行列式と線型独立性（1）

線型独立または線型従属であるベクトルの組と行列式との関係について考察します。基本的な考え方は基底と次元の準備に共通していますが、ここで示す定理は行列式が定義できる場合、すなわち正方行列に対応する場合に限られます。

はじめに、係数行列が正方行列である場合に、斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件（必要十分条件）に関する定理を示します。

この定理は、行列の階数の性質についての考察などで重要な役割を果たします。

行列式と線型独立・線型従属なベクトル#

定理 4.26（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）#

次の斉次連立一次方程式が自明でない解を持つためには、$\lvert \, A \, \rvert = 0$ が必要にして十分である。ここで $A$ は係数行列である。

要するに「斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つ $\Leftrightarrow \vert \, A \, \vert = 0$ 」ということです。ただし、これは一般の斉次連立一次方程式に対して成り立つわけではなく、あくまで係数行列が正方行列である場合、すなわち未知数の数と変数の数が等しい場合に限る点注意が必要です。

一般の斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件については、定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）にて考察しました。このとき、「未知数の数（$n$）が方程式の数（$m$）よりも大きい（$n \gt m$）」ことが、自明でない解を持つための十分条件でありました。一方で、定理 4.26は、未知数の数（$n$）と方程式の数（$m$）が等しい（$n = m$）ことを前提として、斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための必要十分条件は「係数行列の行列式が $0$ に等しい（ $\vert \, A \, \vert = 0$ ）」ことであると主張しています。下の証明にみるように、基本的な考え方は定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）に共通していますが、前提の違いから、定理が適用できる場面は異なります。

また、「係数行列の行列式が $0$ に等しい（ $\vert \, A \, \vert = 0$ ）」という条件は、定理 3.22（逆行列を持つための条件） により「係数行列が正則でない」ということと同値です。このように言い換えて表現されている教科書もあります（[2]）。

証明#

$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つとき、仮に $\vert \, A \, \vert \neq 0$ とすると、$A$ は正則であり逆行列 $A^{-1}$ を持つから、$A \bm{x} = \bm{0}$ に左から $A^{-1}$ をかけることで $\bm{x} = \bm{0}$ となる。すなわち、$A \bm{x} = \bm{0}$ は自明な解のみを持つことになり、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことに矛盾する。よって、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つならば $\vert \, A \, \vert = 0$ である。逆に、$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことを、数学的帰納法により示す。まず、$n = 1$ のとき（4.3.2）式は $a_{11} x_{1} = 0$ という一次方程式になる。このとき $\vert \, A \, \vert = a_{11} = 0$ とすれば、任意の $x_{1}$ に対して $a_{11} x_{1} = 0$ が成り立つから（4.3.2）式は自明でない解を持つ。次に、$n \gt 1$ として、$n -1$ の場合に定理の主張が成り立つと仮定して $n$ の場合もこれが成り立つことを示す。$A$ のすべての要素 $a_{ij} \; (1 \leqslant i, j \leqslant n)$ が $0$ ならば、任意の $x_{1}, \cdots, x_{n}$ が（4.3.2）式を満たすので（4.3.2）式は自明でない解をもつ。そこで、$a_{ij}$ のうち少なくとも $1$ つが $0$ でない場合について考える。例えば $a_{11} \neq 0$ とすると、（4.3.2）式は次のように変形できる。

ここで、$a^{\prime}_{ij} = a_{ij} - \displaystyle\frac{a_{i1}}{a_{11}} \, a_{1j}$ である。逆に（$\ast$）を変形することで（4.3.2）式が得られるので、（4.3.2）式と（$ \ast$）は同じ解を持つ。また、（$\ast$）から $1$ 行目の方程式を除いた（${\ast}^{\prime}$）の係数行列を $A^{\prime}$ とおくと、（4.3.2）式の係数行列 $A$ の行列式は次のように変形できる。

いま $a_{11} \neq 0$ であるので、$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば $\vert \, A^{\prime} \, \vert = 0$ である。また（${\ast}^{\prime}$）は未知数と方程式の数がともに $(n-1)$ 個の斉次連立一次方程式であるから、帰納法の仮定により自明でない解を持つ。これを $x_{2} = \alpha_{2}, \cdots, x_{n} = \alpha_{n}$ として、$x_{1}$ を次のようにおくと、

は、（$\ast$）の自明でない解の $1$ つである。（4.3.2）式と（$\ast$）は同じ解を持つから、これは（4.3.2）式の自明でない解の $1$ つでもある。$a_{11}$ 以外の係数が $0$ でない場合も、和や方程式のd順序を入れ替えることで同様に示せる。したがって、$n \gt 1$ のときも（4.3.2）式は自明でない解を持つ。$\quad \square$

証明の骨子#

（$\text{i}$）「$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つ」ことと（$\text{ii}$）「$\vert \, A \, \vert = 0$」であることの同値性を示します。（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）は背理法によります。$\vert \, A \, \vert \neq 0$ であれば $A$ は正則であり逆行列 $A^{-1}$ を持つことを利用します。（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）は数学的帰納法によります。基本的な考え方は定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）と同じで、行列式の性質（系 3.17（$0$ を含む行列の行列式））を用います。

