともいえる定理であり、一見して明らかに思われますが、確かに ベクトル空間の公理のみから導出されることを確認することが重要です。

ベクトル空間の基本的性質#

定理 4.1（零ベクトルと逆ベクトルの一意性）#

ベクトル空間において、零ベクトルと逆ベクトルは一意に定まる。

解説#

零ベクトルの一意性#

ベクトル空間の公理（$\text{iii}$）を満たすような零ベクトルは、一意的に定まります。すなわち、あるベクトル空間 $V$ に対して、$V$ の零ベクトルはただ $1$ つのみ存在するといえます。

逆ベクトルの一意性#

ベクトル空間の公理（$\text{iv}$）を満たすような逆ベクトルは、一意的に定まります。すなわち、ベクトル空間 $V$ において、あるベクトル $\bm{v} \in V$ に対して、$\bm{v}$ の逆ベクトル（$- \bm{v}$）はただ $1$ つに定まります。

証明（定理 4.1）#

仮に、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + \bm{0} = \bm{v}$ かつ $\bm{v} + \bm{0}^{\prime} = \bm{v}$ となる $\bm{0}, \bm{0}^{\prime} \in V$ が存在し、$\bm{0}^{\prime} \neq \bm{0}$ であるとする。このとき、

より $\bm{0}^{\prime} = \bm{0}$ となり、仮定に矛盾する。よって、零ベクトル $\bm{0}$ は一意に定まる。

また、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + (-\bm{v}) = \bm{0}$ かつ $\bm{v} + (-\bm{v}^{\prime}) = \bm{0}$ となる $-\bm{v}, -\bm{v}^{\prime} \in V$ が存在し、$-\bm{v}^{\prime} \neq -\bm{v}$ であるとする。このとき、

より $-\bm{v}^{\prime} = -\bm{v}$ となり、仮定に矛盾する。よって、任意の $\bm{v}$ に対して逆ベクトル $-\bm{v}$ は一意に定まる。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.1）#

背理法を用いて示します。それぞれ ベクトル空間の公理のみから導出します。

零ベクトルの一意性の証明#

• ベクトル空間 $V$ に $2$ つの異なる零ベクトル $\bm{0}$ と $\bm{0}^{\prime}$ が存在すると仮定します。

  • 具体的には、次の（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iii}$）が成り立つことを仮定します。
    $$ \begin{gather*} (\text{i}) & \; \bm{0}^{\prime} \neq \bm{0} \\ (\text{ii}) & \; \bm{v} + \bm{0} = \bm{v} \\ (\text{iii}) & \; \bm{v} + \bm{0}^{\prime} = \bm{v} \\ \end{gather*} $$

• 仮定と ベクトル空間の公理より、矛盾を導きます。

  $$ \begin{split} \bm{0}^{\prime} &\overset{(1)}{=} \bm{0}^{\prime} + \bm{0} \\ &\overset{(2)}{=} \bm{0} + \bm{0}^{\prime} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{0} \end{split} $$
  • （$\text{1}$）上記の仮定（$\text{ii}$）において、$\bm{v} = \bm{0}^{\prime}$ とした式に相当します。
  • （$\text{2}$） ベクトル空間の公理（$\text{ii}$）によります。
    • 公理（$\text{ii}$）より、ベクトル空間において交換法則が成り立ちます。
  • （$\text{3}$）上記の仮定（$\text{iii}$）において $\bm{v} = \bm{0}$ とした式に相当します。

• 以上から、$\bm{0}^{\prime} = \bm{0}$ が導かれますが、これは、$2$ つの異なる零ベクトルが存在するとする仮定（$\text{i}$）に矛盾します。

• したがって、零ベクトルが一意に定まることが示されました。

逆ベクトルの一意性の証明#

• 任意の $\bm{v} \in V$ に対して、$2$ つの異なる逆ベクトル $-\bm{v}$ と $-\bm{v}^{\prime}$ が存在すると仮定します。

