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同型写像（2）

ベクトル空間の間に同型写像が存在するとき、その 22 つのベクトル空間は同型であるといいます。

ここでは、同型なベクトル空間に成り立つ性質を示します。これらの性質は、前項で示した同型写像の基本的な性質をベクトル空間の観点から言換えたものです。

ベクトル空間の同型

定理 4.15（ベクトル空間の同型）

U,V,WU, V, W をベクトル空間とすると、以下が成り立つ。

  (i)V≃V(reflexive law) (ii)V≃W  ⇒  W≃V(symmetric law)(iii)U≃V, V≃W  ⇒  U≃W(transitive law) \begin{alignat*} {3} & \, \, (\text{i}) & \quad V &\simeq V && \quad (\text{reflexive law}) \\ & \, (\text{ii}) & V &\simeq W \; \Rightarrow \; W \simeq V && \quad (\text{symmetric law}) \\ & (\text{iii}) & U &\simeq V, \, V \simeq W \; \Rightarrow \; U \simeq W && \quad (\text{transitive law}) \\ \end{alignat*}


解説

同型なベクトル空間の基本的性質

定理 4.15（ベクトル空間の同型）は、同型なベクトル空間の間に成り立つ基本的な性質を示しています。

すなわち、ベクトル空間 U,V,WU, V, W について、次が成り立ちます。

（i\text{i}）VV は VV 自身に同型である（反射律）
（ii\text{ii}）VV が WW に同型であれば、WW は VV に同型である（対称律）
（iii\text{iii}）UU が VV に同型であり VV が WW に同型であれば、WW は UU に同型である（推移律）

同型写像とベクトル空間の同型

あるベクトル空間とあるベクトル空間が同型であるということは、22 つのベクトル空間の間に同型写像が存在ということに他なりません（同型写像の定義）。

したがって、同型なベクトル空間の間に成り立つ性質は、そのベクトル空間間の同型写像について成り立つ性質であるともいえます。

特に、定理 4.15（ベクトル空間の同型）の（ii\text{ii}）と（iii\text{iii}）は、前項に示した同型写像の基本的な性質に対応しています。このことは、下記の証明からも明らかといえます。

ベクトル空間の同型と同値関係

定理 4.15（ベクトル空間の同型）は、ベクトル空間の間に同値関係が成り立つことを示しています。（i\text{i}）反射律、（ii\text{ii}）対称律、（iii\text{iii}）推移律がそれぞれ成り立つことにより、同型なベクトル空間を「構造として同じ」ものとして捉えられるということです。

例えば、22 つのベクトル空間 VV と WW が同型であるとき、任意の VV の元と任意の WW の元は 11 対 11 に対応しており（全単射）、和とスカラー倍の演算が保存されます（線型写像）。したがって、VV と WW はベクトル空間として全く同じ構造を持っているといえます。

このような意味で、22 つのベクトル空間が同型であるとき、それらは「代数的構造が等しい」などといいます。


証明

（i\text{i}）任意の v∈V\bm{v} \in V に対して v\bm{v} 自身を対応させる恒等写像 idV\text{id}_{V} を考えると、idV\text{id}_{V} は全単射である。また、c,d∈K,  v,v′∈Vc, d \in K, \; \bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V に対して idV(c v+d v′)=c v+d v′=c idV(v)+d idV(v′)\text{id}_{V} (c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}) = c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime} = c \, \text{id}_{V} (\bm{v}) + d \, \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime}) であるから、idV\text{id}_{V} は線型写像である。したがって、idV\text{id}_{V} は同型写像であり、VV は VV 自身に同型である。

（ii\text{ii}）V≃WV \simeq W とすると、VV から WW への同型写像が存在する。f:V→Wf : V \to W が同型写像であるとすると、ff が全単射であることから逆写像 f−1:W→Vf^{-1} : W \to V が存在し f−1f^{-1} は全単射である。また、w,w′∈W\bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in W に対して f−1(w)=v,f(w′)=v′f^{-1} (\bm{w}) = \bm{v}, f(\bm{w}^{\prime}) = \bm{v}^{\prime} とすると、任意の c,d∈K,  w,w′∈Wc, d \in K, \; \bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in W に対して、次が成り立つ。

f−1(c w+d w′)=f−1( c f(v)+d f(v′) )=f−1( f(c v+d v′) )=c v+d v′=c f−1(w)+d f−1(w′) \begin{split} f^{-1} (c \, \bm{w} + d \, \bm{w}^{\prime}) &= f^{-1} (\, c \, f (\bm{v}) + d \, f (\bm{v}^{\prime}) \,) \\ &= f^{-1} (\, f ( c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}) \,) \\ &= c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime} \\ &= c \, f^{-1}(\bm{w}) + d \, f^{-1}(\bm{w}^{\prime}) \\ \end{split}

