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商ベクトル空間の次元

商ベクトル空間 V/ WV / \, W の次元は、もとのベクトル空間 VV の次元から部分空間 WW の次元を減じたものに等しくなります。

この定理は、商ベクトル空間の次元の基本的な性質を示すものであり、ジョルダン標準形に関する考察などにおいて有用です。

商ベクトル空間の次元

定理 4.44（商ベクトル空間の次元）

VV をベクトル空間、WW を VV の部分空間とする。VV の WW による商ベクトル空間 V/ WV / \, W について、次が成り立つ。

dim⁡ ( V/ W )=dim⁡V−dim⁡W \begin{align*} \dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W \end{align*}


解説

商ベクトル空間の次元の基本的性質

商ベクトル空間 V/ WV / \, W の次元は、もとのベクトル空間 VV の次元から部分空間 WW の次元を減じたものに等しくなります。

2通りの証明の違いと使い分け

定理 4.44（商ベクトル空間の次元）の証明方法は、主に 22 つあります。

証明 1（次元の定義による証明）の利点

次元の定義にしたがった 11 つ目の証明は、自然な写像や定理 4.43（部分空間により定められる集合）など、商ベクトル空間に関する基礎的な事項を用いた証明です。

また、証明 1は、商ベクトル空間の基底を得る方法を与えるものでもあります。この方法は、ジョルダン標準形に関する考察などにおいて重要となります。

例えば、[3] などでは証明 1に近しい内容の証明が示されています。

証明 2（線型写像の基本定理による証明）の利点

22 つ目の証明は、自然な写像 f:V→V/ Wf : V \to V / \, W が線形写像であることから、定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いる証明です。

証明 1と証明 2のいずれにおいても、VV から V/ WV / \, W への自然な写像 f:V→V/ Wf : V \to V / \, W が存在することを用います（前項を参照）。したがって、定理 4.37（線型写像の基本定理）を先に示している場合、これを用いる方が合理的であり、当然、証明 2の方が簡潔な証明となります。

例えば、[9] などでは、このような流れの論理展開となっています。


2通りの証明


証明 1（次元の定義による証明）

w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} を WW の基底をなすベクトルとすると dim⁡W=n\dim W = n であり、WW は VV の部分空間であるから、定理 4.43（部分空間により定められる集合）より、w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} を拡大して VV の基底を作ることができる。いま、v1,⋯ ,vm,\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} を VV の基底をなすベクトルとすると、dim⁡V=m+n\dim V = m + n である。また、VV から V/ WV / \, W への自然な写像を f:V→V/ Wf : V \to V / \, W とすると、v1,⋯ ,vm∈V\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V に対して f(v1)=v1+W,⋯ ,f(vm)=vm+W∈V/ Wf(\bm{v}_{1}) = \bm{v}_{1} + W, \cdots, f(\bm{v}_{m}) = \bm{v}_{m} + W \in V / \, W が存在する。このとき、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) が V/ WV / \, W の基底であることを示す。

まず、任意の V/ WV / \, W の元は v∈V\bm{v} \in V を用いて v+W\bm{v} + W と表せ、v\bm{v} は VV の基底の線型結合として表せるから、次が成り立つ。

v=c1v1+⋯+cmvm+d1w1+⋯+dnwn⇔v−(c1v1+⋯+cmvm)=d1w1+⋯+dnwn \begin{gather*} & \bm{v} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} + d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow & \bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) = d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ \end{gather*}

よって、v−(c1v1+⋯+cmvm)∈W\bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) \in W であり、このとき、

v+W=(c1v1+⋯+cmvm)+W=c1(v1+W)+⋯+cm(vm+W)=c1f(v1)+⋯+cmf(vm) \begin{split} \bm{v} + W &= (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) + W \\ &= c_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c_{m} (\bm{v}_{m} + W) \\ &= c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{m} f(\bm{v}_{m}) \\ \end{split}

が成り立つ。すなわち、任意の V/ WV / \, W の元は f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) の線型結合として表せる。したがって、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) は V/ WV / \, W を生成する。

