ベクトル空間の性質（2）

ベクトル空間の公理から直ちに導かれる定理を示します。すなわち、 公理から導かれる簡単な演算規則や、ベクトルの和によってベクトルの差が定まることを示します。

これらは、ベクトル空間の基本的な性質ともいえる定理であり、一見して明らかに思われますが、確かに ベクトル空間の公理のみから導出されることを確認することが重要です。

ベクトルの演算規則#

定理 4.3（ベクトルの演算 2）#

$V$ をベクトル空間とする。任意の $\bm{v} \in V$ と $c \in K$ に対して、$c \bm{v} = \bm{0}$ が成り立つならば $c = 0$ または $\bm{v} = \bm{0}$ である。

解説#

ベクトル空間の公理から導かれる演算規則#

定理 4.3（ベクトルの演算 2）は、実数や複素数の積について成り立つ演算規則と類似しており、一見明らかのように思われます。しかしながら、その類推から、ベクトルについても同様の演算規則が成り立つと安易に考えてはいけません。

前項の 定理 4.2（ベクトルの演算 1）と同様、あくまで ベクトル空間の公理のみから 定理 4.3（ベクトルの演算 2）が導かれることを確かめる必要があります。

証明（定理 4.3）#

$c \bm{v} = \bm{0}$ かつ $c \neq 0$ かつ $\bm{v} \neq \bm{0}$ となる $c \in K, \bm{v} \in V$ が存在すると仮定する。このとき、

一方で、

よって、$\bm{v} = \bm{0}$ となるが、これは仮定に矛盾する。したがって、任意の $c, \bm{v}$ について、$c \bm{v} = \bm{0}$ ならば $c = 0$ または $\bm{v} = \bm{0}$ である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.3）#

背理法を用いて、（$1$）定理の否定を仮定して（$2$）矛盾を導きます。導出には、 ベクトル空間の公理や既に示した 定理 4.2（ベクトルの演算 1）を用います。証明自体は非常に簡潔にまとめることができます。

（1）定理の否定を仮定する#

• 定理の主張は「任意の $\bm{v} \in V, c \in K$ に対して、$c \bm{v} = \bm{0}$ ならば $c = 0$ または $\bm{v} = \bm{0}$ が成り立つ」ということです。

• したがって、定理の否定は「$c \bm{v} = \bm{0}$ かつ $c \neq 0$ かつ $\bm{v} \neq \bm{0}$ となる $\bm{v} \in V, c \in K$ が存在する」ということになります。

  • 「 $p \Rightarrow q$ 」の否定は「 $p \land {}^{\lnot} q$ 」です。つまり、「 $p$ ならば $q$ 」の否定は「 $p$ にもかかわらず ${q}$ でない」 ということです。
  • このことは、次のような論理式で考えるとよりわかりやすいです。
    $$ \begin{alignat*} {2} && {}^{\lnot} \{ \; c \bm{v} = \bm{0} & \; \Rightarrow \; ( \, c = 0 \lor \bm{v} = \bm{0} \, ) \; \} \\ & \Leftrightarrow \; & c \bm{v} = \bm{0} & \; \land \; {}^{\lnot} ( \, c = 0 \lor \bm{v} = \bm{0} \, ) \\ & \Leftrightarrow \; & c \bm{v} = \bm{0} & \; \land \; c \neq 0 \land \bm{v} \neq \bm{0} \end{alignat*} $$

• 言い換えると、次の（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iii}$）を満たす $\bm{v} \in V, c \in K$ が存在することを仮定することになります。

  $$ \begin{alignat*} {2} & \, \, (\text{i}) & \quad c \bm{v} &= \bm{0} \\ & \, (\text{ii}) & c &\neq 0 \\ & (\text{iii}) & \bm{v} &\neq \bm{0} \\ \end{alignat*} $$

（2）公理から矛盾を導出する#

• （$1$）の仮定と ベクトル空間の公理、既に示した 定理 4.2（ベクトルの演算 1）から矛盾を導きます。

  • 仮定（$\text{ii}$）$c \neq 0$ より、逆数 $\dfrac{1} {\, c \,} \in K$ が考えられます。 仮定（$\text{i}$）$c \bm{v} = \bm{0}$ にこれを掛けることで矛盾する結果が得られます。

• まず、 ベクトル空間の公理より、$\dfrac{1}{\, c \,} \; (c \bm{v}) = \bm{v}$ が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \frac{1}{\, c \,} \; (c \bm{v}) \overset{(1)}{=} (\frac{1}{\, c \,} \, c) \, \bm{v} \overset{(2)}{=} 1 \bm{v} \overset{(3)}{=} \bm{v} \end{align*} $$
  • （$\text{1}$） ベクトル空間の公理（$\text{vii}$）によります。
  • （$\text{2}$）スカラーの積の演算規則によります。
  • （$\text{3}$） ベクトル空間の公理（$\text{viii}$）によります。