よって、f−1f^{-1} は線型写像である。したがって、f−1f^{-1} は同型写像であり、W≃VW \simeq V である。

（iii\text{iii}）U≃V,  V≃WU \simeq V, \; V \simeq W とすると、UU から VV、VV から WW への同型写像がそれぞれ存在する。f:U→V,  g:V→Wf : U \to V, \; g : V \to W が同型写像であるとすると、f,gf, g が全単射であることから g∘fg \circ f は全単射である。また、定理 4.10（線型写像の合成）より f,gf, g が線型写像であることから g∘fg \circ f も線型写像となる。したがって、g∘f:U→Wg \circ f : U \to W は同型写像であり、U≃WU \simeq W である。□\quad \square


証明の骨子

同型写像の定義にしたがって証明します。すなわち、22 つのベクトル空間の間に（11）全単射かつ（22）線型写像となるような写像（すなわち、同型写像）が存在することを示すことで、22 つのベクトル空間が同型であることが証明できます。

（i\text{i}）V≃VV \simeq V の証明

  • VV が VV 自身に同型であることを示すために、VV から VV への写像で線型写像かつ全単射であるものを考えます。
  • このような条件を満たす写像として、恒等写像 idV\text{id}_{V} が考えられます。
（1）全単射であることの証明
  • 任意の v∈V\bm{v} \in V に対して、v=idV(v)\bm{v} = \text{id}_{V} (\bm{v}) を満たす v∈V\bm{v} \in V が存在しますので、idV\text{id}_{V} は全射です。
  • 任意の v,v′∈V\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V に対して、idV(v)=idV(v′)⇒v=v′\text{id}_{V} (\bm{v}) = \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime}) \Rightarrow \bm{v} = \bm{v}^{\prime} が成立しますので、idV\text{id}_{V} は単射です。
  • よって、idV\text{id}_{V} は全単射であるといえます。
（2）線型写像であることの証明

  • 線型写像の定義にしたがって、idV\text{id}_V が和とスカラー倍の演算を保存することを確かめます。

  • idV\text{id}_V が和とスカラー倍の演算を保存するとは、任意の c,d∈K,  v,v′∈Vc, d \in K, \; \bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V について、次が成り立つということです。

    idV(c v+d v′)=(i)c v+d v′=(ii)c idV(v)+d idV(v′) \begin{split} \text{id}_{V} (c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}) &\overset{(\text{i})}{=} c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} c \, \text{id}_{V} (\bm{v}) + d \, \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime}) \\ \end{split}

    • （i\text{i}）idV\text{id}_{V} は v∈V\bm{v} \in V に対して v\bm{v} 自身を対応させる恒等写像であるので、idV(c v+d v′)=c v+d v′\text{id}_{V} (c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}) = c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime} となります。
    • （ii\text{ii}）同様に、idV\text{id}_{V} は恒等写像なので、v=idV(v),v′=idV(v′)\bm{v} = \text{id}_{V} (\bm{v}), \bm{v}^{\prime} = \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime}) となります。

  • よって、idV\text{id}_{V} は線型写像であるといえます。

  • （11）∼\sim（22）より、idV\text{id}_{V} は同型写像であり、V≃VV \simeq V（すなわち、VV は VV 自身に同型であること）が示されました。

（ii\text{ii}）V≃W  ⇒  W≃VV \simeq W \; \Rightarrow \; W \simeq V の証明

  • V≃WV \simeq W であれば VV から WW への同型写像が存在することになります。
  • VV から WW への同型写像を f:V→Wf : V \to W として、その逆写像 f−1:W→Vf^{-1} : W \to V が同型写像であることを導きます。
（1）全単射であることの証明
  • まず、ff が全単射であることから逆写像 f−1:W→Vf^{-1} : W \to V が存在します。
  • 任意の v∈V\bm{v} \in V に対して、v=f−1(w)\bm{v} = f^{-1} (\bm{w}) を満たす w∈V\bm{w} \in V が存在しますので、f−1f^{-1} は全射です。
  • 任意の w,w′∈V\bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in V に対して、ff が単射であることから f−1(w)=f−1(w′)⇒v=v′f^{-1} (\bm{w}) = f^{-1} (\bm{w}^{\prime}) \Rightarrow \bm{v} = \bm{v}^{\prime} であり、ff が写像であることから v=v′⇒w=w′\bm{v} = \bm{v}^{\prime} \Rightarrow \bm{w} = \bm{w}^{\prime} なので、f−1(w)=f−1(w′)⇒w=w′f^{-1} (\bm{w}) = f^{-1} (\bm{w}^{\prime}) \Rightarrow \bm{w} = \bm{w}^{\prime} が成り立ちます。よって f−1f^{-1} は単射です。
  • したがって、f−1f^{-1} は全単射であるといえます。
（2）線型写像であることの証明

