同型写像（2）

$2$ つのベクトル空間の間に 同型写像が存在するとき、それらのベクトル空間は互いに同型であるといいます。

ここでは、同型なベクトル空間に成り立つ性質を示します。これは、 前項で示した 同型写像の基本的な性質をベクトル空間の観点から言い換えたものです。

ベクトル空間の同型#

定理 4.15（ベクトル空間の同型）#

$U, V, W$ をベクトル空間とすると、以下が成り立つ。

解説#

同型なベクトル空間の基本的性質#

定理 4.15（ベクトル空間の同型）は、同型なベクトル空間の間に成り立つ基本的性質を示しています。

すなわち、ベクトル空間 $U, V, W$ について、次が成り立ちます。

同型写像とベクトル空間の同型#

$2$ つのベクトル空間が互いに同型であるということは、それらのベクトル空間の間に 同型写像が存在ということに他なりません（ 同型写像の定義を参照）。

したがって、同型なベクトル空間の間に成り立つ性質は、そのベクトル空間の間の同型写像について成り立つ性質でもあります。

特に、 定理 4.15（ベクトル空間の同型）の（$\text{ii}$）と（$\text{iii}$）は、 前項に示した、次の定理に対応しています。

• 定理 4.13（同型写像の合成）：同型写像の逆写像は、同型写像である。
• 定理 4.14（同型写像の逆写像）：同型写像の合成は、同型写像である。

このことは、下記の 証明からも明らかです。

ベクトル空間の同型と同値関係#

定理 4.15（ベクトル空間の同型）は、ベクトル空間の間に同値関係が成り立つことを示しています。

すなわち、$2$ つのベクトル空間の間に（$\text{i}$）反射律、（$\text{ii}$）対称律、（$\text{iii}$）推移律がそれぞれ成り立つことは、同型なベクトル空間を「構造として同じもの」であることを意味しています。

例えば、$2$ つのベクトル空間 $V$ と $W$ が同型であるとき、任意の $V$ の元と任意の $W$ の元は $1$ 対 $1$ に対応しており（ 全単射）、和とスカラー倍の演算が保存されます（ 線型写像）。したがって、$V$ と $W$ は、ベクトル空間としてまったく同じ構造を持っているといえます。

このような意味で、$2$ つのベクトル空間が同型であるとき、それらは「代数的構造が等しい」などと表現されることもあります。

証明#

（$\text{i}$）任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v}$ 自身を対応させる恒等写像 $\text{id}_{V}$ を考えると、$\text{id}_{V}$ は全単射である。また、$c, d \in K, \; \bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ に対して $\text{id}_{V} (c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}) = c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime} = c \, \text{id}_{V} (\bm{v}) + d \, \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime})$ であるから、$\text{id}_{V}$ は線型写像である。したがって、$\text{id}_{V}$ は同型写像であり、$V$ は $V$ 自身に同型である。

（$\text{ii}$）$V \simeq W$ とすると、$V$ から $W$ への同型写像が存在する。$f : V \to W$ が同型写像であるとすると、$f$ が全単射であることから逆写像 $f^{-1} : W \to V$ が存在し $f^{-1}$ は全単射である。また、$\bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in W$ に対して $f^{-1} (\bm{w}) = \bm{v}, f(\bm{w}^{\prime}) = \bm{v}^{\prime}$ とすると、任意の $c, d \in K, \; \bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in W$ に対して、次が成り立つ。

よって、$f^{-1}$ は線型写像である。したがって、$f^{-1}$ は同型写像であり、$W \simeq V$ である。

（$\text{iii}$）$U \simeq V, \; V \simeq W$ とすると、$U$ から $V$、$V$ から $W$ への同型写像がそれぞれ存在する。$f : U \to V, \; g : V \to W$ が同型写像であるとすると、$f, g$ が全単射であることから $g \circ f$ は全単射である。また、 定理 4.10（線型写像の合成）より $f, g$ が線型写像であることから $g \circ f$ も線型写像となる。したがって、$g \circ f : U \to W$ は同型写像であり、$U \simeq W$ である。$\quad \square$

