線型独立なベクトルの性質（2）

線型従属なベクトルの組に、いくつかのベクトルを加えたベクトルの組は線型従属となります。また、線型独立なベクトルの組から、いくつかのベクトルを除いたベクトルの組は線型独立となります。

これは、線型独立・線型従属なベクトルの組について成り立つ基本的な性質です。

線型独立・線型従属なベクトルの基本的性質#

定理 4.20（線型独立・線型従属なベクトル）#

$V$ をベクトル空間とする。$r \lt s$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} \in V$ が線型従属であれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ も線型従属である。また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} \in V$ が線型独立であれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ も線型独立である。

解説#

線型独立・線型従属なベクトルの組の縮小・拡大#

定理 4.20（線型独立・線型従属なベクトル）は、線型独立・線型従属なベクトルの組を縮小・拡大した場合に成り立つ性質を表しています。

ベクトルの組に対するベクトルの追加・削除#

すなわち、線型従属なベクトルの組にいくつかのベクトルを加えた（拡大した）ベクトルの組もまた線型従属であるといえます。また、線型独立なベクトルの組からいくつかのベクトル除いた（縮小した）ベクトルの組もまた線型独立であるということがいえます。

このことは、形式的に、次のように表すことができます。

ベクトルの組の線型独立性と線型従属性（対偶の関係）#

ベクトルの組が線型独立であることと線型従属であることは排反な命題です（ 線型独立・線型従属の定義）。

したがって、 上記の（$1$）と（$2$）は、互いに対偶の関係にあります。

このような理由から、 定理 4.20（線型独立・線型従属なベクトル）の証明において、（$1$）か（$2$）のいずれかを示せばよいということがわかります。（どちらの方向からも示せるように、 下記に示す 証明では（$1$）と（$2$）を別々に証明しています。）

証明#

（$1$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であるとすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在する。このとき、$r \lt s$ について、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ とすれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ には自明でない線型関係が存在する。よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属である。

（$2$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であるとする。このとき、$r \lt s$ について、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であると仮定すると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在する。したがって、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ とすれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ には自明でない線型関係が存在するため、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属であることになるが、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であることに矛盾する。よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型独立である。$\quad \square$

証明の考え方#

次の（$1$）と（$2$）を別々に証明します。

• （$1$）は、 線型従属の定義から素直に導けます。
• （$2$）も、（$1$）と同じ考え方で示すことができますが、背理法を用いることで、記載量を減らしてすっきりとした証明にできます。
• 上記の考察の通り、（$1$）と（$2$）は対偶の関係なので、本来はどちらか一方を示すだけで十分です。

（1）線型従属なベクトルの組の拡大#

前提事項の整理#

• 定理の仮定より、$r \lt s$ が成り立ちます。
• また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であるとします。
  • これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ に自明でない線型関係が存在することを意味します（ 線型従属の定義）。
  • すなわち、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在する、といえます。

線型従属性の証明#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ に自明でない線型関係が存在することを示します。

• いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ の線型関係において、$c_{r + 1} = \cdots = c_{s} = 0$ とすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} \\ &\overset{(\text{i})}{=} c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \bm{0} \end{split} $$
  • （$\text{i}$）線型関係における係数（スカラーの値）の置き方によります。
  • （$\text{ii}$） 上記の仮定より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型従属であることによります。

• すなわち、$( \, c_{1}, \cdots, c_{r}, c_{r + 1}, \cdots, c_{s} \, ) = ( \, c_{1}, \cdots, c_{r}, 0, \cdots, 0 \, )$ とすれば、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{s} \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ を満たす、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{s}$ が存在する、ということになります。

• これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ に自明でない線型関係が存在するということに他なりません。

• 以上から、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型従属であることが示されました。

（2）線型独立なベクトルの組の縮小#

前提事項の整理#

• 定理の仮定より、$r \lt s$ が成り立ちます。
• また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であるとします。
  • これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ に自明でない線型関係が存在しないことを意味します（ 線型独立の定義）。
  • すなわち、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ が成り立つのは、 $c_{1} = \cdots = c_{s} = 0$ のときに限る、といえます。

線型独立性の証明#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であると仮定して、矛盾を導きます。
• いま、 （$1$）とまったく同じ考え方により、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型従属 $\Rightarrow$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属、ということが導けます。
  • すなわち、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であるとすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在することになります。
  • このとき、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ とすれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ には自明でない線型関係が存在するため、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属となります。
• しかしながら、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であるという仮定に矛盾します。
• よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型独立であるといえます。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間として、$r \lt s$ とすると、次が成り立つ。
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} \in V$ が線型従属であれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ も線型従属である。
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} \in V$ が線型独立であれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ も線型独立である。

参考文献

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[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
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[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.