  • 具体的には、次の（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iii}$）が成り立つことを仮定します。
    $$ \begin{gather*} (\text{i}) & \; -\bm{v}^{\prime} \neq -\bm{v} \\ (\text{ii}) & \; \bm{v} + (-\bm{v}) = \bm{0} \\ (\text{iii}) & \; \bm{v} + (-\bm{v}^{\prime}) = \bm{0} \\ \end{gather*} $$

• 仮定と ベクトル空間の公理より、矛盾を導きます。

  $$ \begin{split} -\bm{v}^{\prime} &\overset{(1)}{=} -\bm{v}^{\prime} + \bm{0} \\ &\overset{(2)}{=} -\bm{v}^{\prime} + \{ \bm{v} + (-\bm{v}) \} \\ &\overset{(3)}{=} \{ -\bm{v}^{\prime} + \bm{v} \} + (-\bm{v}) \\ &\overset{(4)}{=} \bm{0} + (-\bm{v}) \\ &\overset{(5)}{=} -\bm{v} \end{split} $$
  
  
  • （$\text{1}$） ベクトル空間の公理（$\text{iii}$）によります。
    • 公理（$\text{iii}$）より、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + \bm{0} = \bm{v}$ となる $\bm{0}$（零ベクトル）が存在します。
    • ここで、任意の $\bm{v}$ を $-\bm{v}^{\prime}$ とすることで（$\text{1}$）が得られます。
  • （$\text{2}$）（$1$）式に、仮定（$\text{ii}$）を適用することで得られます。
  • （$\text{3}$） ベクトル空間の公理（$\text{i}$）によります。
    • 公理（$\text{i}$）より、ベクトル空間において結合法則が成り立ちます。
  • （$\text{4}$）（$3$）式に、仮定（$\text{iii}$）を適用することで得られます。
  • （$\text{5}$） ベクトル空間の公理（$\text{iii}$）によります。
    • （$\text{1}$）と同様に、公理（$\text{iii}$）において任意の $\bm{v}$ を $-\bm{v}$ とすることで（$\text{5}$）が得られます。

• 以上から、$-\bm{v}^{\prime} = -\bm{v}$ が導かれますが、これは、2つの異なる逆ベクトルが存在するとする仮定（$\text{i}$）に矛盾します。

• したがって、逆ベクトルが一意に定まることが示されました。

ベクトルの演算規則#

定理 4.2（ベクトルの演算 1）#

$V$ をベクトル空間とする。任意の $\bm{v} \in V$ と $c \in K$ に対して、次が成り立つ。

解説#

ベクトル空間の公理から導かれる演算規則#

上記の（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iv}$）は、実数や複素数について成り立つ演算規則と類似しており、一見明らかな演算規則のように思われます。しかしながら、その類推から、ベクトルについても同様の演算規則が成り立つと安易に考えてはいけません。

下記の 証明に示す通り、あくまで ベクトル空間の公理のみを前提として（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iv}$）が導出されることを確かめる必要があります。

証明（定理 4.2）#

（$\text{i}$）任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + 0 \bm{v} = (1 + 0) \bm{v} = 1 \bm{v} = \bm{v}$ が成り立つことから、$0 \bm{v}$ は零ベクトルに等しい。また、零ベクトルは一意的であるから、$0 \bm{v} = \bm{0}$ が成り立つ。

（$\text{ii}$）任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + (-1) \bm{v} = \{1 + (-1)\} \bm{v} = 0 \bm{v} = \bm{0}$ が成り立つことから、$(-1) \bm{v}$ は $\bm{v}$ の逆ベクトルである。また、逆ベクトルは一意的であるから、$(-1) \bm{v} = -\bm{v}$ が成り立つ。

（$\text{iii}$）$-\bm{v} \in V$ に対して $-\bm{v} + \bm{v} = \{(-1) + 1\} \bm{v} = 0 \bm{v} = \bm{0}$ であるから、$-\bm{v}$ の逆ベクトルは $\bm{v}$ である。よって、$-(-\bm{v}) = \bm{v}$ が成り立つ。

