商ベクトル空間の次元

商ベクトル空間の次元に関して成り立つ定理を示します。すなわち、商ベクトル空間 $V / \, W$ の次元は、もとのベクトル空間 $V$ の次元から部分空間 $W$ の次元を減じたものに等しくなります。

この定理は、ベクトル空間における準同型定理ともいえる重要な定理を導く際に有用な定理です。

商ベクトル空間の次元#

定理 4.44（商ベクトル空間の次元）#

$V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とする。$V$ の $W$ による商ベクトル空間 $V / \, W$ について、次が成り立つ。 $$ \dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W $$

商ベクトル空間 $V / \, W$ の次元は、もとのベクトル空間 $V$ の次元から部分空間 $W$ の次元を減じたものに等しくなります。

この定理を証明する方法は主に $2$ つあります。
$1$ つ目は、次元の定義にしたがって商ベクトル空間の基底をなすベクトルの数を示すものであり、$2$ つ目は定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いるものです。いずれの証明においても、$V$ から $V / \, W$ への自然な写像 $f : V \to V / \, W$ が存在することを用いますので、定理 4.37（線型写像の基本定理）を先に示している場合は、これを用いる $2$ つ目の証明が合理的といえます。例えば、[9] などはこの流れをとっています。一方で、次元の定義にしたがった $1$ つ目の証明は、商ベクトル空間の基底を得る方法を与えるものでもあり、その意味で重要ともいえます。[3] などはこちらの証明に近しいものです。

証明 1（次元の定義による証明）#

$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $W$ の基底をなすベクトルとすると $\dim W = n$ であり、$W$ は $V$ の部分空間であるから、定理 4.33より、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を拡大して $V$ の基底を作ることができる。いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $V$ の基底をなすベクトルとすると $\dim V = m + n$ である。また、$V$ から $V / \, W$ への自然な写像を $f : V \to V / \, W$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ に対して $f(\bm{v}_{1}) = \bm{v}_{1} + W, \cdots, f(\bm{v}_{m}) = \bm{v}_{m} + W \in V / \, W$ が存在する。ここで、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が $V / \, W$ の基底であることを示す。まず、任意の $V / \, W$ の元は任意の $\bm{v} \in V$ を用いて $\bm{v} + W$ と表せるが、$\bm{v}$ は $V$ の基底の線型結合として表せるから、

すなわち、$c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} \in W$ であり、したがって、$c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合で表すことができる。

ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であるから、$c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0,$ $\; d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ である。よって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は線型独立である。以上から、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は $V / \, W$ の基底であり、$\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ 。したがって、$\dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の骨子 1#

$\dim W = n$ として、定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）により $W$ の基底を拡大して $V$ の基底を得ます。$\dim V = m +n$ として、$V$ の基底として追加された $m$ 個のベクトルの像が $V / \, W$ の基底となることを示せば、$\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ となり、題意が示されたことになります。

• $W$ の基底を拡大して $V$ の基底を得ます。

  • $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $W$ の基底をなすベクトルとすると $\dim W = n$ となります。
  • また、$W$ は $V$ の部分空間であるから、定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を拡大して $V$ の基底を作ることができます。
    • $W$ は $V$ の部分空間であるので $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ です。また、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $W$ の基底であるので、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立です。
    • したがって、定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）を用いることができ、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に適当なベクトル（$V$ の元）を加えて、$V$ の基底を作ることができます。
  • いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $V$ の基底をなすベクトルとすると $\dim V = m + n$ となります。
  • すなわち、$W$ の基底をなす $n$ 個のベクトルに、$m$ 個のベクトルを加えた $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底となります。

• $V$ の基底として追加された $m$ 個のベクトルの像が $V / \, W$ の基底となることを示します。

  • $V$ から $V / \, W$ への自然な写像を $f : V \to V / \, W$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ に対して $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m}) \in V / \, W$ が存在し、$f(\bm{v}_{1}) = \bm{v}_{1} + W, \cdots, f(\bm{v}_{m}) = \bm{v}_{m} + W$ となります。
    • 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ について考えることで、これまでの $W$ と $V$ に関する考察を $V / \, W$ に移します。
    • 既に $W$ と $V$ の基底が定まり、それぞれの次元が $\dim W = n, \; \dim V = m + n$ と明らかになりましたので、次に $V / \, W$ の基底を求めて $\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ であることを示せば良いです。そこで、$V / \, W$ の基底を得る足がかりとして、自然な写像 $f : V \to V / \, W$ を用います。
    • 前項で述べたとおり、「自然な」写像は $V$ と $W$ により自ずから定まります。
  • $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が $V / \, W$ の基底であることを示します。
  • まず、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が $V / \, W$ を生成することを示します。

