商ベクトル空間の次元

商ベクトル空間 $V / \, W$ の次元は、もとのベクトル空間 $V$ の次元から部分空間 $W$ の次元を減じたものに等しくなります。

この定理は、商ベクトル空間の次元の基本的な性質を示すものであり、ジョルダン標準形に関する考察などにおいて有用です。

商ベクトル空間の次元#

定理 4.44（商ベクトル空間の次元）#

$V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とする。$V$ の $W$ による商ベクトル空間 $V / \, W$ について、次が成り立つ。

解説#

商ベクトル空間の次元の基本的性質#

商ベクトル空間 $V / \, W$ の次元は、もとのベクトル空間 $V$ の次元から部分空間 $W$ の次元を減じたものに等しくなります。

2通りの証明の違いと使い分け#

定理 4.44（商ベクトル空間の次元）の証明方法は、主に $2$ つあります。

• 証明 1（次元の定義による証明）
  • 次元の定義にしたがって、商ベクトル空間の基底の個数を明らかにする。
  • 次元の定義や商ベクトル空間に関する基礎的な事項から導出できる。
  • 証明 2に比較して、文章量が多い。
• 証明 2（線型写像の基本定理による証明）
  • 定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いて証明します。
  • 証明 1に比較して、簡潔な証明となる。
  • 先だって、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を示して置く必要がある。

証明 1（次元の定義による証明）の利点#

次元の定義にしたがった $1$ つ目の証明は、 自然な写像や 定理 4.43（部分空間により定まる集合）など、 商ベクトル空間に関する基礎的な事項を用いた証明です。

また、 証明 1は、商ベクトル空間の基底を得る方法を与えるものでもあります。この方法は、ジョルダン標準形に関する考察などにおいて重要となります。

例えば、 [3] などでは 証明 1に近しい内容の証明が示されています。

証明 2（線型写像の基本定理による証明）の利点#

$2$ つ目の証明は、 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ が線形写像であることから、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いる証明です。

証明 1と 証明 2のいずれにおいても、$V$ から $V / \, W$ への 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ が存在することを用います（ 前項を参照）。したがって、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を先に示している場合、これを用いる方が合理的であり、当然、 証明 2の方が簡潔な証明となります。

例えば、 [11] などでは、このような流れの論理展開となっています。

2通りの証明#

証明 1（次元の定義による証明）#

$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $W$ の基底をなすベクトルとすると $\dim W = n$ であり、$W$ は $V$ の部分空間であるから、 定理 4.43（部分空間により定まる集合）より、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を拡大して $V$ の基底を作ることができる。いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $V$ の基底をなすベクトルとすると、$\dim V = m + n$ である。また、$V$ から $V / \, W$ への 自然な写像を $f : V \to V / \, W$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ に対して $f(\bm{v}_{1}) = \bm{v}_{1} + W, \cdots, f(\bm{v}_{m}) = \bm{v}_{m} + W \in V / \, W$ が存在する。このとき、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が $V / \, W$ の基底であることを示す。

まず、任意の $V / \, W$ の元は $\bm{v} \in V$ を用いて $\bm{v} + W$ と表せ、$\bm{v}$ は $V$ の基底の線型結合として表せるから、次が成り立つ。

よって、$\bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) \in W$ であり、このとき、

が成り立つ。すなわち、任意の $V / \, W$ の元は $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ の線型結合として表せる。したがって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は $V / \, W$ を生成する。

次に、$c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W$ とすると、次が成り立つ。

すなわち、$c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} \in W$ であり、$c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合で表すことができる。このとき、

が成り立つが、ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であるから、$c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0,$ $\; d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ となる。よって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は線型独立である。

以上から、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は $V / \, W$ の基底であり、$\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ 。したがって、$\dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方 1#

まず、$\dim W = n$ として、 定理 4.43（部分空間により定まる集合）により、$W$ の基底を拡大して（$1$）$V$ の基底を作ります。次に、$V$ の基底として追加されたベクトルが $m$ 個であるとして、それらの像が $V / \, W$ の基底となることを示すことで（$2$）$\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ を導きます。

これにより、次が成り立つことが示され、題意が示されたことになります。

（1）$V$ の基底の構築#

• まず、$W$ の基底を拡大して $V$ の基底を作ります。
• $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $W$ の基底をなすベクトルとします。
  • このとき、$\dim W = n$ となります。
• $W$ は $V$ の部分空間であるから、 定理 4.43（部分空間により定まる集合）より、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を拡大して $V$ の基底を作ることができます。
  • $W$ は $V$ の部分空間であるので $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ です。
  • また、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $W$ の基底であるので、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立です。
  • したがって、 定理 4.33が適用でき、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に適当なベクトル（$V$ の元）を加えて、$V$ の基底を作ることができます。
• いま、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に対して、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ を加えて $V$ の基底を作るとします。
  • すなわち、$W$ の基底をなす $n$ 個のベクトルに、$m$ 個のベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ を加えて $V$ の基底を作るということです。
  • このとき、$V$ は $m + n$ 個のベクトルからなる基底を持つことになるので、$\dim V = m + n$ となります。