次に、c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)=0+Wc^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W とすると、次が成り立つ。

c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)=0+W⇔c1′(v1+W)+⋯+cm′(vm+W)=0+W⇔(c1′v1+⋯+cm′vm)+W=0+W⇔(c1′v1+⋯+cm′vm)−0∈W \begin{alignat*} {3} && c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) &= \bm{0} + W \\ &\Leftrightarrow & \quad c^{\prime}_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c^{\prime}_{m} (\bm{v}_{m} + W) &= \bm{0} + W \\ &\Leftrightarrow & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) + W &= \bm{0} + W \\ &\Leftrightarrow & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) - \bm{0} &\in W \\ \end{alignat*}

すなわち、c1′v1+⋯+cm′vm∈Wc^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} \in W であり、c1′v1+⋯+cm′vmc^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} は w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} の線型結合で表すことができる。このとき、

c1′v1+⋯+cm′vm=d1′w1+⋯+dn′wn⇔c1′v1+⋯+cm′vm+(−d1′) w1+⋯+(−dn′) wn=0 \begin{gather*} & c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} = d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow & c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} + (-d^{\prime}_{1}) \, \bm{w}_{1} + \cdots + (-d^{\prime}_{n}) \, \bm{w}_{n} = \bm{0} \\ \end{gather*}

が成り立つが、ここで、v1,⋯ ,vm,\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} は線型独立であるから、c1′=⋯=cm′=0,c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0,   d1′=⋯=dn′=0\; d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0 となる。よって、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) は線型独立である。

以上から、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) は V/ WV / \, W の基底であり、dim⁡ ( V/ W )=m\dim \, (\, V / \, W \,) = m 。したがって、dim⁡ ( V/ W )=dim⁡V−dim⁡W\dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W が成り立つ。□\quad \square


証明の考え方 1

まず、dim⁡W=n\dim W = n として、定理 4.43（部分空間により定められる集合）により、WW の基底を拡大して（11）VV の基底を作ります。次に、VV の基底として追加されたベクトルが mm 個であるとして、それらの像が V/ WV / \, W の基底となることを示すことで（22）dim⁡ ( V/ W )=m\dim \, (\, V / \, W \,) = m を導きます。

これにより、次が成り立つことが示され、題意が示されたことになります。

dim⁡V=m+n=dim⁡ ( V/ W )+dim⁡W \begin{split} \dim V &= m +n \\ &= \dim \, (\, V / \, W \,) + \dim W \end{split}

（1）VV の基底の構築

  • まず、WW の基底を拡大して VV の基底を作ります。
  • w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} を WW の基底をなすベクトルとします。
    • このとき、dim⁡W=n\dim W = n となります。
  • WW は VV の部分空間であるから、定理 4.43（部分空間により定められる集合）より、w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} を拡大して VV の基底を作ることができます。
    • WW は VV の部分空間であるので w1,⋯ ,wn∈V\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V です。
    • また、w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} は WW の基底であるので、w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} は線型独立です。
    • したがって、定理 4.33が適用でき、w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} に適当なベクトル（VV の元）を加えて、VV の基底を作ることができます。
  • いま、w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} に対して、v1,⋯ ,vm\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} を加えて VV の基底を作るとします。
    • すなわち、WW の基底をなす nn 個のベクトルに、mm 個のベクトル v1,⋯ ,vm\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} を加えて VV の基底を作るということです。
    • このとき、VV は m+nm + n 個のベクトルからなる基底を持つことになるので、dim⁡V=m+n\dim V = m + n となります。