  • 線型写像の定義にしたがって、f−1f^{-1} が和とスカラー倍の演算を保存することを確かめます。

  • すなわち、任意の c,d∈K,  w,w′∈Wc, d \in K, \; \bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in W に対して、次が成り立ちます。

    f−1(cw+dw′)=(i)f−1( cf(v)+df(v′) )=(ii)f−1( f( cv+dv′ ) )=(iii)f−1∘f  ( cv+dv′ )=(iv)cv+dv′=(v)cf−1(w)+df−1(w′) \begin{split} f^{-1} (c \bm{w} + d \bm{w}^{\prime}) &\overset{(\text{i})}{=} f^{-1} (\, c f(\bm{v}) + d f(\bm{v}^{\prime}) \,) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} f^{-1} (\, f(\, c \bm{v} + d \bm{v}^{\prime} \,) \,) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} f^{-1} \circ f \; (\, c \bm{v} + d \bm{v}^{\prime} \,) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} c \bm{v} + d \bm{v}^{\prime} \\ &\overset{(\text{v})}{=} c f^{-1} (\bm{w}) + d f^{-1} (\bm{w}^{\prime}) \\ \end{split}

    • （i\text{i}）w1,w2∈W\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W に対して、v1=f−1(w1),v2=f−1(w2)\bm{v}_1 = f^{-1} (\bm{w}_1), \bm{v}_2 = f^{-1} (\bm{w}_2) が存在します。

      • f−1f^{-1} は写像なので、w1,w2∈W\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W に対応する v1,v1∈V\bm{v}_1, \bm{v}_1 \in V が存在します。
      • ここで、w1=f(v1),w2=f(v2)\bm{w}_1 = f (\bm{v}_1), \bm{w}_2 = f (\bm{v}_2) が成り立ちます。

    • （ii\text{ii}）ff が線型写像であることによります。

      • ff は和とスカラー倍の演算を保存するので、次が成り立ちます。
        f(c1v1+c2v2)=c1f(v1)+c2f(v2) \begin{gather*} f (c_1 \bm{v}_1 + c_2 \bm{v}_2) = c_1 f (\bm{v}_1) + c_2 f (\bm{v}_2) \end{gather*}

    • （iii\text{iii}）f−1(f(v))f^{-1} (f (\bm{v})) を合成写像として、f−1∘f(v)f^{-1} \circ f (\bm{v}) と表します。

    • （iv\text{iv}）f−1f^{-1} と ff の合成写像 f−1∘ff^{-1} \circ f は恒等写像に等しくなります。

    • （v\text{v}）再び、v1=f−1(w1),v2=f−1(w2)\bm{v}_1 = f^{-1} (\bm{w_1}), \bm{v}_2 = f^{-1} (\bm{w_2}) であることを用います。

  • 以上から、f−1f^{-1} は線型写像であるといえます。

  • （11）∼\sim（22）より、f−1f^{-1} は同型写像であり、WW は VV に同型であることが示されました。

（iii\text{iii}）U≃V,  V≃W  ⇒  U≃WU \simeq V, \; V \simeq W \; \Rightarrow \; U \simeq W の証明

  • U≃V,  V≃WU \simeq V, \; V \simeq W であれば UU から VV、VV から WW への同型写像がそれぞれ存在することになります。
  • UU から VV、VV から WW への同型写像をそれぞれ f:U→V,  g:V→Wf : U \to V, \; g : V \to W として、合成写像 g∘f:U→Wg \circ f: U \to W が同型写像であることを示します。
    • 同型写像の定義より、f,gf, g が同型写像であれば、f,gf, g はともに線型写像かつ全単射であるといえます。
    • 定理 4.10（線型写像の合成）より、線型写像の合成もまた線型写像となります。
    • また、全単射写像の合成もまた全単射となります。
  • したがって、ff と gg の合成写像 g∘fg \circ f は線型写像でありかつ全単射となります。
  • 以上から、g∘fg \circ f が同型写像であり、WW が UU に同型であることが示されました。

まとめ

  • ベクトル空間の同型に関して（i\text{i}）反射律、（ii\text{ii}）対称律、（iii\text{iii}）推移律が成り立つ。
      (i)V≃V(reflexive law) (ii)V≃W  ⇒  W≃V(symmetric law)(iii)U≃V, V≃W  ⇒  U≃W(transitive law) \begin{alignat*} {3} & \, \, (\text{i}) & \quad V &\simeq V && \quad (\text{reflexive law}) \\ & \, (\text{ii}) & V &\simeq W \; \Rightarrow \; W \simeq V && \quad (\text{symmetric law}) \\ & (\text{iii}) & U &\simeq V, \, V \simeq W \; \Rightarrow \; U \simeq W && \quad (\text{transitive law}) \\ \end{alignat*}

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 11 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 22 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 I\text{I} 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.


初版：2023-02-10   |   改訂：2024-12-20
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