（2）$\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ の証明#

• 次に、$V$ の基底として追加された $m$ 個のベクトルの像が $V / \, W$ の基底となることを示します。
• $V$ から $V / \, W$ への 自然な写像を $f : V \to V / \, W$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ に対して $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) \in V / \, W$ が存在し、$f(\bm{v}_{1}) = \bm{v}_{1} + W, \cdots, f(\bm{v}_{m}) = \bm{v}_{m} + W$ が成り立ちます。
  • 既に、$W$ と $V$ の基底が得られており、それぞれの次元が $\dim W = n, \; \dim V = m + n$ とわかっているので、$V / \, W$ の基底を求めて $\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ であることを示せば良いことがわかります。
  • そこで、$V / \, W$ の基底を得る足がかりとして、 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ を用います。
  • 前項で述べたとおり、「自然な」写像は $V$ と $W$ により自ずから定まります。
• $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が $V / \, W$ の基底であることを示します。

$V / \, W$ を生成することの証明#

• まず、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が $V / \, W$ を生成することを示します。

• 任意の $V / \, W$ の元は、$\bm{v} \in V$ を用いて $\bm{v} + W$ と表せます。ここで、$\bm{v}$ は $V$ の基底の線型結合として次のように表せます。

  $$ \begin{gather*} \bm{v} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} + d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ \end{gather*} $$

• 上記の式を変形すると次のようになり、$\bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) \in W$ が得られます。

  $$ \begin{gather*} & \bm{v} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} + d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow & \bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) = d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \in W \\ \end{gather*} $$

• このとき、$\bm{v} + W$ について、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} \bm{v} + W &\overset{(\text{i})}{=} (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) + W \\ &\overset{(\text{ii})}{=} c_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c_{m} (\bm{v}_{m} + W) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{m} f(\bm{v}_{m}) \\ \end{split} $$

  • （$\text{i}$） 定理 4.43（部分空間により定まる集合）より、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} &\bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) \in W \\ \Leftrightarrow & \bm{v} + W = (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) + W \end{gather*} $$

  • （$\text{ii}$） 商ベクトル空間における和とスカラー倍の演算に従います。

• 上記により、任意の $V / \, W$ の元が $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ の線型結合として表せるといえます。

• すなわち、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は $V / \, W$ を生成することが示されました。

線形独立性の証明#

• 次に、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が線型独立であることを示します。

• $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が自明でない線型関係をもたない（自明な線型関係しかもたない）ことを確かめます。

• すなわち、$c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W$ ならば $c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0$ であることを導きます。

  $$ \begin{gather*} c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W \end{gather*} $$
  • 右辺が $\bm{0} + W$ であるのは、$V / \, W$ の零ベクトルが $\bm{0} + W$ であるためです（ 商ベクトル空間がベクトル空間であることの確認）。
  • 誤って $c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0}$ としないように注意が必要です。左辺は $V / \, W$ の元であるので、右辺を $\bm{0} \in V$ とするのは適当ではありません。

• いま、$c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m})$ について、次が成り立ちます。

  $$ \begin{alignat*} {3} && c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) &= \bm{0} + W \\ &\overset{(\text{i})}{\iff} & \quad c^{\prime}_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c^{\prime}_{m} (\bm{v}_{m} + W) &= \bm{0} + W \\ &\overset{(\text{ii})}{\iff} & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) + W &= \bm{0} + W \\ &\overset{(\text{iii})}{\iff} & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) - \bm{0} &\in W \\ % &\overset{(\text{iv})}{\iff} & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) &\in W \\ \end{alignat*} $$
  • （$\text{ii}$） 商ベクトル空間における和とスカラー倍の演算によります。
  • （$\text{iii}$） 定理 4.43（部分空間により定まる集合）による同値変形です。

• よって、$c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} \in W$ が得られます。すなわち、$c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}$ は $W$ の元であり、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合で表すことができるので、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} = d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow & c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} + (-d^{\prime}_{1}) \, \bm{w}_{1} + \cdots + (-d^{\prime}_{n}) \, \bm{w}_{n} = \bm{0} \\ \end{gather*} $$

• ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の基底であり、線型独立であるので、$c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0,$ $\; d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ となります。

• すなわち、$c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W$ ならば $c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0$ であるということになります。

• よって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は線型独立であることが確かめられました。

証明のまとめ#

• 以上から、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は $V / \, W$ の基底であり、$\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ であることが示されました。
• いま、$\dim V = m +n, \; \dim W = n$ であるので、次が成り立ちます。これにより、題意が示されました。
  $$ \begin{alignat*} {3} && \dim V &= m +n \\ &&&= \dim \, (\, V / \, W \,) + \dim W \\ & \Leftrightarrow & \quad \dim \, (\, V / \, W \,) &= \dim V - \dim W \end{alignat*} $$

証明 2（線型写像の基本定理による証明）#

$V$ から $V / \, W$ への 自然な写像を $f : V \to V / \, W$ とすると、 定理 4.37（線型写像の基本定理）より、$\dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,)$ が成り立つ。