    • 任意の $V / \, W$ の元は任意の $\bm{v} \in V$ を用いて $\bm{v} + W$ と表せます。ここで、$\bm{v}$ は $V$ の基底の線型結合として次のように表せます。

      $$ \bm{v} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} + d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ $$
      
      

    • 上記の式を変形すると次のようになり、$\bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) \in W$ となります。

      $$ \bm{v} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} + d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow \; \bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) = d_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{w}_{n} \in W \\ $$
      
      

    • $\bm{v} - (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) \in W$ なので、定理 4.43（部分空間により定められる集合）より、$\bm{v} + W = (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) + W$ が得られ、$V / \, W$ の和とスカラー倍の演算にしたがって、次のようになります。

      $$ \begin{gather*} & \bm{v} + W = (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m}) + W \\ \Leftrightarrow & \bm{v} + W = c_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c_{m} (\bm{v}_{m} + W) \\ \Leftrightarrow & \bm{v} + W = c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{m} f(\bm{v}_{m}) \\ \end{gather*} $$
      
      

    • よって、任意の $V / \, W$ の元が $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ の線型結合として表せることがわかります。すなわち、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は $V / \, W$ を生成します。

  • 次に、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が線型独立であることを示します。

    • $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ が自明でない線型関係をもたない（自明な線型関係しかもたない）ことを確かめます。すなわち、$c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W$ ならば $c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0$ がいえれば良いわけです。

      $$ c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W $$
      
      
      • 右辺が $\bm{0} + W$ であるのは、$V / \, W$ の零ベクトルが $\bm{0} + W$ であるためです（$V / \, W$ がベクトル空間であることの確認）。
      • ここで、$c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0}$ としないように注意が必要です。左辺は $V / \, W$ の元であるので、右辺を $\bm{0} \in V$ とするのは適当ではありません。

    • $c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W$ は、$V / \, W$ の和とスカラー倍の演算にしたがって、次のようになります。

      $$ \begin{gather*} & c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W \\ \Leftrightarrow & c^{\prime}_{1} (\bm{v}_{1} + W) + \cdots + c^{\prime}_{m} (\bm{v}_{m} + W) = \bm{0} + W \\ \Leftrightarrow & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) + W = \bm{0} + W \\ \Leftrightarrow & (c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}) - \bm{0} \in W \\ \end{gather*} $$
      
      
      • 最後の同値変形は、定理 4.43（部分空間により定められる集合）によります。

    • $c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} \in W$ となりますので、$c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m}$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合で表すことができ、次が成り立ちます。

      $$ c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} = d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow \; c^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{m} \bm{v}_{m} + (-d^{\prime}_{1}) \, \bm{w}_{1} + \cdots + (-d^{\prime}_{n}) \, \bm{w}_{n} = \bm{0} \\ $$
      
      

    • ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であるので、$c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0,$ $\; d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ です。すなわち、$c^{\prime}_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{m} f(\bm{v}_{m}) = \bm{0} + W$ ならば $c^{\prime}_{1} = \cdots = c^{\prime}_{m} = 0$ であるということになります。よって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は線型独立であることが確かめられました。

  • 以上から、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{m})$ は $V / \, W$ の基底であり、$\dim \, (\, V / \, W \,) = m$ となります。
  • いま、$\dim V = m +n, \; \dim W = n$ であるので、$\dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W$ が成り立つことが示されました。

証明 2（線型写像の基本定理による証明）#

$V$ から $V / \, W$ への自然な写像を $f : V \to V / \, W$ とすると、定理 4.37より、$\dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,)$ が成り立つ。ここで、$\bm{w} \in W$ とすると $\bm{w} = \bm{w} - \bm{0} \in W$ だから $\bm{w} + W = \bm{0} + W$ となる。よって、$\bm{w} \in \text{Ker} f$ であり、$W \sub \text{Ker} f$ が成り立つ。また、$\bm{v} \in \text{Ker} f$ とすると $f(\bm{v}) = \bm{v} + W = \bm{0} + W$ より $\bm{v} - \bm{0} \in W$ となる。よって、$\bm{v} \in W$ であり、$\text{Ker} f \sub W$ が成り立つ。したがって、$\text{Ker} f = W$ である。また、商ベクトル空間 $V / \, W$ の定義より $f$ は全射であり、$\text{Im} f = V / \, W$ である。以上から、$\dim V = \dim W + \dim \, (\, V / \, W \,)$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の骨子 2#

