同型写像（1）

線型写像が 全単射であるとき、これを同型写像といいます。

ここでは、同型写像を定義するとともに、その基本的な性質として、同型写像の 合成が再び同型写像となること、同型写像の 逆写像もまた同型写像であることを示します。

同型写像の定義#

まず、同型写像の定義を示します。

定義 4.5（同型写像）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とする。$f$ が全単射であるとき $f$ は $V$ から $W$ への同型写像（$\text{isomorphism}$）であるという。また、このとき $V$ は $W$ に同型（$\text{isomorphic}$）であるといい $V \simeq W$ のように表す。

解説#

同型写像とは：線形写像かつ全単射#

同型写像とは、 線型写像であり、かつ 全単射であるような写像です。ベクトル空間 $V$ と $W$ の間に同型写像が存在するとき、$V$ と $W$ は互いに同型であるなどと表されます。

また、同型写像は単に「同型」とのみ（省略して）表現されることもあります。その場合、文脈により、同型写像を指しているのかベクトル空間の同型を指しているのか混同しないように注意が必要です。

用語について（線型写像、準同型写像、同型写像）#

線形写像とは：線形写像を保存する写像#

線型写像とは、端的にいえば、和とスカラー倍の演算を保存する写像です（ 線型写像の定義）。線型演算（和とスカラー倍）を保存する写像という意味で、これを線型写像と呼ぶことは納得できるかもしれません。

しかしながら、線型写像が 全単射である場合これを 同型写像と呼ぶということに、少なからず違和感を覚えてもおかしくありません。

線形写像は準同型写像の特別な場合#

線型写像の定義で示したように、ベクトル空間の線型写像は群の準同型写像の特別な場合と捉えられます。また、代数学において、準同型写像が全単射である場合、これを同型写像と呼びます。

これを踏まえれば、線型写像（準同型写像）が全単射である場合これを同型写像と呼ぶということは（代数学の用語の体系の中で）自然なことと理解できます。

同型写像の性質#

次に、 同型写像の基本的な性質として、同型写像の 合成が再び同型写像となること、同型写像の 逆写像もまた同型写像であることを、それぞれ示します。

• 定理 4.13（同型写像の合成）
• 定理 4.14（同型写像の逆写像）

定理 4.13（同型写像の合成）#

$U, V, W$ をベクトル空間とする。$f : U \to V, g : V \to W$ が同型写像であれば、合成写像 $g \circ f : U \to W$ も同型写像である。

解説#

同型写像の合成もまた同型写像#

同型写像の 合成もまた同型写像となります。

$2$ つの写像 $f, g$ が同型写像であるということは、$f, g$ が 線型写像かつ 全単射であるということに他なりません（ 同型写像の定義）。

したがって、$f$ と $g$ の合成写像もまた線型写像かつ全単射、すなわち同型写像となります。

証明（定理 4.13）#

$f, g$ は同型写像であるので、ともに線型写像でありかつ全単射である。 定理 4.10（線型写像の合成）より、線型写像の合成もまた線型写像である。また、全単射写像の合成もまた全単射であるから、$f$ と $g$ の合成写像 $g \circ f$ は線型写像でありかつ全単射である。よって、$g \circ f$ は同型写像である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.13）#

同型写像の定義より明らかといえます。

• $f, g$ が同型写像であれば、$f, g$ はともに 線型写像かつ 全単射です（ 同型写像の定義）。
  • 定理 4.10（線型写像の合成）より、線型写像の合成もまた線型写像となります。
  • また、全単射の合成もまた全単射となります。
• よって、$f$ と $g$ の合成写像 $g \circ f$ は線型写像でありかつ全単射となります。
• したがって、再び 同型写像の定義より、$g \circ f$ は同型写像であるといえます。

定理 4.14（同型写像の逆写像）#

$V, W$ をベクトル空間とする。$f : V \to W$ が同型写像であれば、逆写像 $f^{-1} : W \to V$ も同型写像である。

解説#

同型写像の逆写像もまた同型写像#

同型写像の 逆写像もまた同型写像となります。

すなわち、写像 $f$ が同型写像であれば、その逆写像 $f^{-1}$ が存在し、$f^{-1}$ も同型写像（ 線型写像かつ 全単射）であるというのが 定理 4.14（同型写像の逆写像）の主張です。

同型写像は逆写像を持つ#

定理 4.14（同型写像の逆写像）において、同型写像 $f$ に 逆写像 $f^{-1}$ が存在することは自明のこととして、特に言及されていません。

これは、 定義より、$f$ が同型写像であれば $f$ は全単射であるため、$f$ の逆写像が存在することは自明であるからです。すなわち、$f$ が全単射であることと $f$ が逆写像を持つことは同値であるためです（ 定理 A.1（逆写像を持つことと同値な条件））。