ここで、$\bm{w} \in W$ とすると、$\bm{w} = \bm{w} - \bm{0} \in W$ であることから $\bm{w} + W = \bm{0} + W$ が成り立つ。よって、$\bm{w} \in \text{Ker} f$ であり、$W \sub \text{Ker} f$ が成り立つ。また、$\bm{v} \in \text{Ker} f$ とすると、$f(\bm{v}) = \bm{v} + W = \bm{0} + W$ であることから、$\bm{v} - \bm{0} \in W$ が成り立つ。よって、$\bm{v} \in W$ であり、$\text{Ker} f \sub W$ が成り立つ。したがって、$\text{Ker} f = W$ である。また、商ベクトル空間 $V / \, W$ の定義より、$f$ は全射であり、$\text{Im} f = V / \, W$ である。

以上から、$\dim V = \dim W + \dim \, (\, V / \, W \,)$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方 2#

自然な写像 $f : V \to V / \, W$ に対して、（$1$） 定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用すると、$\dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,)$ が成り立ちます。

ここで、（$2$）$\text{Ker} f = W$ および（$3$）$\text{Im} f = V / \, W$ であることを示せば、題意が示されたことになります。

（1）線形写像の基本定理の適用#

• 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ は線形写像なので、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用できます（ 自然な写像が線形写像であることの確認を参照）。
• このとき、次が成り立ちます。
  $$ \begin{gather*} \dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) \end{gather*} $$

（2）$\text{Ker} f = W$ の証明#

• まず、$W \sub \text{Ker} f$ を示します。
  • $\bm{w} \in W$ とすると、$\bm{w} = \bm{w} - \bm{0} \in W$ であるので、 定理 4.43（部分空間により定まる集合）より、$\bm{w} + W = \bm{0} + W$ となります。
  • したがって、$f(\bm{w}) = \bm{0} + W$ となり、$\bm{w} \in \text{Ker} f$ が成り立ちます。
  • すなわち、$\bm{w} \in W \, \Rightarrow \, \bm{w} \in \text{Ker} f$ であるので、$W \sub \text{Ker} f$ が成り立ちます。
• 次に、$\text{Ker} f \sub W$ を示します。
  • $\bm{v} \in \text{Ker} f$ とすると、$f(\bm{v}) = \bm{v} + W = \bm{0} + W$ となりますので、同じく 定理 4.43（部分空間により定まる集合）より、$\bm{v} - \bm{0} \in W$ となります。
  • したがって、$\bm{v} \in W$ が成り立ちます。
  • すなわち、$\bm{w} \in \text{Ker} f \, \Rightarrow \, \bm{w} \in W$ であるので、$\text{Ker} f \sub W$ が成り立ちます。
• $W \sub \text{Ker} f$ かつ $\text{Ker} f \sub W$ であることから、$\text{Ker} f = W$ が成り立ちます。

（3）$\text{Im} f = V / \, W$ の証明#

• $\text{Im} f = V / \, W$ であることは、自然な写像 $f$ が全射であることから明らかといえます（ 自然な写像が線形写像であることの確認を参照）。
• 上記の 証明 2では省略していますが、このことは、次のようにして確かめられます。
• まず、$\text{Im} f \sub V / \, W$ であることを確かめます。
  • 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ は写像であるので、任意の $\bm{v} \in V$ に対して、$\bm{x} = f(\bm{v})$ となる $\bm{x} \in V / \, W$ があります。
  • 逆にこれを満たさない場合、$f$ は写像の要件を満たさず、 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ が存在しないことになってしまいます。
  • したがって、$f(\bm{v}) \in \text{Im} f \, \Rightarrow \, f(\bm{v}) \in V / \, W$ となり、$\text{Im} f \sub V / \, W$ が成り立ちます。
• 次に、$V / \, W \sub \text{Im} f$ であることを確かめます。
  • $\bm{x} \in V / \, W$ とすると、商ベクトル空間の定義より $V / \, W = \{\, \bm{v} + W \mid \bm{v} \in V \,\}$ であるので、$\bm{x} = \bm{v} + W$ となる $\bm{v} \in V$ が存在します。
  • したがって、$\bm{x} = \bm{v} + W = f(\bm{v})$ が成り立ち、$\bm{x} \in f(V)$、すなわち $\bm{x} \in \text{Im} f$ となります。
  • よって、$\bm{x} \in V / \, W \, \Rightarrow \, \bm{x} \in \text{Im} f$ となり、$V / \, W \sub \text{Im} f$ が成り立ちます。
• $W \sub \text{Im} f$ かつ $\text{Im} f \sub W$ であることから、$\text{Im} f = W$ が成り立ちます。

証明のまとめ#

• 以上から、次が成り立ちます。これにより、題意が示されました。
  $$ \begin{alignat*} {3} && \dim V &= \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) \\ &&&= \dim W + \dim \, (\, V / \, W \,) \\ & \Leftrightarrow & \quad \dim \, (\, V / \, W \,) &= \dim V - \dim W \end{alignat*} $$

まとめ#

• $V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とする。$V$ の $W$ による商ベクトル空間 $V / \, W$ について、次が成り立つ。
  $$ \begin{align*} \dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W \end{align*} $$

参考文献

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