行列式と線型独立性（1）

線型独立（または線型従属）なベクトルと行列式の関係について考察します。基本的な考え方は基底と次元の準備と同じですが、ここで示す定理は、行列式が定義できる場合（すなわち正方行列に対応する場合）に限られます。

はじめに、係数行列が正方行列であるとき、斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件（必要十分条件）を示します。この定理は、行列の階数の性質についての考察などで重要な役割を果たします。

斉次連立一次方程式が自明でない解を持つ条件（係数行列が正方行列の場合）#

定理 4.26（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）#

次の斉次連立一次方程式が自明でない解を持つためには、$\lvert \, A \, \rvert = 0$ であることが必要にして十分である。ここで、$A$ は斉次連立一次方程式の係数行列である。

解説#

定理 4.36の主張は、「斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つ $\Leftrightarrow \vert \, A \, \vert = 0$ 」です。

ただし、定理 4.36は一般の斉次連立一次方程式に対して成り立つわけではなく、あくまで係数行列が正方行列である場合、すなわち、未知数の数と変数の数が等しい場合に限られる点に注意が必要です。

定理 4.23との違い#

一般の斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件については、定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）にて考察しました。このとき、「未知数の数（$n$）が方程式の数（$m$）よりも大きい（$n \gt m$）」ことが、自明でない解を持つための十分条件でありました。

一方で、定理 4.26は、未知数の数（$n$）と方程式の数（$m$）が等しい（$n = m$）ことを前提として、斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための必要十分条件は「係数行列の行列式が $0$ に等しい（ $\vert \, A \, \vert = 0$ ）」ことであると主張しています。

下の証明にみるように、基本的な考え方は定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）に共通していますが、前提の違いから、定理が適用できる場面は異なります。

定理 4.26の言い換え#

定理 4.26における「係数行列の行列式が $0$ に等しい（ $\vert \, A \, \vert = 0$ ）」という条件は、定理 3.22（逆行列を持つための条件） により「係数行列が正則でない」ということと同値です。このように言い換えて表現されている教科書もあります（[2]）。

証明#

$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つとして、仮に $\vert \, A \, \vert \neq 0$ とすると、$A$ は正則であり逆行列 $A^{-1}$ を持つから、$A \bm{x} = \bm{0}$ に左から $A^{-1}$ をかけることで $\bm{x} = \bm{0}$ となる。これは $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことに矛盾する。よって、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つならば $\vert \, A \, \vert = 0$ である。

逆に、$\vert \, A \, \vert = 0$ であれば $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことを、数学的帰納法により示す。まず、$n = 1$ のとき（4.3.2）式は $a_{11} x_{1} = 0$ という一次方程式になる。このとき $\vert \, A \, \vert = a_{11} = 0$ とすれば、任意の $x_{1}$ に対して $a_{11} x_{1} = 0$ が成り立つから（4.3.2）式は自明でない解を持つ。次に、$n \gt 1$ として、$n -1$ の場合に定理の主張が成り立つと仮定して $n$ の場合もこれが成り立つことを示す。$A$ のすべての要素 $a_{ij} \; (1 \leqslant i, j \leqslant n)$ が $0$ ならば、任意の $x_{1}, \cdots, x_{n}$ が（4.3.2）式を満たすので（4.3.2）式は自明でない解をもつ。そこで、$a_{ij}$ のうち少なくとも $1$ つ $0$ でないものがある場合について考える。例えば $a_{11} \neq 0$ とすると、（4.3.2）式は次のように変形できる。

ここで、$a^{\prime}_{ij} = a_{ij} - \displaystyle\frac{a_{i1}}{a_{11}} \, a_{1j}$ である。逆に（$\ast$）を変形することで（4.3.2）式が得られるので、（4.3.2）式と（$ \ast$）は同じ解を持つ。また、（$\ast$）から $1$ 行目の方程式を除いた（${\ast}^{\prime}$）の係数行列を $A^{\prime}$ とおくと、（4.3.2）式の係数行列 $A$ の行列式は次のように変形できる。