証明（定理 4.14）#

$f : V \to W$ は同型写像なので $f$ は全単射である。$f$ が全射であることから、任意の $\bm{w} \in W$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在し、$f$ が単射であることから、任意の $\bm{v}_1, \bm{v}_2 \in V$ に対して $f(\bm{v}_1) = f(\bm{v}_2)$ ならば $\bm{v}_1 = \bm{v}_2$ が成り立つ。したがって $f$ の逆写像 $f^{-1} : W \to V$ が存在し、任意の $\bm{w} \in W$ に対して $\bm{v} = f^{-1} (\bm{w})$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在する。

いま、$f$ は写像であるので、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ すなわち $\bm{v} = f^{-1} (\bm{w})$ となるような $\bm{w} \in W$ が存在する。よって $f^{-1}$ は全射である。

同様に、任意の $\bm{v}_1, \bm{v}_2 \in V$ に対して $f(\bm{v}_1) = \bm{w_1}, f(\bm{v}_2) = \bm{w_2}$ となるような $\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ が存在し、$\bm{v}_1 = \bm{v}_2$ ならば $f(\bm{v}_1) = f(\bm{v}_2)$、すなわち $f^{-1} (\bm{w}_1) = f^{-1} (\bm{w}_2)$ ならば $\bm{w}_1 = \bm{w}_2$ が成り立つ。よって $f^{-1}$ は単射である。

更に、$\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ に対して $\bm{v}_1 = f^{-1} (\bm{w_1}), \bm{v}_2 = f^{-1} (\bm{w_2})$ であるとすれば、任意の $c_1, c_2 \in K, \; \bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ について次が成り立つ。

したがって、$f^{-1}$ は線型写像である。以上から、$f^{-1}$ は同型写像である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.14）#

同型写像の定義にしたがって、 逆写像 $f^{-1}$ が 全単射かつ 線型写像であることを示します。

$f$ が全単射であることから（$1$）逆写像 $f^{-1}$ が存在し（$2$）$f^{-1}$ が全単射であることを示します。更に、$f$ が線型写像であることから（$3$）$f^{-1}$ も線型写像であることを示します。

（1）逆写像が存在することの証明#

• まず、$f$ の 逆写像 $f^{-1}$ が存在することを示します。
• $f : V \to W$ は同型写像なので、 同型写像の定義より、$f$ は 全単射です。
• $f$ が全単射であることから $f$ が逆写像 $f^{-1}$ を持つことを示します。
  • $f$ は 全射であるので、任意の $\bm{w} \in W$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在します（ 全射の条件）。
  • $f$ は 単射であるので、任意の $\bm{v}_1, \bm{v}_2 \in V$ に対して $f(\bm{v}_1) = f(\bm{v}_2)$ ならば $\bm{v}_1 = \bm{v}_2$ が成り立ちます（ 単射の条件）。
  • したがって、任意の $\bm{w} \in W$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v} \in V$ を対応させる $f^{-1} : W \to V$ は写像の条件を満たしています。
  • $f^{-1} : W \to V$ が写像であるということは、任意の $\bm{w} \in W$ に対して $\bm{v} = f^{-1} (\bm{w})$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在するということに他なりません。
• 以上から、$f$ は逆写像 $f^{-1}$ を持つといえます。

（2）全単射であることの証明#

• 次に $f^{-1}$ が 全単射であることを示します。
• （$1$）と同様の考え方ですが、逆方向に考えを展開します。すなわち、写像 $f$ が存在することから逆写像 $f^{-1}$ が全単射であることを導きます。

（2-1）全射であることの証明#

• はじめに $f^{-1}$ が 全射であることを示します。
• $f$ は写像なので、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{w} \in W$ が存在します（ 写像であるための条件）。
  • ここで、$f(\bm{v}) = \bm{w} \Leftrightarrow \bm{v} = f^{-1} (\bm{w})$ が成り立ちます。
  • これは、$f$ による $V$ の元と $W$ の元の対応を $f^{-1}$ による対応として表し直していることに相当します。
• したがって、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ すなわち $\bm{v} = f^{-1} (\bm{w})$ となるような $\bm{w} \in W$ が存在するといえます。
  • これは、$f^{-1}$ が全射であるための条件に他なりません。
• よって、$f^{-1}$ は全射であるといえます。

