線型結合と線型関係

ベクトルの線型結合と線型関係を定義するとともに、ベクトルの線型結合が部分空間を生成する（張る）ことを示します。

ベクトルの線型結合とはベクトル空間の元（ベクトル）のスカラー倍の和のことであり、それ自身がベクトルとなります。ベクトルの線型関係とはベクトル空間の元（ベクトル）の間の関係式のことです。線型関係に関する考察は線型独立や線型従属といった概念を導入するにあたって非常に重要です。

線型結合と線型関係#

定義 4.6（線型結合と線型関係）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ と $c_{1}, \cdots, c_{k} \in K$ に対して、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k}$ の形で表される $V$ の元を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合（$\text{linear combination}$）という。また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ の間の関係式 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型関係（$\text{linear relation}$）という。

ベクトルの線型結合とはベクトル空間 $V$ の元（ベクトル）のスカラー倍の和のことです。ベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は $V$ の元であるので、その線型結合 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k}$ もまた $V$ の元（ベクトル）に他なりません。これは、ベクトル空間 $V$ が和とスカラー倍の演算について閉じていることから明らかといえます（ベクトル空間の定義）。

ベクトルの線型結合 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k}$ は、多項式としてみれば一次式であることから一次結合とも呼ばれますが、ここでは英名（$\text{linear combination}$）に合わせて線型結合と呼ぶことにします。

線型関係 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ とは $V$ の元（ベクトル） $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の間の関係式です。定義から、どのようなベクトルの間にも必ず線型関係が存在することがわかります。これは、$c_{1} = \cdots = c_{k} = 0$ とすれば、どのような $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の組合せに対しても $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ が成り立つことから明らかといえます。このような線型関係を自明な（$\text{trivial}$）線型関係といいます。また、$c_{1} = \cdots = c_{k} = 0$ でないような線型関係を自明でない（$\text{non-trivial}$）線型関係といいます。あるベクトルの組合せに対して、自明な線型関係しか存在しない（線型独立）か、自明でない線型関係が存在する（線型従属）かというのは、ベクトル空間において非常に重要な考察であり、次項に改めて整理します。

線型結合を一次式としてみたのと同じように、線型関係は一次方程式としてみることができます。線型関係 $c_{1} \, \bm{v_{1}} + \cdots + c_{k} \, \bm{v_{k}} = \bm{0}$ を $c_{1}, \cdots, c_{k} \in K$ に関する一次方程式としてみれば、$c_{1} = \cdots = c_{k} = 0$ ならばどのような $\bm{v_{1}}, \cdots, \bm{v_{k}}$ に対しても線型関係が成り立つということは明らかです。すなわち、どのようなベクトルの組合せに対しても自明な線型関係が存在するということは、一次方程式 $c_{1} \, \bm{v_{1}} + \cdots + c_{k} \, \bm{v_{k}} = \bm{0}$ が自明な解を持つということに等しいといえます。

定理 4.16（線型結合）#

ベクトル空間 $V$ の空でない部分集合 $S$ とすると、$S$ の元の線型結合の全体は $V$ の部分空間である。

この定理により定められる部分空間を、$S$ により生成（$\text{generate}$）される部分空間、または $S$ により張られる部分空間といい、$\langle S \rangle$ などと表します。

$S$ は $V$ の空でない部分集合なので、要するに、いくつかのベクトル（$V$ の元）からなる集合です。いま、$S = \{ \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \}$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合の全体が部分空間になるというのが定理 4.6の主張です。つまり、$V$ から（$1$ つ以上の）適当なベクトルを選んで部分空間を生成することができるというわけです。

ここで、$S$ と $\langle S \rangle$ を混同しないよう注意が必要です。$S$ はあくまで部分空間を生成するもととなるベクトルの集合であり、直ちに部分空間を指しているわけではありません。

また、線型結合にり生成される部分空間は、部分集合を表す文字 $S$ を用いずに表すこともできます。すなわち、$S$ により生成される部分空間は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ により生成される（張られる）部分空間に他なりませんので、$\langle \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \rangle$ と表されることもあります。

証明#

$S = \{ \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \}$ として、$S$ の元の線型結合全体の集合を $\langle S \rangle$ とする。$s_1, s_2 \in \langle S \rangle$ とすると、$s_1, s_2$ は $a_{1}, \cdots, a_{k}, b_{1}, \cdots, b_{k} \in K$ によりそれぞれ $s_1 = a_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{k} \, \bm{v}_{k}, \; s_2 = b_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + b_{k} \, \bm{v}_{k}$ と表せるから、次が成り立つ。ただし $d \in K$ とする。

したがって、$s_1 + s_2 \in \langle S \rangle, \; d \, s_1 \in \langle S \rangle$ であるので、定理 4.5より $\langle S \rangle$ は $V$ の部分空間である。$\quad \square$

証明の骨子#

定理 4.5（部分空間の条件）を用いて示します。

• $S$ と $\langle S \rangle$ を次のように置きます。

  $$ \begin{split} S &= \{ \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \} \\ \langle S \rangle &= \left\{ \; c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} \mid c_{i} \in K, \bm{v}_{i} \in S \; (i = 1, \cdots, k) \; \right\} \\ \end{split} $$
  
  
  • ここで、$\langle S \rangle$ は $S$ の元の線型結合全体の集合を指しています。$\langle S \rangle$ が部分空間であることはまだ示されていません。

• $\langle S \rangle$ がベクトルの和とスカラー倍について閉じていることを確かめます。

  • 定理 4.5（部分空間の条件）により、$s_1, s_2 \in \langle S \rangle \Rightarrow s_1 + s_2 \in \langle S \rangle \; \land \; d \, s_1 \in \langle S \rangle$ が成り立つことを確かめます。ただし $d \in K$ とします。

    • $s_1, s_2$ は $\langle S \rangle$ の元なので、どちらも $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合であり、それぞれ次のように表すことができます。ただし $a_{1}, \cdots, a_{k}, b_{1}, \cdots, b_{k} \in K$ とします。

      $$ \begin{split} s_1 &= a_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{k} \, \bm{v}_{k}, \\ s_2 &= b_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + b_{k} \, \bm{v}_{k} \end{split} $$
      
      

    • このとき、$s_1 + s_2$ と $d \, s_1 $ はそれぞれ次のようになります。

      $$ \begin{split} s_1 + s_2 &= (a_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{k} \, \bm{v}_{k}) + (b_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + b_{k} \, \bm{v}_{k}) \\ &= (a_{1} + b_{1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + (a_{k} + b_{k}) \, \bm{v}_{k} \\ \\ d \, s_1 &= d \, (a_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{k} \, \bm{v}_{k}) \\ &= (da_{1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + (da_{k}) \, \bm{v}_{k} \\ \end{split} $$
      
      

    • つまり、$s_1 + s_2$ と $d \, s_1 $ はどちらも $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として表すことができるので、ともに $\langle S \rangle$ の元であるといえます。

  • 以上から $s_1, s_2 \in \langle S \rangle \Rightarrow s_1 + s_2 \in \langle S \rangle \; \land \; d \, s_1 \in \langle S \rangle$ が成り立ち、題意が示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ と $c_{1}, \cdots, c_{k} \in K$ に対して、
  

  • $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k}$ の形で表される $V$ の元を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合といい、
    
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ の間の関係式 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型関係という。
    

• $V$ の空でない部分集合 $S$ とすると、$S$ の元の線型結合の全体は $V$ の部分空間である。
  

  • この部分空間を、$S$ により生成される（張られる）部分空間といい、$\langle S \rangle$ などと表す。
    

参考文献#