（2）dim⁡ ( V/ W )=m\dim \, (\, V / \, W \,) = m の証明

  • 次に、VV の基底として追加された mm 個のベクトルの像が V/ WV / \, W の基底となることを示します。
  • VV から V/ WV / \, W への自然な写像を f:V→V/ Wf : V \to V / \, W とすると、v1,⋯ ,vm∈V\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V に対して f(v1),⋯ ,f(vm)∈V/ Wf(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) \in V / \, W が存在し、f(v1)=v1+W,⋯ ,f(vm)=vm+Wf(\bm{v}_{1}) = \bm{v}_{1} + W, \cdots, f(\bm{v}_{m}) = \bm{v}_{m} + W が成り立ちます。
    • 既に、WW と VV の基底が得られており、それぞれの次元が dim⁡W=n,  dim⁡V=m+n\dim W = n, \; \dim V = m + n とわかっているので、V/ WV / \, W の基底を求めて dim⁡ ( V/ W )=m\dim \, (\, V / \, W \,) = m であることを示せば良いことがわかります。
    • そこで、V/ WV / \, W の基底を得る足がかりとして、自然な写像 f:V→V/ Wf : V \to V / \, W を用います。
    • 前項で述べたとおり、「自然な」写像は VV と WW により自ずから定まります。
  • f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) が V/ WV / \, W の基底であることを示します。
V/ WV / \, W を生成することの証明

  • まず、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) が V/ WV / \, W を生成することを示します。

  • 任意の V/ WV / \, W の元は、v∈V\bm{v} \in V を用いて v+W\bm{v} + W と表せます。ここで、v\bm{v} は VV の基底の線型結合として次のように表せます。

    v=c1v1+⋯+cmvm+d1w1+⋯+dnwn \begin{gather*} \bm{v} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} + d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ \end{gather*}

  • 上記の式を変形すると次のようになり、v−(c1v1+⋯+cmvm)∈W\bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) \in W が得られます。

    v=c1v1+⋯+cmvm+d1w1+⋯+dnwn⇔v−(c1v1+⋯+cmvm)=d1w1+⋯+dnwn∈W \begin{gather*} & \bm{v} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} + d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow & \bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) = d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \in W \\ \end{gather*}

  • このとき、v+W\bm{v} + W について、次が成り立ちます。

    v+W=(i)(c1v1+⋯+cmvm)+W=(ii)c1(v1+W)+⋯+cm(vm+W)=(iii)c1f(v1)+⋯+cmf(vm) \begin{split} \bm{v} + W &\overset{(\text{i})}{=} (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) + W \\ &\overset{(\text{ii})}{=} c_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c_{m} (\bm{v}_{m} + W) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{m} f(\bm{v}_{m}) \\ \end{split}

  • 上記により、任意の V/ WV / \, W の元が f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) の線型結合として表せるといえます。

  • すなわち、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) は V/ WV / \, W を生成することが示されました。

線形独立性の証明

  • 次に、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) が線型独立であることを示します。

  • f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) が自明でない線型関係をもたない（自明な線型関係しかもたない）ことを確かめます。

  • すなわち、c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)=0+Wc^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W ならば c1′=⋯=cm′=0c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0 であることを導きます。

    c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)=0+W \begin{gather*} c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W \end{gather*}

    • 右辺が 0+W\bm{0} + W であるのは、V/ WV / \, W の零ベクトルが 0+W\bm{0} + W であるためです（商ベクトル空間がベクトル空間であることの確認）。
    • 誤って c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)=0c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} としないように注意が必要です。左辺は V/ WV / \, W の元であるので、右辺を 0∈V\bm{0} \in V とするのは適当ではありません。

  • いま、c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) について、次が成り立ちます。

    c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)=0+W  ⟺  (i)c1′(v1+W)+⋯+cm′(vm+W)=0+W  ⟺  (ii)(c1′v1+⋯+cm′vm)+W=0+W  ⟺  (iii)(c1′v1+⋯+cm′vm)−0∈W \begin{alignat*} {3} && c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) &= \bm{0} + W \\ &\overset{(\text{i})}{\iff} & \quad c^{\prime}_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c^{\prime}_{m} (\bm{v}_{m} + W) &= \bm{0} + W \\ &\overset{(\text{ii})}{\iff} & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) + W &= \bm{0} + W \\ &\overset{(\text{iii})}{\iff} & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) - \bm{0} &\in W \\ % &\overset{(\text{iv})}{\iff} & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) &\in W \\ \end{alignat*}

  • よって、c1′v1+⋯+cm′vm∈Wc^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} \in W が得られます。すなわち、c1′v1+⋯+cm′vmc^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} は WW の元であり、w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} の線型結合で表すことができるので、次が成り立ちます。

    c1′v1+⋯+cm′vm=d1′w1+⋯+dn′wn⇔c1′v1+⋯+cm′vm+(−d1′) w1+⋯+(−dn′) wn=0 \begin{gather*} & c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} = d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow & c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} + (-d^{\prime}_{1}) \, \bm{w}_{1} + \cdots + (-d^{\prime}_{n}) \, \bm{w}_{n} = \bm{0} \\ \end{gather*}

