線型独立性（2）

線型独立（または線型従属）であるベクトルの基本的な性質に関する諸定理を示します。

ここでは、線型従属（または線型独立）であるベクトルの組に $1$ つのベクトルを加えた（または $1$ つのベクトルを除いた）ベクトルの組について成り立つ性質に関する定理を示します。

線型独立（または線型従属）なベクトルの性質#

定理 4.20（線型独立・線型従属なベクトルの組 $1$）#

$r \lt s$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ も線型従属である。また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ も線型独立である。

すなわち、線型従属なベクトルの組にいくつかのベクトルを加えたベクトルの組もまた線型従属であり、線型独立なベクトルの組からいくつかのベクトル除いたベクトルの組もまた線型独立であるということです。

また、この定理は形式的に次のように表せます。

ここで、ベクトルの組が線型独立であることと線型従属であることは背反でありますので、（$\text{1}$）と（$\text{2}$）は対偶の関係であることがわかります。従って、定理 4.20の証明においては（$\text{1}$）か（$\text{2}$）のどちらかを示せばよいわけですが、どちらの方向からも示せるよう、下にそれぞれ別に証明します。

証明#

（$\text{1}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であるとすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在する。このとき、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ とすれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ には自明でない線型関係が存在するため、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属である。

（$\text{2}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であるとする。このとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であると仮定すると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在する。このとき、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ とすれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ には自明でない線型関係が存在するため、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属であることになるが、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であることに矛盾する。よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型独立である。$\quad \square$

証明の骨子#

（$\text{1}$）「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型従属 $\Rightarrow$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属」、（$\text{2}$）「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型独立 $\Rightarrow$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型独立」、としてそれぞれ別に示します。（$\text{1}$）は線型従属の定義より素直に導けます。（$\text{2}$）も（$\text{1}$）と同じ考え方で示すことができますが、背理法を用いたほうが証明がすっきりします。

（$\text{1}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型従属 $\Rightarrow$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であるとします。
  • 線型従属の定義より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ には自明でない線型関係が存在します。
  • すなわち、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在する、ということになります。
• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ の間の線型関係について考えます。

  • 線型結合 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + c_{r + 1} \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + c_{s} \, \bm{v}_{s}$ において、$c_{r + 1} = \cdots = c_{s} = 0$ とすれば、次が成り立ちます。

    $$ c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} = c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0} $$
    
    

  • すなわち、$( \, c_{1}, \cdots, c_{r}, c_{r + 1}, \cdots, c_{s} \, ) = ( \, c_{1}, \cdots, c_{r}, 0, \cdots, 0 \, )$ とすれば、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{s} \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ を満たす少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{s}$ が存在する、ということになります。

  • よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ には自明でない線型関係が存在し、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属であることが示されました。

（$\text{2}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型独立 $\Rightarrow$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型独立

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であるとします。
• このとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であると仮定して、矛盾を導きます。
  • （$\text{1}$）とまったく同じ考え方により、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型従属 $\Rightarrow$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属、ということが導けます。
  • すなわち、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であるとすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} = \bm{0}$ を満たす少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{r}$ が存在することになります。
  • このとき、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \, \bm{v}_{r} + 0 \, \bm{v}_{r + 1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{s} = \bm{0}$ とすれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ には自明でない線型関係が存在するため、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型従属となります。
  • しかしながら、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であるという前提に矛盾します。
  • よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は線型独立であることが示されました。

（$\text{1}$）と（$\text{2}$）は対偶の関係にあるので、本来はどちらか一方を示した上で「（$\text{2}$）は（$\text{1}$）の対偶であるので、（$\text{1}$）が成り立てば（$\text{2}$）が成り立つ」などとすればよいです。上の証明は、敢えて（$\text{1}$）と（$\text{2}$）をそれぞれ別に証明していますので、もっともコンパクトな証明になっていない点注意が必要です。

まとめ#

• $r \lt s$ とすると、
  
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型従属であれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ も線型従属である。
    
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型独立であれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ も線型独立である。
    

参考文献#