線型写像の像と核（2）

線形写像 $f$ が単射であるためには、$f$ の核について $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ が成り立つことが必要にして十分です。

これは、線型写像が単射であるための必要十分条件を示す定理であり、ベクトル空間の次元や行列の階数の考察において重要な役割を果たします。

線型写像が単射であるための条件#

定理 4.12（線型写像と単射）#

線型写像 $f$ が単射であるためには、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることが必要にして十分である。

解説#

線型写像が単射であるための条件（必要十分条件）#

定理 4.12（線型写像と単射）は、線形写像が単射であることと同値な条件を示しています。

すなわち、線型写像 $f$ が単射であるためには、$f$ の核について $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ が成り立つことが必要にして十分です。

線形写像の核とは#

ここで、$\text{Ker} f$ は線型写像 $f$ の核を示しています（像と核の定義を参照）。すなわち、$f$ の核（$\text{Ker} f$）とは、$f : V \to W$ により、$W$ の零ベクトルに移される $V$ の元の集合です。

したがって、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ という条件は、「$f$ により $W$ の零ベクトルに移される $V$ の元が $\bm{0} \in V$ のみである」ことを意味しています。

単射とは#

単射は（線形写像に限らない）一般の写像に対して定義される概念です（単射の定義を参照）。

すなわち、集合 $A$ から集合 $B$ への写像 $f : A \to B$ が単射であるということは、任意の $x, y \in A$ について、次が成り立つことに他なりません。

つまり、単射とは、任意の異なる $A$ の元の行き先が異なる（被らない）ような写像のことです。

また、上記（$\star$）式の対偶は、次のようになります。すなわち、同じ $B$ の元に来るのが必ず同じ $A$ の元であることも、$f$ が単射であることの定義の条件であるといえます。

線形写像と一般の写像の違い（単射であるための条件）#

定理 4.12（線型写像と単射）は $f$ が線型写像である場合に限り成り立ちます。

一般の写像が単射であるための条件#

一般に、写像 $f$ が単射であるためには、定義の条件である（$\star$）式または（$\star^{\prime}$）式を満たす必要があります。

そのため、一般の写像 $f : A \to B$ が単射であることを確かめるためには、任意の $A$ の元について（$\star$）式または（$\star^{\prime}$）式が成り立つことを調べる必要があります。

線型写像が単射であるための条件#

一方で、$f$ が線型写像である場合、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることを確かめることで、$f$ が単射であることを示せます。

もちろん、定義の条件が成り立つことを調べてもよいでが、多くの場合、定理 4.12（線型写像と単射）により、単射性を確認する手続きが簡単になります。このような意味で、定理 4.12は大変便利です。

$f$ が線型写像である場合、単射であるための条件（必要十分条件）が簡単になるのは、「線型写像は零ベクトルを零ベクトルに移す」という線型写像の基本的性質（定理 4.9（零ベクトルの像））にもよります。このことは、下記の証明において詳しくみます。

証明#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とする。$f$ が単射であるとすると、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} \neq \bm{0}$ ならば $f(\bm{v}) \neq f(\bm{0}) = \bm{0}$ が成り立つ。このとき、$f(\bm{v}) = \bm{0}$ となる $V$ の元は $\bm{v} = \bm{0}$ に限られる。したがって、$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ である。

逆に、$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ として、$\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ が $f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime})$ を満たすとする。このとき、$f$ が線型写像であることから、$f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) = f(\bm{v}) - f(\bm{v}^{\prime}) = \bm{0}$ であり、$\bm{v} - \bm{v}^{\prime} \in \text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ となる。よって、$\bm{v} - \bm{v}^{\prime} = \bm{0}$ であり、$\bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ が成り立つ。したがって、$f$ は単射である。$\quad \square$

証明の考え方#

（$\text{i}$）$f$ が単射であることと（$\text{ii}$）$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ の同値性を示します。

• 一般の写像が単射であるための条件と、線型写像の性質（定理 4.9（零ベクトルの像））を用いて証明します。
• 単射であるための条件とその対偶をうまく使い分けることで、証明を簡潔にできます。片方の条件のみを用いて示すこともできますが、その場合は仮定法を用いるなどにより、少しだけ証明が長くなります。