  • ここで、v1,⋯ ,vm,\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, w1,⋯ ,wn\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} は VV の基底であり、線型独立であるので、c1′=⋯=cm′=0,c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0,   d1′=⋯=dn′=0\; d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0 となります。

  • すなわち、c1′f(v1)+⋯+cm′f(vm)=0+Wc^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W ならば c1′=⋯=cm′=0c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0 であるということになります。

  • よって、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) は線型独立であることが確かめられました。

証明のまとめ

  • 以上から、f(v1),⋯ ,f(vm)f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) は V/ WV / \, W の基底であり、dim⁡ ( V/ W )=m\dim \, (\, V / \, W \,) = m であることが示されました。
  • いま、dim⁡V=m+n,  dim⁡W=n\dim V = m +n, \; \dim W = n であるので、次が成り立ちます。これにより、題意が示されました。
    dim⁡V=m+n=dim⁡ ( V/ W )+dim⁡W⇔dim⁡ ( V/ W )=dim⁡V−dim⁡W \begin{alignat*} {3} && \dim V &= m +n \\ &&&= \dim \, (\, V / \, W \,) + \dim W \\ & \Leftrightarrow & \quad \dim \, (\, V / \, W \,) &= \dim V - \dim W \end{alignat*}

証明 2（線型写像の基本定理による証明）

VV から V/ WV / \, W への自然な写像を f:V→V/ Wf : V \to V / \, W とすると、定理 4.37（線型写像の基本定理）より、dim⁡V=dim⁡ ( Kerf )+dim⁡ ( Imf )\dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) が成り立つ。

ここで、w∈W\bm{w} \in W とすると、w=w−0∈W\bm{w} = \bm{w} - \bm{0} \in W であることから w+W=0+W\bm{w} + W = \bm{0} + W が成り立つ。よって、w∈Kerf\bm{w} \in \text{Ker} f であり、W⊂KerfW \sub \text{Ker} f が成り立つ。また、v∈Kerf\bm{v} \in \text{Ker} f とすると、f(v)=v+W=0+Wf(\bm{v}) = \bm{v} + W = \bm{0} + W であることから、v−0∈W\bm{v} - \bm{0} \in W が成り立つ。よって、v∈W\bm{v} \in W であり、Kerf⊂W\text{Ker} f \sub W が成り立つ。したがって、Kerf=W\text{Ker} f = W である。また、商ベクトル空間 V/ WV / \, W の定義より、ff は全射であり、Imf=V/ W\text{Im} f = V / \, W である。

以上から、dim⁡V=dim⁡W+dim⁡ ( V/ W )\dim V = \dim W + \dim \, (\, V / \, W \,) が成り立つ。□\quad \square


証明の考え方 2

自然な写像 f:V→V/ Wf : V \to V / \, W に対して、（11）定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用すると、dim⁡V=dim⁡ ( Kerf )+dim⁡ ( Imf )\dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) が成り立ちます。

ここで、（22）Kerf=W\text{Ker} f = W および（33）Imf=V/ W\text{Im} f = V / \, W であることを示せば、題意が示されたことになります。