• 次に、 仮定（$\text{i}$）より、$\dfrac{1}{\, c \,} \; (c \bm{v}) = \bm{0}$ が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \frac{1}{\, c \,} \; (c \bm{v}) \overset{(1)}{=} \frac{1}{\, c \,} \; (\bm{0}) \overset{(2)}{=} \bm{0} \end{align*} $$
  • （$\text{1}$） 仮定（$\text{i}$）$c \bm{v} = \bm{0}$ によります。
  • （$\text{2}$） 定理 4.2（ベクトルの演算 1）の（$\text{iv}$）によります。

• 以上から、$\displaystyle \frac{1}{\, c \,} \; (c \bm{v}) = \bm{v} = \bm{0}$ が導かれますが、これは、 仮定（$\text{iii}$）$\bm{v} \neq \bm{0}$ に矛盾します。よって題意が示されました。

ベクトルの差#

定理 4.4（ベクトルの差）#

$V$ をベクトル空間とする。任意の $\bm{u}, \bm{v} \in V$ に対して $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たす $\bm{w} \in V$ が存在し、$\bm{w}$ は $\bm{v} + (-\bm{u})$ に等しい。

解説#

ベクトルの差はベクトルの和により定まる#

上記の 定理 4.4（ベクトルの差）に現れる $\bm{w}$ はベクトルの差に相当する概念です。すなわち、$2$ つのベクトル $\bm{u}, \bm{v}$ の差は、$\bm{v}$ と $\bm{u}$ の逆ベクトル（$- \bm{u}$）の和として定められるといえます。

$2$ つのベクトルの差は、しばしば次のように簡単に表記されます。

下記の 証明からもわかるように、ベクトルの差は ベクトル空間の公理から自然な形で導かれるものです。これは、ベクトルの和が定義されていれば、ベクトルの差を明示的に定義する必要がないことを表しています。

証明（定理 4.4）#

$\bm{w} \in V$ が $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たすとき、次が成り立つ。

逆に、$\bm{w} = \bm{v} + (-\bm{u})$ とすると、

が成り立ち、$\bm{w}$ は $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たす。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.4）#

（$\text{i}$）「 $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たす $\bm{w}$ が存在すること」と（$\text{ii}$）「 $\bm{w} = \bm{v} + (-\bm{u})$ であること」の同値性を示します。

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たす $\bm{w}$ が存在するとして、$\bm{w} = \bm{v} + (-\bm{u})$ を導きます。

  $$ \begin{split} \bm{w} &\overset{(1)}{=} \bm{w} + \bm{0} \\ &\overset{(2)}{=} \bm{w} + \{ \bm{u} + (-\bm{u}) \} \\ &\overset{(3)}{=} \{ \bm{u} + \bm{w} \} + (-\bm{u}) \\ &\overset{(4)}{=} \bm{v} + (-\bm{u}) \end{split} $$
  • （$\text{1}$）と（$\text{2}$）それぞれ ベクトル空間の公理（$\text{iii}$）と（$\text{iv}$）によります。
  • （$\text{3}$） ベクトル空間の公理の（$\text{i}$）結合法則と（$\text{ii}$）交換法則を順次適用することで、和の順序を入れ替えます。
  • （$\text{4}$）定理の仮定 $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ によります。

• 以上から、$\bm{w} = \bm{v} + (-\bm{u})$ が得られました。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{w} = \bm{v} + (-\bm{u})$ として、$\bm{w}$ が $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たすことを導きます。

  $$ \begin{split} \bm{u} + \bm{w} &\overset{(1)}{=} \bm{u} + \{ \bm{v} + (-\bm{u}) \} \\ &\overset{(2)}{=} \{ \bm{u} + (-\bm{u}) \} + \bm{v} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{0} + \bm{v} \\ &\overset{(4)}{=} \bm{v} \end{split} $$
  • （$\text{1}$）定理の仮定 $\bm{w} = \bm{v} + (-\bm{u})$ によります。
  • （$\text{2}$） ベクトル空間の公理（$\text{i}$）結合法則と（$\text{ii}$）交換法則を順次適用することで、和の順序を入れ替えます。
  • （$\text{3}$）と（$\text{4}$）それぞれ ベクトル空間の公理（$\text{iv}$）と（$\text{iii}$）によります。

• 以上から、$\bm{w}$ が $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たすことがわかりました。

• （$\text{i}$）$\Leftrightarrow$（$\text{ii}$）が成り立つことから、題意が示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間とすると、
  • 任意の $\bm{v} \in V$ と $c \in K$ に対して、$c \bm{v} = \bm{0}$ が成り立つならば $c = 0$ または $\bm{v} = \bm{0}$ である。
  • 任意の $\bm{u}, \bm{v} \in V$ に対して $\bm{u} + \bm{w} = \bm{v}$ を満たす $\bm{w} \in V$ が存在し、$\bm{w}$ は $\bm{v} + (-\bm{u})$ に等しい。

参考文献

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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
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[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
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[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.