証明の骨子#

同型写像の定義にしたがって証明します。すなわち、$2$ つのベクトル空間の間に（$1$） 全単射かつ（$2$） 線型写像となるような写像（すなわち、 同型写像）が存在することを示すことで、$2$ つのベクトル空間が同型であることが証明できます。

（$\text{i}$）$V \simeq V$ の証明#

• $V$ が $V$ 自身に同型であることを示すために、$V$ から $V$ への写像で 線型写像かつ 全単射であるものを考えます。
• このような条件を満たす写像として、 恒等写像 $\text{id}_{V}$ が考えられます。

（1）全単射であることの証明#

• 任意の $\bm{v} \in V$ に対して、$\bm{v} = \text{id}_{V} (\bm{v})$ を満たす $\bm{v} \in V$ が存在しますので、$\text{id}_{V}$ は 全射です。
• 任意の $\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ に対して、$\text{id}_{V} (\bm{v}) = \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime}) \Rightarrow \bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ が成立しますので、$\text{id}_{V}$ は 単射です。
• よって、$\text{id}_{V}$ は 全単射であるといえます。

（2）線型写像であることの証明#

• 線型写像の定義にしたがって、$\text{id}_V$ が和とスカラー倍の演算を保存することを確かめます。

• $\text{id}_V$ が和とスカラー倍の演算を保存するとは、任意の $c, d \in K, \; \bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ について、次が成り立つということです。

  $$ \begin{split} \text{id}_{V} (c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}) &\overset{(\text{i})}{=} c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} c \, \text{id}_{V} (\bm{v}) + d \, \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime}) \\ \end{split} $$
  • （$\text{i}$）$\text{id}_{V}$ は $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v}$ 自身を対応させる 恒等写像であるので、$\text{id}_{V} (c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}) = c \, \bm{v} + d \, \bm{v}^{\prime}$ となります。
  • （$\text{ii}$）同様に、$\text{id}_{V}$ は恒等写像なので、$\bm{v} = \text{id}_{V} (\bm{v}), \bm{v}^{\prime} = \text{id}_{V} (\bm{v}^{\prime})$ となります。

• よって、$\text{id}_{V}$ は 線型写像であるといえます。

• （$1$）$\sim$（$2$）より、$\text{id}_{V}$ は 同型写像であり、$V \simeq V$（すなわち、$V$ は $V$ 自身に同型であること）が示されました。

（$\text{ii}$）$V \simeq W \; \Rightarrow \; W \simeq V$ の証明#

• $V \simeq W$ であれば $V$ から $W$ への 同型写像が存在することになります。
• $V$ から $W$ への同型写像を $f : V \to W$ として、その 逆写像 $f^{-1} : W \to V$ が同型写像であることを導きます。

（1）全単射であることの証明#

• まず、$f$ が 全単射であることから 逆写像 $f^{-1} : W \to V$ が存在します（ 定理 A.1（逆写像を持つことと同値な条件））。
• 任意の $\bm{v} \in V$ に対して、$\bm{v} = f^{-1} (\bm{w})$ を満たす $\bm{w} \in V$ が存在しますので、$f^{-1}$ は 全射です。
• 任意の $\bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in V$ に対して、$f$ が 単射であることから $f^{-1} (\bm{w}) = f^{-1} (\bm{w}^{\prime}) \Rightarrow \bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ であり、$f$ が写像であることから $\bm{v} = \bm{v}^{\prime} \Rightarrow \bm{w} = \bm{w}^{\prime}$ なので、$f^{-1} (\bm{w}) = f^{-1} (\bm{w}^{\prime}) \Rightarrow \bm{w} = \bm{w}^{\prime}$ が成り立ちます。よって $f^{-1}$ は単射です。
• したがって、$f^{-1}$ は全単射であるといえます。