いま $a_{11} \neq 0$ であるので、$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば $\vert \, A^{\prime} \, \vert = 0$ である。また（${\ast}^{\prime}$）は未知数と方程式の数がともに $(n-1)$ 個の斉次連立一次方程式であるから、帰納法の仮定により自明でない解を持つ。これを $x_{2} = \alpha_{2}, \cdots, x_{n} = \alpha_{n}$ として、$x_{1}$ を次のようにおくと、

は、（$\ast$）の自明でない解の $1$ つである。（4.3.2）式と（$\ast$）は同じ解を持つから、これは（4.3.2）式の自明でない解の $1$ つでもある。$a_{11}$ 以外の係数が $0$ でない場合も、和や方程式の順序を入れ替えることで同様のことが成り立つ。したがって、$n \gt 1$ のときも（4.3.2）式は自明でない解を持つ。$\quad \square$

証明の考え方#

（$\text{i}$）$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことと（$\text{ii}$）$\vert \, A \, \vert = 0$ であることの同値性を示します。

• （$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）は背理法によります。$\vert \, A \, \vert \neq 0$ であれば $A$ は正則であり逆行列 $A^{-1}$ を持つことを利用します。
• （$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）は数学的帰納法によります。基本的な考え方は定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）と同じで、行列式の性質（系 3.17（$0$ を含む行列の行列式））を用います。

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• 背理法を用いて証明します。
  • $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持ち、かつ $\vert \, A \, \vert \neq 0$ であると仮定します。これを論理記号で表せば　「（$\text{i}$）$\land \; {}^{\lnot}$（$\text{ii}$）」　であり、すなわち　「（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）」　の否定を仮定していることに相当します。
  • 仮定より、$\bm{x}$ を自明でない解とすれば、$A \bm{x} = \bm{0}$ かつ $\bm{x} \neq \bm{0}$ が成り立つはずです。
  • 同じく仮定より、$\vert \, A \, \vert \neq 0$ なので、$A$ は正則であり逆行列 $A^{-1}$ を持ちます。
• 仮定より矛盾を導きます。

  • $\bm{x}$ を自明でない解として $A \bm{x} = \bm{0}$ に左から $A^{-1}$ をかけると $\bm{x} = \bm{0}$ が得られますが、これは $\bm{x} \neq \bm{0}$ に矛盾します。

    $$ A \bm{x} = \bm{0} \; \Rightarrow \; A^{-1} A \bm{x} = A^{-1} \bm{0} \; \Rightarrow \; E \bm{x} = \bm{0} \; \Rightarrow \; \bm{x} = \bm{0} $$

  • 以上から（$\text{i}$）$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つならば（$\text{ii}$）$\vert \, A \, \vert = 0$ であることが示されました。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• 数学的帰納法を用いて証明します。定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）の証明と考え方は同じです。

$n = 1$ の場合#

• （4.3.2）式は $a_{11} x_{1} = 0$ という一次方程式になります。
• 係数行列は $1$ つの要素のみからなり $A = (\, a_{11} \,)$ なので、$\vert \, A \, \vert = \vert \, a_{11} \, \vert = a_{11}$ となります。よって、仮定より $\vert \, A \, \vert = 0$ ならば $a_{11} = 0$ が成り立ちます。
• $a_{11} = 0$ であれば、任意の $x_{1}$ に対して $a_{11} x_{1} = 0$ が成り立ちます。このうち $x_{1} \neq 0$ であるものはすべて自明でない解になります。
• 以上から、$\vert \, A \, \vert = 0$ であれば（4.3.2）式が自明でない解を持つことが確かめられました。

$n \gt 1$ の場合#

• $n -1$ のとき（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）が成り立つと仮定して、$n$ のときもこれが成り立つことを確かめます。

