線型写像の像と核（2）

線形写像 $f$ が単射であるためには、$f$ の 核について $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ が成り立つことが必要にして十分です。

これは、線型写像が単射であるための必要十分条件を示す定理であり、 ベクトル空間の次元や 行列の階数の考察において重要な役割を果たします。

線型写像が単射であるための条件#

定理 4.12（線型写像と単射）#

線型写像 $f$ が単射であるためには、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることが必要にして十分である。

解説#

線型写像が単射であるための条件（必要十分条件）#

定理 4.12（線型写像と単射）は、 線形写像が単射であることと同値な条件を示しています。

すなわち、線型写像 $f$ が単射であるためには、$f$ の 核について $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ が成り立つことが必要にして十分です。

線形写像の核とは#

ここで、$\text{Ker} f$ は線型写像 $f$ の 核を示しています（ 像と核の定義を参照）。すなわち、$f$ の核（$\text{Ker} f$）とは、$f : V \to W$ により、$W$ の零ベクトルに移される $V$ の元の集合です。

したがって、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ という条件は、「$f$ により $W$ の零ベクトルに移される $V$ の元が $\bm{0} \in V$ のみである」ことを意味しています。

単射とは#

単射は（ 線形写像に限らない）一般の写像に対して定義される概念です（ 単射の定義を参照）。

すなわち、集合 $A$ から集合 $B$ への写像 $f : A \to B$ が単射であるということは、任意の $x, y \in A$ について、次が成り立つことに他なりません。

つまり、単射とは、任意の異なる $A$ の元の行き先が異なる（被らない）ような写像のことです。

また、上記 （$\star$）式の対偶は、次のようになります。すなわち、同じ $B$ の元に来るのが必ず同じ $A$ の元であることも、$f$ が単射であることの定義の条件であるといえます。

線形写像と一般の写像の違い（単射であるための条件）#

定理 4.12（線型写像と単射）は $f$ が線型写像である場合に限り成り立ちます。

一般の写像が単射であるための条件#

一般に、写像 $f$ が 単射であるためには、 定義の条件である （$\star$）式または （$\star^{\prime}$）式を満たす必要があります。

そのため、一般の写像 $f : A \to B$ が単射であることを確かめるためには、任意の $A$ の元について （$\star$）式または （$\star^{\prime}$）式が成り立つことを調べる必要があります。

線型写像が単射であるための条件#

一方で、$f$ が線型写像である場合、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることを確かめることで、$f$ が単射であることを示せます。

もちろん、 定義の条件が成り立つことを調べてもよいでが、多くの場合、 定理 4.12（線型写像と単射）により、単射性を確認する手続きが簡単になります。このような意味で、 定理 4.12は大変便利です。

$f$ が線型写像である場合、単射であるための条件（必要十分条件）が簡単になるのは、「線型写像は零ベクトルを零ベクトルに移す」という線型写像の基本的性質（ 定理 4.9（零ベクトルの像））にもよります。このことは、下記の 証明において詳しくみます。

証明#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とする。$f$ が単射であるとすると、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} \neq \bm{0}$ ならば $f(\bm{v}) \neq f(\bm{0}) = \bm{0}$ が成り立つ。このとき、$f(\bm{v}) = \bm{0}$ となる $V$ の元は $\bm{v} = \bm{0}$ に限られる。したがって、$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ である。

逆に、$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ として、$\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ が $f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime})$ を満たすとする。このとき、$f$ が線型写像であることから、$f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) = f(\bm{v}) - f(\bm{v}^{\prime}) = \bm{0}$ であり、$\bm{v} - \bm{v}^{\prime} \in \text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ となる。よって、$\bm{v} - \bm{v}^{\prime} = \bm{0}$ であり、$\bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ が成り立つ。したがって、$f$ は単射である。$\quad \square$

証明の考え方#

（$\text{i}$）$f$ が単射であることと（$\text{ii}$）$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ の同値性を示します。

• 一般の写像が 単射であるための条件と、線型写像の性質（ 定理 4.9（零ベクトルの像））を用いて証明します。
• 単射であるための条件とその対偶をうまく使い分けることで、証明を簡潔にできます。片方の条件のみを用いて示すこともできますが、その場合は仮定法を用いるなどにより、少しだけ証明が長くなります。