• （$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）

  • 背理法を用いて証明します。
    • $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持ち、かつ $\vert \, A \, \vert \neq 0$ であると仮定します。これは「（$\text{i}$）$\land \; {}^{\lnot}$（$\text{ii}$）」であり、すなわち「（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）」の否定を仮定していることに相当します。
    • 仮定より、$\bm{x}$ を自明でない解とすれば、$A \bm{x} = \bm{0}$ かつ $\bm{x} \neq \bm{0}$ です。
    • 同じく仮定より、$\vert \, A \, \vert \neq 0$ なので、$A$ は正則であり逆行列 $A^{-1}$ を持ちます。
  • 仮定より矛盾を導きます。

    • $\bm{x}$ を自明でない解として $A \bm{x} = \bm{0}$ に左から $A^{-1}$ をかけると $\bm{x} = \bm{0}$ が得られますが、これは $\bm{x} \neq \bm{0}$ に矛盾します。

      $$ A \bm{x} = \bm{0} \; \Rightarrow \; A^{-1} A \bm{x} = A^{-1} \bm{0} \; \Rightarrow \; E \bm{x} = \bm{0} \; \Rightarrow \; \bm{x} = \bm{0} $$
      
      

    • 以上から（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）が示されました。

• （$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）

  • 数学的帰納法を用いて証明します。定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）の証明と考え方は同じです。
  • $n = 1$ の場合。
    • （4.3.2）式は $a_{11} x_{1} = 0$ という一次方程式になります。
    • 係数行列は $1$ つの要素のみからなり $A = (\, a_{11} \,)$ なので、$\vert \, A \, \vert = \vert \, a_{11} \, \vert = a_{11}$ となります。よって、$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば $a_{11} = 0$ となります。
    • $a_{11} = 0$ であれば、任意の $x_{1}$ に対して $a_{11} x_{1} = 0$ が成り立ちます。このうち $x_{1} \neq 0$ であるものはすべて自明でない解になります。
    • 以上から、$\vert \, A \, \vert = 0$ であれば（4.3.2）式が自明でない解を持つことが確かめられました。
  • $n \gt 1$ の場合。

    • $n -1$ のとき定理の主張が成り立つと仮定して、$n$ のときもこれが成り立つことを確かめます。

    • まず、係数行列が零行列であれば（4.3.2）式は自明でない解をもちます。

      • $A$ のすべての要素 $a_{ij} \; (1 \leqslant i, j \leqslant n)$ が $0$ ならば、任意の $x_{1}, \cdots, x_{n}$ が（4.3.2）式を満たします。
      • このことは、$A = O$ ならば任意の $\bm{x}$ について $O \, \bm{x} = \bm{0}$ が成り立つということからもわかります。

    • 次に、$a_{ij}$ のうち少なくとも $1$ つが $0$ でない場合について考えます。

    • はじめに、（4.3.2）式を変形して、帰納法の仮定を用いることができる形、すなわち、$(n-1)$ 個の方程式からなる斉次連立一次方程式の形をつくります。

      • 例えば $a_{11} \neq 0$ とすると（4.3.2）式は次のように変形できます。

        $$ \begin{align*} (\ast) \; \left\{ \begin{array} {l} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ \quad \quad \; \, \, \left. \begin{array} {c} a^{\prime}_{22} x_{2} + \cdots + a^{\prime}_{2n} x_{n} = 0 \\ \vdots \\ a^{\prime}_{m2} x_{2} + \cdots + a^{\prime}_{mn} x_{n} = 0 \\ \end{array} \right\} \; ({\ast}^{\prime}) \end{array} \right. \end{align*} $$
        
        

      • この変形は、（4.3.2）式の第 $1$ 式に $\displaystyle - \frac{a_{21}}{a_{11}}$ を掛けて第 $2$ 式に加える、第 $1$ 式に $\displaystyle - \frac{a_{31}}{a_{11}}$ を掛けて第 $3$ 式に加える $\cdots$ という操作を、第 $n$ 式まで繰り返すことで得られます。

      • これは、消去法や掃出し法といった連立一次方程式の標準的な解法により、第 $2$ 式から第 $m$ 式までの $x_{1}$ を消去するような操作に相当します。

      • 変形により得られた新たな斉次連立一次方程式（$\ast$）において、各係数は $a^{\prime}_{ij} = a_{ij} - \displaystyle\frac{a_{i1}}{a_{11}} \, a_{1j}$ のようになります。

    • （4.3.2）式と（$\ast$）は同じ解を持つことを確認しておきます。

      • （4.3.2）式を変形することで（$\ast$）を得ましたが、逆に（$\ast$）を変形することで（4.3.2）式が得られます。
      • すなわち、（$\ast$）の第 $1$ 式に $\displaystyle \frac{a_{21}}{a_{11}}$ を掛けて第 $2$ 式に加える、第 $1$ 式に $\displaystyle \frac{a_{31}}{a_{11}}$ を掛けて第 $3$ 式に加える $\cdots$ という操作を第 $m$ 式まで繰り返すことで、（4.3.2）式が得られます。
      • よって、（4.3.2）式と（$\ast$）は同じ解を持つことがわかりました。