  • すなわち、$n-1$ 次の正方行列について（$\text{ii}$）$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば（$\text{i}$）$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことを仮定し、これが $n$ 次の正方行列にも成り立つことを示します。

• まず、係数行列が零行列である場合を考えます。

  • 係数行列が零行列であれば $A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解をもちます。
  • $A$ のすべての要素 $a_{ij} \; (1 \leqslant i, j \leqslant n)$ が $0$ ならば、任意の $x_{1}, \cdots, x_{n}$ が（4.3.2）式を満たすからです。
  • このことは、$A = O$ ならば任意の $\bm{x}$ について $O \, \bm{x} = \bm{0}$ が成り立つということから当然といえます。

• 次に、係数行列が零行列でない（$a_{ij}$ のうち少なくとも $1$ つが $0$ でない）場合について考えます。

• はじめに、（4.3.2）式を変形して、帰納法の仮定を用いることができる形、すなわち、$(n-1)$ 個の方程式からなる斉次連立一次方程式の形をつくります。

  • 例えば $a_{11} \neq 0$ とすると（4.3.2）式は次のように変形できます。

    $$ \begin{align*} (\ast) \; \left\{ \begin{array} {l} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ \quad \quad \; \, \, \left. \begin{array} {c} a^{\prime}_{22} x_{2} + \cdots + a^{\prime}_{2n} x_{n} = 0 \\ \vdots \\ a^{\prime}_{n2} x_{2} + \cdots + a^{\prime}_{nn} x_{n} = 0 \\ \end{array} \right\} \; ({\ast}^{\prime}) \end{array} \right. \end{align*} $$

  • この変形は、（4.3.2）式の第 $1$ 式に $\displaystyle - \frac{a_{21}}{a_{11}}$ を掛けて第 $2$ 式に加える、第 $1$ 式に $\displaystyle - \frac{a_{31}}{a_{11}}$ を掛けて第 $3$ 式に加える $\cdots$ という操作を、第 $n$ 式まで繰り返すことで得られます。

  • これは、消去法や掃出し法といった連立一次方程式の標準的な解法により、第 $2$ 式から第 $m$ 式までの $x_{1}$ を消去するような操作に相当します。

  • 変形により得られた新たな斉次連立一次方程式（$\ast$）において、各係数は $a^{\prime}_{ij} = a_{ij} - \displaystyle\frac{a_{i1}}{a_{11}} \, a_{1j}$ と表せます。

• （4.3.2）式と（$\ast$）が同じ解を持つことを確認します。

  • （4.3.2）式を変形することで（$\ast$）を得ましたが、逆に（$\ast$）を変形することで（4.3.2）式が得られます。
  • すなわち、（$\ast$）の第 $1$ 式に $\displaystyle \frac{a_{21}}{a_{11}}$ を掛けて第 $2$ 式に加える、第 $1$ 式に $\displaystyle \frac{a_{31}}{a_{11}}$ を掛けて第 $3$ 式に加える $\cdots$ という操作を第 $n$ 式まで繰り返すことで（4.3.2）式が得られます。
  • よって、（4.3.2）式と（$\ast$）は同じ解を持つ連立一次方程式を変形したものといえます。

• 係数行列に着目して、連立一次方程式の変形と同様に、帰納法の仮定を用いることができる形に変形します。

  • （$\ast$）から $1$ 行目の方程式を除いた（${\ast}^{\prime}$）の係数行列を $A^{\prime}$ とおきます。$A^{\prime}$ は次のような $(n-1, n-1)$ 型の正方行列になります。

    $$ A^{\prime} = \begin{pmatrix} \; a^{\prime}_{22} & \cdots & a^{\prime}_{2n} \; \\ \; \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a^{\prime}_{n2} & \cdots & a^{\prime}_{nn} \; \\ \end{pmatrix} $$