前提事項の整理#

（一般の写像が）単射であるための条件：#

• $f : V \to W$ が単射であるためには、任意の $\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ に対して（$1$）と（$2$）が成り立つ必要があります（ 単射の定義）。

  $$ \begin{gather*} (1) & f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime}) \; \Rightarrow \; \bm{v} = \bm{v}^{\prime} \\ (2) & \bm{v} \neq \bm{v}^{\prime} \; \Rightarrow \; f(\bm{v}) \neq f(\bm{v}^{\prime}) \\ \end{gather*} $$

• （$1$）と（$2$）はそれぞれの対偶であり、同値な条件です。

• （$1$）と（$2$）のいずれかを満たせば、$f$ が単射であるといえます。

線型写像の性質：#

• 線型写像は、零ベクトルを零ベクトルに移します（ 定理 4.9（零ベクトルの像））。
• したがって、$f$ が線型写像であれば、次が成り立ちます。
  $$ \begin{gather*} (3) & f(\bm{0}) = \bm{0} \end{gather*} $$

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• （$\text{i}$）$f$ が単射であるならば（$\text{ii}$）$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることを導きます。
  • これは、$f$ により $\bm{0} \in W$ に移される元が $\bm{0} \in V$ のみであることを示せればよいです。
• 前提事項（$2$）と（$3$）から、任意の $V$ の元について、$\bm{v} \neq \bm{0} \Rightarrow f(\bm{v}) \neq \bm{0}$ であることを導きます。

  • いま、$f$ が単射であるから、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v} \neq \bm{0}$ とすると、次が成り立ちます（ 前提事項（$2$））。

    $$ \begin{gather*} \bm{v} \neq \bm{0} \Rightarrow f(\bm{v}) \neq f(\bm{0}) \end{gather*} $$

  • 同様に、$f$ が線型写像であるから、$f(\bm{0}) = \bm{0}$ であり（ 前提事項（$3$））、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} \bm{v} \neq \bm{0} \Rightarrow f(\bm{v}) \neq f(\bm{0}) = \bm{0} \end{gather*} $$

  • これは、$\bm{0}$ でない $V$ の元は $\bm{0} \in W$ に移されないということを意味しています。

  • 逆にいえば、$\bm{0} \in W$ に移されるのは $\bm{v} = \bm{0}$ の場合に限るということです。

• 以上から、（$\text{i}$）$f$ が単射であるならば（$\text{ii}$）$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ であることが示されました。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• 逆に（$\text{ii}$）$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ であるならば、（$\text{i}$）$f$ が単射であることを示します。
• 前提事項（$1$）と（$3$）から、任意の $V$ の元について、$f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime}) \Rightarrow\bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ が成り立つことを導きます。

  • $f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime})$ を満たすような $\bm{v}, \bm{v}^{\prime} \in V$ が存在するとすると、$V$ はベクトル空間なので $\bm{v} - \bm{v}^{\prime} \in V$ となります。

  • また、$f$ は線型写像であるので、次が成り立ちます。

    $$ \begin{split} f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) &= f(\bm{v}) - f(\bm{v}^{\prime}) \\ &= \bm{0} \\ \end{split} $$

  • ここで、$f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) = \bm{0}$ であるので、$\bm{v} - \bm{v}^{\prime} \in \text{Ker} f$ となります（ 線型写像の核の定義）。

  • いま、仮定より $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ なので、$\bm{0} \in W$ に移される元は $\bm{0} \in V$ のみです。

  • よって、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} & f(\bm{v} - \bm{v}^{\prime}) = \bm{0} \\ \Rightarrow & \bm{v} - \bm{v}^{\prime} = \bm{0} \\ \Rightarrow & \bm{v} = \bm{v}^{\prime} \end{gather*} $$

  • したがって、$f(\bm{v}) = f(\bm{v}^{\prime})$ ならば $\bm{v} = \bm{v}^{\prime}$ が成り立ちます。

  • これは、$f$ が単射であることと同値な条件に他なりません（ 前提事項（$1$））。

• 以上から、（$\text{ii}$）$\text{Ker} = \{ \bm{0} \}$ であるならば（$\text{i}$）$f$ が単射であることが示されました。

まとめ#

• 線型写像 $f$ が単射であるためには、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることが必要にして十分である。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.