（1）線形写像の基本定理の適用

（2）Kerf=W\text{Ker} f = W の証明

  • まず、W⊂KerfW \sub \text{Ker} f を示します。
    • w∈W\bm{w} \in W とすると、w=w−0∈W\bm{w} = \bm{w} - \bm{0} \in W であるので、定理 4.43（部分空間により定められる集合）より、w+W=0+W\bm{w} + W = \bm{0} + W となります。
    • したがって、f(w)=0+Wf(\bm{w}) = \bm{0} + W となり、w∈Kerf\bm{w} \in \text{Ker} f が成り立ちます。
    • すなわち、w∈W ⇒ w∈Kerf\bm{w} \in W \, \Rightarrow \, \bm{w} \in \text{Ker} f であるので、W⊂KerfW \sub \text{Ker} f が成り立ちます。
  • 次に、Kerf⊂W\text{Ker} f \sub W を示します。
    • v∈Kerf\bm{v} \in \text{Ker} f とすると、f(v)=v+W=0+Wf(\bm{v}) = \bm{v} + W = \bm{0} + W となりますので、同じく定理 4.43（部分空間により定められる集合）より、v−0∈W\bm{v} - \bm{0} \in W となります。
    • したがって、v∈W\bm{v} \in W が成り立ちます。
    • すなわち、w∈Kerf ⇒ w∈W\bm{w} \in \text{Ker} f \, \Rightarrow \, \bm{w} \in W であるので、Kerf⊂W\text{Ker} f \sub W が成り立ちます。
  • W⊂KerfW \sub \text{Ker} f かつ Kerf⊂W\text{Ker} f \sub W であることから、Kerf=W\text{Ker} f = W が成り立ちます。

（3）Imf=V/ W\text{Im} f = V / \, W の証明

  • Imf=V/ W\text{Im} f = V / \, W であることは、自然な写像 ff が全射であることから明らかといえます（自然な写像が線形写像であることの確認を参照）。
  • 上記の証明 2では省略していますが、このことは、次のようにして確かめられます。
  • まず、Imf⊂V/ W\text{Im} f \sub V / \, W であることを確かめます。
    • 自然な写像 f:V→V/ Wf : V \to V / \, W は写像であるので、任意の v∈V\bm{v} \in V に対して、x=f(v)\bm{x} = f(\bm{v}) となる x∈V/ W\bm{x} \in V / \, W があります。
    • 逆にこれを満たさない場合、ff は写像の要件を満たさず、自然な写像 f:V→V/ Wf : V \to V / \, W が存在しないことになってしまいます。
    • したがって、f(v)∈Imf ⇒ f(v)∈V/ Wf(\bm{v}) \in \text{Im} f \, \Rightarrow \, f(\bm{v}) \in V / \, W となり、Imf⊂V/ W\text{Im} f \sub V / \, W が成り立ちます。
  • 次に、V/ W⊂ImfV / \, W \sub \text{Im} f であることを確かめます。
    • x∈V/ W\bm{x} \in V / \, W とすると、商ベクトル空間の定義より V/ W={ v+W∣v∈V }V / \, W = \{\, \bm{v} + W \mid \bm{v} \in V \,\} であるので、x=v+W\bm{x} = \bm{v} + W となる v∈V\bm{v} \in V が存在します。
    • したがって、x=v+W=f(v)\bm{x} = \bm{v} + W = f(\bm{v}) が成り立ち、x∈f(V)\bm{x} \in f(V)、すなわち x∈Imf\bm{x} \in \text{Im} f となります。
    • よって、x∈V/ W ⇒ x∈Imf\bm{x} \in V / \, W \, \Rightarrow \, \bm{x} \in \text{Im} f となり、V/ W⊂ImfV / \, W \sub \text{Im} f が成り立ちます。
  • W⊂ImfW \sub \text{Im} f かつ Imf⊂W\text{Im} f \sub W であることから、Imf=W\text{Im} f = W が成り立ちます。

証明のまとめ

  • 以上から、次が成り立ちます。これにより、題意が示されました。
    dim⁡V=dim⁡ ( Kerf )+dim⁡ ( Imf )=dim⁡W+dim⁡ ( V/ W )⇔dim⁡ ( V/ W )=dim⁡V−dim⁡W \begin{alignat*} {3} && \dim V &= \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) \\ &&&= \dim W + \dim \, (\, V / \, W \,) \\ & \Leftrightarrow & \quad \dim \, (\, V / \, W \,) &= \dim V - \dim W \end{alignat*}

まとめ

  • VV をベクトル空間、WW を VV の部分空間とする。VV の WW による商ベクトル空間 V/ WV / \, W について、次が成り立つ。
    dim⁡ ( V/ W )=dim⁡V−dim⁡W \begin{align*} \dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W \end{align*}

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
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[8] 桂利行. 代数学 I\text{I} 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[11] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2005.
[12] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[13] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.

初版：2023-03-31   |   改訂：2025-01-09
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