    • 斉次連立一次方程式の係数行列に着目して、同様に帰納法の仮定を用いることができる形に変形します。

      • （$\ast$）から $1$ 行目の方程式を除いた（${\ast}^{\prime}$）の係数行列を $A^{\prime}$ とおきます。$A^{\prime}$ は次のような $(n-1, n-1)$ 型の正方行列になります。

        $$ A^{\prime} = \begin{pmatrix} \; a^{\prime}_{22} & \cdots & a^{\prime}_{2n} \; \\ \; \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a^{\prime}_{n2} & \cdots & a^{\prime}_{nn} \; \\ \end{pmatrix} $$
        
        

      • 連立方程式の変形と同様に、係数行列の行列式についても次のように変形できます。

        $$ \begin{split} \vert \, A \, \vert &= \begin{vmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \\ &\overset{(\text{i})}{=} \begin{vmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; 0 & a^{\prime}_{22} & \cdots & a^{\prime}_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & a^{\prime}_{n2} & \cdots & a^{\prime}_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} a_{11} \begin{vmatrix} \; a^{\prime}_{22} & \cdots & a^{\prime}_{2n} \; \\ \; \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a^{\prime}_{n2} & \cdots & a^{\prime}_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \, \vert \, A^{\prime} \, \vert \\ \end{split} $$
        
        

      • （$\text{i}$）は行列式の性質（定理 3.9（行列式の交代性）の系 3.11）による変形です。

      • すなわち「行列式のある行を定数倍したものを他の行に加えても、行列式の値は変わらない」という性質を繰り返し適用することで、第 $1$ 行に $\displaystyle - \frac{a_{21}}{a_{11}}$ を掛けて第 $2$ 行に加える、第 $1$ 行に $\displaystyle - \frac{a_{31}}{a_{11}}$ を掛けて第 $3$ 行に加える $\cdots$ という操作を、第 $n$ 行まで繰り返すことで得られます。

      • これは、連立方程式の変形で行った操作と同等の操作を行列式で行っていることに相当します。したがって、行列式の各要素は $a^{\prime}_{ij} = a_{ij} - \displaystyle\frac{a_{i1}}{a_{11}} \, a_{1j}$ のようになります。

      • （$\text{ii}$）も行列式の性質（系 3.17（$0$ を含む行列の行列式））による変形です。行列式の次数を $1$ つ下げることで、帰納法の仮定を用いることができる形がえられました。

    • いま $a_{11} \neq 0$ なので、$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば $\vert \, A^{\prime} \, \vert = 0$ となります。また、（${\ast}^{\prime}$）は未知数と方程式の数がともに $(n-1)$ 個の斉次連立一次方程式であるから、帰納法の仮定により $\vert \, A^{\prime} \, \vert = 0$ ならば（${\ast}^{\prime}$）は自明でない解を持つといえます。

    • （${\ast}^{\prime}$）の自明でない解を $x_{2} = \alpha_{2}, \cdots, x_{n} = \alpha_{n}$ とすれば、（$\ast$）の第 $1$ 式より、$x_{1}$ は次のように定まります。

      $$ x_{1} = (- \displaystyle \frac{a_{12}}{a_{11}}) \, \alpha_{2} + \cdots + (- \displaystyle \frac{a_{1n}}{a_{11}}) \, \alpha_{n} $$ - つまり、$x_{1}, \cdots, x_{n}$ を次のようにおくと、これは（$\ast$）の自明でない解の $1$ つであるということになります。 $$ \begin{array} {c} x_{1} = (- \displaystyle \frac{a_{12}}{a_{11}}) \, \alpha_{2} + \cdots + (- \displaystyle \frac{a_{1n}}{a_{11}}) \, \alpha_{n}, & x_{2} = \alpha_{2}, \cdots, x_{n} = \alpha_{n} \end{array} $$
      
      

    • 先立って確認したように、（4.3.2）式と（$\ast$）は同じ解を持ちますから、これは（4.3.2）式の自明でない解でもあるということになります。

  • $a_{11} \neq 0$ の場合について考えましたが、$a_{11}$ 以外の係数が $0$ が $0$ でない場合も、和や方程式の順序を入れ替えることで同様に示すことができます。
  • 以上から、斉次連立一次方程式（4.3.2）式は自明でない解をもつことが示されました。

まとめ#

• 次の斉次連立一次方程式が自明でない解を持つためには、$\lvert \, A \, \rvert = 0$ が必要にして十分である。ここで $A$ は係数行列である。
  
  $$ \begin{equation*} \left\{ \begin{array} {c} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = 0 \\ \vdots \\ a_{n1} x_{1} + a_{n2} x_{2} + \cdots + a_{nn} x_{n} = 0 \\ \end{array} \right. \end{equation*} $$
  
  

参考文献#