前提事項の整理#

（一般の写像が）単射であるための条件：#

• $f : V \to W$ が単射であるためには、任意の $\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ に対して（$1$）と（$2$）が成り立つ必要があります（単射の定義）。

  $$\begin{gather*} (1) & f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime}) \; \Rightarrow \; \bm{v} = \bm{v}^{\prime} \\ (2) & \bm{v} \neq \bm{v}^{\prime} \; \Rightarrow \; f(\bm{v}) \neq f(\bm{v}^{\prime}) \\ \end{gather*}$$

• （$1$）と（$2$）はそれぞれの対偶であり、同値な条件です。

• （$1$）と（$2$）のいずれかを満たせば、$f$ が単射であるといえます。

線型写像の性質：#

• 線型写像は、零ベクトルを零ベクトルに移します（定理 4.9（零ベクトルの像））。
• したがって、$f$ が線型写像であれば、次が成り立ちます。
  $$\begin{gather*} (3) & f(\bm{0}) = \bm{0} \end{gather*}$$

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• （$\text{i}$）$f$ が単射であるならば（$\text{ii}$）$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることを導きます。
  • これは、$f$ により $\bm{0} \in W$ に移される元が $\bm{0} \in V$ のみであることを示せればよいです。
• 前提事項（$2$）と（$3$）から、任意の $V$ の元について、$\bm{v} \neq \bm{0} \Rightarrow f(\bm{v}) \neq \bm{0}$ であることを導きます。

  • いま、$f$ が単射であるから、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} \neq \bm{0}$ とすると、次が成り立ちます（前提事項（$2$））。

    $$\begin{gather*} \bm{v} \neq \bm{0} \Rightarrow f(\bm{v}) \neq f(\bm{0}) \end{gather*}$$

  • 同様に、$f$ が線型写像であるから、$f(\bm{0}) = \bm{0}$ であり（前提事項（$3$））、次が成り立ちます。

    $$\begin{gather*} \bm{v} \neq \bm{0} \Rightarrow f(\bm{v}) \neq f(\bm{0}) = \bm{0} \end{gather*}$$

  • これは、$\bm{0}$ でない $V$ の元は $\bm{0} \in W$ に移されないということを意味しています。

  • 逆にいえば、$\bm{0} \in W$ に移されるのは $\bm{v} = \bm{0}$ の場合に限るということです。

• 以上から、（$\text{i}$）$f$ が単射であるならば（$\text{ii}$）$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ であることが示されました。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• 逆に（$\text{ii}$）$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ であるならば、（$\text{i}$）$f$ が単射であることを示します。
• 前提事項（$1$）と（$3$）から、任意の $V$ の元について、$f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime}) \Rightarrow\bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ が成り立つことを導きます。

  • $f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime})$ を満たすような $\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ が存在するとすると、$V$ はベクトル空間なので $\bm{v} - \bm{v}^{\prime} \in V$ となります。

  • また、$f$ は線型写像であるので、次が成り立ちます。

    $$\begin{split} f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) &= f(\bm{v}) - f(\bm{v}^{\prime}) \\ &= \bm{0} \\ \end{split}$$

  • ここで、$f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) = \bm{0}$ であるので、$\bm{v} - \bm{v}^{\prime} \in \text{Ker} f$ となります（線型写像の核の定義）。

  • いま、仮定より $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ なので、$\bm{0} \in W$ に移される元は $\bm{0} \in V$ のみです。

  • よって、次が成り立ちます。

    $$\begin{gather*} & f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) = \bm{0} \\ \Rightarrow & \bm{v} - \bm{v}^{\prime} = \bm{0} \\ \Rightarrow & \bm{v} = \bm{v}^{\prime} \end{gather*}$$

  • したがって、$f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime})$ ならば $\bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ が成り立ちます。

  • これは、$f$ が単射であることと同値な条件に他なりません（前提事項（$1$））。

• 以上から、（$\text{ii}$）$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ であるならば（$\text{i}$）$f$ が単射であることが示されました。

まとめ#

• 線型写像 $f$ が単射であるためには、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることが必要にして十分である。

参考文献#

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[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.