（$\text{iv}$）任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + c \, \bm{0} = \bm{v} + c \, (0 \bm{v}) = \bm{v} + (c \, 0) \bm{v} = \bm{v} + 0 \bm{v} = (1 + 0) \bm{v} = 1 \bm{v} = \bm{v}$ が成り立つことから、$c \, \bm{0}$ は零ベクトルに等しい。また、零ベクトルは一意的であるから、$c \, \bm{0} = \bm{0}$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.2）#

ベクトル空間の公理を用いて導出します。（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iv}$）それぞれの趣旨（どういう意味の式か）を考えると証明の方向性が定まります。

（$\text{i}$）の証明#

• （$\text{i}$）は、「 $0 \, \bm{v}$ は零ベクトルに等しい」ことを意味していると捉えられます。

• このように考えると、（$\text{i}$）を証明するためには、$0 \, \bm{v}$ が零ベクトルの要件を満たすことを示せばよいとわかります。

  • ベクトル空間の公理（$\text{iii}$）より、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + \bm{0} = \bm{v}$ となるのが零ベクトル $\bm{0}$ です。

• したがって、任意の $\bm{v} \in V$ と $0 \bm{v}$ の和が $\bm{v}$ に等しいことを導きます。

  $$ \begin{split} \bm{v} + 0 \bm{v} &\overset{(1)}{=} (1 + 0) \bm{v} \\ &\overset{(2)}{=} 1 \bm{v} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{v} \end{split} $$
  • （$\text{1}$） ベクトル空間の公理（$\text{v}$）によります。
  • （$\text{2}$）スカラーの和の演算です。
  • （$\text{3}$） ベクトル空間の公理（$\text{viii}$）によります。

• 以上から、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + 0 \, \bm{v} = \bm{v}$ となりますので、$0 \, \bm{v}$ は零ベクトルの要件を満たします。

• また、 定理 4.1（零ベクトルと逆ベクトルの一意性）より零ベクトルは一意的であるので、$0 \,\bm{v} = \bm{0}$ が成り立ちます。

（$\text{ii}$）の証明#

• （$\text{ii}$）は、「 $(-1) \bm{v}$ は $\bm{v}$ の逆ベクトルに等しい」ことを意味していると捉えられます。

• このように考えると、（$\text{ii}$）を証明するためには、$(-1) \bm{v}$ が $\bm{v}$ の逆ベクトルの要件を満たすことを示せばよいとわかります。

  • ベクトル空間の公理（$\text{iv}$）より、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + -\bm{v} = \bm{0}$ となるのが逆ベクトル $-\bm{v}$ です。

• したがって、任意の $\bm{v} \in V$ と $(-1) \bm{v}$ の和が $\bm{0}$ に等しいことを導きます。

  $$ \begin{split} \bm{v} + (-1) \bm{v} &\overset{(1)}{=} \{1 + (-1)\} \bm{v} \\ &\overset{(2)}{=} 0 \bm{v} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{0} \end{split} $$
  • （$\text{1}$） ベクトル空間の公理（$\text{v}$）によります。
  • （$\text{2}$）スカラーの和の演算です。
  • （$\text{3}$）$1$ つ上で示した、 定理 4.2（ベクトルの演算 1）の（$\text{i}$）によります。

• 以上から、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + (-1) \bm{v} = \bm{0}$ となりますので、$(-1) \bm{v}$ は $\bm{v}$ の逆ベクトルであることが確かめられました。