$V$ から $V / \, W$ への自然な写像 $f : V \to V / \, W$ に対して、定理 4.37（線型写像の基本定理）を用います。$\dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,)$ が成り立ちますので、$\text{Ker} f = W, \; \text{Im} f = V / \, W$ であることを示せば、題意が示されたことになります。

• 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ に対して、定理 4.37（線型写像の基本定理）より、次が成り立ちます。

  $$ \dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) $$
  
  

• $\text{Ker} f = W$ であることを示します。

  • まず、$W \sub \text{Ker} f$ を示します。
    • $\bm{w} \in W$ とすると、$\bm{w} = \bm{w} - \bm{0} \in W$ であるので、定理 4.43（部分空間により定められる集合）より、$\bm{w} + W = \bm{0} + W$ となります。したがって、$f(\bm{w}) = \bm{0} + W$ であり、$\bm{w} \in \text{Ker} f$ となります。
    • したがって、$\bm{w} \in W \, \Rightarrow \, \bm{w} \in \text{Ker} f$ であるので、$W \sub \text{Ker} f$ が成り立ちます。
  • 次に、$\text{Ker} f \sub W$ を示します。
    • $\bm{v} \in \text{Ker} f$ とすると、$f(\bm{v}) = \bm{v} + W = \bm{0} + W$ となりますので、同じく定理 4.43（部分空間により定められる集合）より、$\bm{v} - \bm{0} \in W$ となります。よって、$\bm{v} \in W$ となります。
    • したがって、$\bm{w} \in \text{Ker} f \, \Rightarrow \, \bm{w} \in W$ であるので、$\text{Ker} f \sub W$ が成り立ちます。
  • $W \sub \text{Ker} f$ かつ $\text{Ker} f \sub W$ であるので、$\text{Ker} f = W$ が示されました。

• $\text{Im} f = V / \, W$ であることを示します。

  • このことは、$f$ が線型写像であることの確認で述べたように、商ベクトル空間の定義より $f$ が全射であることから明らかといえますが、次のようにして確かめられます。
  • まず、$\text{Im} f \sub V / \, W$ であることを確かめます。
    • 自然な写像 $f : V \to V / \, W$ は写像であるので、任意の $\bm{v} \in V$ に対して、$\bm{x} = f(\bm{v})$ となる $\bm{x} \in V / \, W$ があります。逆にこれを満たさない場合、$f$ は写像の要件を満たさないため自然な写像 $f : V \to V / \, W$ が存在しないことになってしまいます。
    • したがって、$f(\bm{v}) \in \text{Im} f \, \Rightarrow \, f(\bm{v}) \in V / \, W$ であるので、$\text{Im} f \sub V / \, W$ が成り立ちます。
  • 次に、$V / \, W \sub \text{Im} f$ であることを確かめます。
    • $\bm{x} \in V / \, W$ とすると、商ベクトル空間の定義より $V / \, W = \{\, \bm{v} + W \mid \bm{v} \in V \,\}$ であるので、$\bm{x} = \bm{v} + W$ となる $\bm{v} \in V$ が存在します。したがって、$\bm{x} = \bm{v} + W = f(\bm{v})$ であり、$\bm{x} \in f(V)$ すなわち $\bm{x} \in \text{Im} f$ となります。
    • したがって、$\bm{x} \in V / \, W \, \Rightarrow \, \bm{x} \in \text{Im} f$ であるので、$V / \, W \sub \text{Im} f$ が成り立ちます。
  • $W \sub \text{Im} f$ かつ $\text{Im} f \sub W$ であるので、$\text{Im} f = W$ であることが確かめられました。

• 以上から、$\dim V = \dim W + \dim \, (\, V / \, W \,)$ が成り立つことが示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とする。$V$ の $W$ による商ベクトル空間 $V / \, W$ について、次が成り立つ。
  $$ \dim \, (\, V / \, W \,) = \dim V - \dim W $$
  
  

参考文献#