  • すると（連立方程式の変形と同様に）係数行列の行列式についても次のように変形できます。

    $$ \begin{split} \vert \, A \, \vert &= \begin{vmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \\ &\overset{(\text{i})}{=} \begin{vmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; 0 & a^{\prime}_{22} & \cdots & a^{\prime}_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & a^{\prime}_{n2} & \cdots & a^{\prime}_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} a_{11} \begin{vmatrix} \; a^{\prime}_{22} & \cdots & a^{\prime}_{2n} \; \\ \; \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a^{\prime}_{n2} & \cdots & a^{\prime}_{nn} \; \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \, \vert \, A^{\prime} \, \vert \\ \end{split} $$

  • （$\text{i}$）は行列式の性質（定理 3.9（行列式の交代性）、系 3.11）による変形です。

  • すなわち「行列式のある行を定数倍したものを他の行に加えても、行列式の値は変わらない」という性質を繰り返し適用することで、第 $1$ 行に $\displaystyle - \frac{a_{21}}{a_{11}}$ を掛けて第 $2$ 行に加える、第 $1$ 行に $\displaystyle - \frac{a_{31}}{a_{11}}$ を掛けて第 $3$ 行に加える $\cdots$ という操作を、第 $n$ 行まで繰り返すことで得られます。

  • これは、連立方程式の変形で行った操作と同等の操作を行列式で行っていることに相当します。したがって、行列式の各要素は $a^{\prime}_{ij} = a_{ij} - \displaystyle\frac{a_{i1}}{a_{11}} \, a_{1j}$ のようになります。

  • （$\text{ii}$）も行列式の性質（系 3.17（$0$ を含む行列の行列式））による変形です。

  • 行列式の次数を $1$ つ下げることで、帰納法の仮定を用いることができる形がえられました。

• いま、仮定より $a_{11} \neq 0$ なので、$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば $\vert \, A^{\prime} \, \vert = 0$ となります。また、（${\ast}^{\prime}$）は未知数と方程式の数がともに $(n-1)$ 個の斉次連立一次方程式であるから、帰納法の仮定により $\vert \, A^{\prime} \, \vert = 0$ ならば（${\ast}^{\prime}$）は自明でない解を持つといえます。

• （${\ast}^{\prime}$）の自明でない解を $x_{2} = \alpha_{2}, \cdots, x_{n} = \alpha_{n}$ とすれば、（$\ast$）の第 $1$ 式より、$x_{1}$ は次のように定まります。

  $$ x_{1} = (- \displaystyle \frac{a_{12}}{a_{11}}) \, \alpha_{2} + \cdots + (- \displaystyle \frac{a_{1n}}{a_{11}}) \, \alpha_{n} $$

• つまり、$x_{1}, \cdots, x_{n}$ を次のようにおくと、これは（$\ast$）の自明でない解の $1$ つであるということになります。

  $$ \begin{array} {c} x_{1} = (- \displaystyle \frac{a_{12}}{a_{11}}) \, \alpha_{2} + \cdots + (- \displaystyle \frac{a_{1n}}{a_{11}}) \, \alpha_{n}, & x_{2} = \alpha_{2}, \cdots, x_{n} = \alpha_{n} \end{array} $$

• 先立って確認したように、（4.3.2）式と（$\ast$）は同じ解を持ちますから、これは（4.3.2）式の自明でない解でもあるということになります。

• $a_{11} \neq 0$ の場合について考えましたが、$a_{11}$ 以外の係数が $0$ が $0$ でない場合も、和や方程式の順序を入れ替えることで同様に示すことができます。

• 以上から（$\text{ii}$）$\vert \, A \, \vert = 0$ ならば（$\text{i}$）$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことが示されました。

まとめ#

• 次の斉次連立一次方程式が自明でない解を持つためには、$\lvert \, A \, \rvert = 0$ が必要にして十分である（$A$ は係数行列）。
  $$ \begin{equation*} \left\{ \begin{array} {c} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = 0 \\ \vdots \\ a_{n1} x_{1} + a_{n2} x_{2} + \cdots + a_{nn} x_{n} = 0 \\ \end{array} \right. \end{equation*} $$

参考文献#