（2-2）単射であることの証明#

• 同様に $f^{-1}$ が 単射であることを示します。
• $f$ は写像なので、任意の $\bm{v}_1, \bm{v}_2 \in V$ に対して $f(\bm{v}_1) = \bm{w_1}, f(\bm{v}_2) = \bm{w_2}$ となるような $\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ が存在し、$\bm{v}_1 = \bm{v}_2$ ならば $f(\bm{v}_1) = f(\bm{v}_2)$ が成り立つといえます（ 写像であるための条件）。
  • ここで、$\bm{v}_1 = \bm{v}_2 \Leftrightarrow f^{-1} (\bm{w}_1) = f^{-1} (\bm{w}_2)$、$f(\bm{v}_1) = f(\bm{v}_2) \Leftrightarrow \bm{w}_1 = \bm{w}_2$ が成り立ちます。
  • これも、$f$ による $V$ の元と $W$ の元の対応を $f^{-1}$ による対応として表し直していることに相当します。
• したがって、任意の $\bm{v}_1, \bm{v}_2 \in V$ に対して $f(\bm{v}_1) = \bm{w_1}, f(\bm{v}_2) = \bm{w_2}$ となるような $\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ が存在し、$\bm{v}_1 = \bm{v}_2$ ならば $f(\bm{v}_1) = f(\bm{v}_2)$、すなわち $f^{-1} (\bm{w}_1) = f^{-1} (\bm{w}_2)$ ならば $\bm{w}_1 = \bm{w}_2$ が成り立つことが示されました。
  • これは、$f^{-1}$ が単射であるための条件に他なりません。
• よって、$f^{-1}$ は単射であるといえます。
• 以上から、$f^{-1}$ が全単射であることが示されました。

（3）線型写像であることの証明#

• 最後に $f^{-1}$ が 線型写像であることを示します。

• 線型写像の定義にしたがって、$f^{-1}$ が和とスカラー倍の演算を保存することを示します。

• すなわち、任意の $c_1, c_2 \in K, \; \bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ について $f^{-1} (c_1 \bm{w}_1 + c_2 \bm{w}_2) = c_1 f^{-1} (\bm{w}_1) + c_2 f^{-1} (\bm{w}_2)$ が成り立つことを確かめます。

  $$ \begin{split} f^{-1} (c_1 \bm{w}_1 + c_2 \bm{w}_2) &\overset{(\text{i})}{=} f^{-1} (\, c_1 f(\bm{v}_1) + c_2 f(\bm{v}_2) \,) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} f^{-1} (\, f(\, c_1 \bm{v}_1 + c_2 \bm{v}_2 \,) \,) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} f^{-1} \circ f \; (\, c_1 \bm{v}_1 + c_2 \bm{v}_2 \,) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} c_1 \bm{v}_1 + c_2 \bm{v}_2 \\ &\overset{(\text{v})}{=} c_1 f^{-1} (\bm{w}_1) + c_2 f^{-1} (\bm{w}_2) \\ \end{split} $$

  • （$\text{i}$）$\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ に対して、$\bm{v}_1 = f^{-1} (\bm{w}_1), \bm{v}_2 = f^{-1} (\bm{w}_2)$ が存在します。

    • $f^{-1}$ は写像なので、$\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ に対応する $\bm{v}_1, \bm{v}_1 \in V$ が存在します。
    • ここで、$\bm{w}_1 = f (\bm{v}_1), \bm{w}_2 = f (\bm{v}_2)$ が成り立ちます。

  • （$\text{ii}$）$f$ が 線型写像であることによります。

    • $f$ は和とスカラー倍の演算を保存するので、次が成り立ちます。
      $$ \begin{gather*} f (c_1 \bm{v}_1 + c_2 \bm{v}_2) = c_1 f (\bm{v}_1) + c_2 f (\bm{v}_2) \end{gather*} $$

  • （$\text{iii}$）$f^{-1} (f (\bm{v}))$ を、 合成写像として $f^{-1} \circ f (\bm{v})$ と表します。

  • （$\text{iv}$）$f^{-1}$ と $f$ の合成写像 $f^{-1} \circ f$ は 恒等写像に等しくなります。

  • （$\text{v}$）再び、$\bm{v}_1 = f^{-1} (\bm{w_1}), \bm{v}_2 = f^{-1} (\bm{w_2})$ であることを用います。

• 以上から、$f^{-1}$ が線型写像であることが示されました。

証明のまとめ#

• （$1$）$\sim$（$3$）より、$f^{-1}$ は全単射かつ線型写像であるので、$f^{-1}$ が同型写像であることが示されたことになります。

まとめ#

• $V, W$ をベクトル空間とする。$f : V \to W$ が線型写像でありかつ全単射であるとき $f$ は $V$ から $W$ への同型写像であるという。また、このとき $V$ は $W$ に同型であるといい $V \simeq W$ のように表す。
• $f : U \to V, g : V \to W$ が同型写像であれば、合成写像 $g \circ f : U \to W$ も同型写像である。
• $V, W$ をベクトル空間とする。$f : V \to W$ が同型写像であれば、逆写像 $f^{-1} : W \to V$ も同型写像である。

参考文献

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[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
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[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
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