• また、 定理 4.1（零ベクトルと逆ベクトルの一意性）より逆ベクトルは一意的であるので、$(-1) \bm{v} = -\bm{v}$ が成り立ちます。

（$\text{iii}$）の証明#

• （$\text{iii}$）は、「 $-\bm{v}$ の逆ベクトルは $\bm{v}$ である」ことを意味していると捉えられます。

• ベクトル空間の公理（$\text{iv}$）より $-\bm{v} \in V$ ですので、$-\bm{v}$ に対しても逆ベクトルが存在するはずです。

• そこで、（$\text{iii}$）を証明するためには、$\bm{v}$ が $-\bm{v}$ の逆ベクトルであることを示せばよいことがわかります。

• したがって、$-\bm{v}$ と $\bm{v}$ の和が $\bm{0}$ に等しいことを導きます。

  $$ \begin{split} -\bm{v} + \bm{v} &\overset{(1)}{=} \{(-1) + 1\} \bm{v} \\ &\overset{(2)}{=} 0 \bm{v} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{0} \end{split} $$
  • （$\text{1}$） ベクトル空間の公理（$\text{v}$）によります。
  • （$\text{2}$）スカラーの和の演算です。
  • （$\text{3}$）上で示した、 定理 4.2（ベクトルの演算 1）の（$\text{i}$）によります。

• 以上から、$-\bm{v} \in V$ に対して $-\bm{v} + \bm{v} = \bm{0}$ となりますので、$-\bm{v}$ の逆ベクトル $-(-\bm{v})$ は $\bm{v}$ と等しくなります。すなわち、$-(-\bm{v}) = \bm{v}$ が成り立ちます。

（$\text{iv}$）の証明#

• （$\text{iv}$）は、「 $c \, \bm{0}$ は零ベクトルに等しい」ことを意味していると捉えられます。

• このように考えると、（$\text{iv}$）を証明するためには、$0 \bm{v}$ が零ベクトルの要件を満たすことを示せばよいとがわかります。

  • ベクトル空間の公理（$\text{iii}$）より、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + \bm{0} = \bm{v}$ となるのが零ベクトル $\bm{0}$ です。

• したがって、任意の $\bm{v} \in V$ と $c \, \bm{0}$ の和が $\bm{v}$ に等しいことを導きます。

  $$ \begin{split} \bm{v} + c \, \bm{0} &\overset{(1)}{=} \bm{v} + c \, (0 \bm{v}) \\ &\overset{(2)}{=} \bm{v} + (c \, 0) \bm{v} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{v} + 0 \bm{v} \\ &\overset{(4)}{=} (1 + 0) \bm{v} \\ &\overset{(5)}{=} 1 \bm{v} \\ &\overset{(6)}{=} \bm{v} \end{split} $$
  • （$\text{1}$）上で示した、 定理 4.2（ベクトルの演算 1）の（$\text{i}$）によります。
  • （$\text{2}$） ベクトル空間の公理（$\text{vii}$）によります。
  • （$\text{3}$）スカラーの積の演算です。
  • （$\text{4}$） ベクトル空間の公理（$\text{v}$）によります。
  • （$\text{5}$）スカラーの和の演算です。
  • （$\text{6}$） ベクトル空間の公理（$\text{viii}$）によります。

• 以上から、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} + c \, \bm{0} = \bm{v}$ となりますので、$c \, \bm{0}$ は零ベクトルの要件を満たします。

• また、 定理 4.1（零ベクトルと逆ベクトルの一意性）より零ベクトルは一意的であるので、$c \, \bm{0} = \bm{0}$ が成り立ちます。

まとめ#

• ベクトル空間において、零ベクトルと逆ベクトルは一意に定まる。
• $V$ をベクトル空間とする。任意の $\bm{v} \in V$ と $c \in K$ に対して、次が成り立つ。
  $$ \begin{equation*} \begin{alignat*} {2} & \, \, (\text{i}) & \qquad \quad 0 \, \bm{v} &= \bm{0} \\ & \, (\text{ii}) & (-1) \bm{v} &= -\bm{v} \\ & (\text{iii}) & -(-\bm{v}) &= \bm{v} \\ & (\text{iv}) & c \, \bm{0} &= \bm{0} \\ \end{alignat*} \end{equation*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
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[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
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[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
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[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.