（2）線型写像であることの証明#

• 線型写像の定義にしたがって、$f^{-1}$ が和とスカラー倍の演算を保存することを確かめます。

• すなわち、任意の $c, d \in K, \; \bm{w}, \bm{w}^{\prime} \in W$ に対して、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} f^{-1} (c \bm{w} + d \bm{w}^{\prime}) &\overset{(\text{i})}{=} f^{-1} (\, c f(\bm{v}) + d f(\bm{v}^{\prime}) \,) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} f^{-1} (\, f(\, c \bm{v} + d \bm{v}^{\prime} \,) \,) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} f^{-1} \circ f \; (\, c \bm{v} + d \bm{v}^{\prime} \,) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} c \bm{v} + d \bm{v}^{\prime} \\ &\overset{(\text{v})}{=} c f^{-1} (\bm{w}) + d f^{-1} (\bm{w}^{\prime}) \\ \end{split} $$

  • （$\text{i}$）$\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ に対して、$\bm{v}_1 = f^{-1} (\bm{w}_1), \bm{v}_2 = f^{-1} (\bm{w}_2)$ が存在します。

    • $f^{-1}$ は写像なので、$\bm{w}_1, \bm{w}_2 \in W$ に対応する $\bm{v}_1, \bm{v}_1 \in V$ が存在します。
    • ここで、$\bm{w}_1 = f (\bm{v}_1), \bm{w}_2 = f (\bm{v}_2)$ が成り立ちます。

  • （$\text{ii}$）$f$ が 線型写像であることによります。

    • $f$ は和とスカラー倍の演算を保存するので、次が成り立ちます。
      $$ \begin{gather*} f (c_1 \bm{v}_1 + c_2 \bm{v}_2) = c_1 f (\bm{v}_1) + c_2 f (\bm{v}_2) \end{gather*} $$

  • （$\text{iii}$）$f^{-1} (f (\bm{v}))$ を 合成写像として、$f^{-1} \circ f (\bm{v})$ と表します。

  • （$\text{iv}$）$f^{-1}$ と $f$ の合成写像 $f^{-1} \circ f$ は 恒等写像に等しくなります。

  • （$\text{v}$）再び、$\bm{v}_1 = f^{-1} (\bm{w_1}), \bm{v}_2 = f^{-1} (\bm{w_2})$ であることを用います。

• 以上から、$f^{-1}$ は線型写像であるといえます。

• （$1$）$\sim$（$2$）より、$f^{-1}$ は同型写像であり、$W$ は $V$ に同型であることが示されました。

（$\text{iii}$）$U \simeq V, \; V \simeq W \; \Rightarrow \; U \simeq W$ の証明#

• $U \simeq V, \; V \simeq W$ であれば $U$ から $V$、$V$ から $W$ への 同型写像がそれぞれ存在することになります。
• $U$ から $V$、$V$ から $W$ への同型写像をそれぞれ $f : U \to V, \; g : V \to W$ として、合成写像 $g \circ f: U \to W$ が同型写像であることを示します。
  • 同型写像の定義より、$f, g$ が同型写像であれば、$f, g$ はともに 線型写像かつ 全単射であるといえます。
  • 定理 4.10（線型写像の合成）より、線型写像の合成もまた線型写像となります。
  • また、全単射写像の合成もまた全単射となります。
• したがって、$f$ と $g$ の 合成写像 $g \circ f$ は線型写像でありかつ全単射となります。
• 以上から、$g \circ f$ が同型写像であり、$W$ が $U$ に同型であることが示されました。

まとめ#

• ベクトル空間の同型に関して（$\text{i}$）反射律、（$\text{ii}$）対称律、（$\text{iii}$）推移律が成り立つ。
  $$ \begin{alignat*} {2} & \, \, (\text{i}) & \quad V &\simeq V \\ & \, (\text{ii}) & V &\simeq W \; \Rightarrow \; W \simeq V \\ & (\text{iii}) & U &\simeq V, \, V \simeq W \; \Rightarrow \; U \simeq W \\ \end{alignat*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.