基底の変換（1）

ベクトル空間の基底のとり方は一意的ではなく、与えられたベクトル空間に対して複数の基底がとり得ます。

ここでは、ベクトル空間の $2$ つの基底の間に成り立つ関係を表す定理を示します。これは、基底の変換を定式化するために必要となる準備でもあります。

基底の間の関係#

定理 4.48（基底の間の関係）#

$V$ をベクトル空間、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ を $V$ の基底とする。$n$ 個のベクトル $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ が $V$ の基底であるためには、

$n$ 次元ベクトル空間の基底の線型結合として $n$ 個のベクトルを行列 $A$ により表したとき、$n$ 個のベクトルが基底であることと対応する行列 $A$ が正則であることは同値となります。すなわち、ベクトル空間 $V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として（4.6.3）式で表されるベクトルの組（$\text{i}$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底であることと（$\text{ii}$）$A$ が正則であることは同値です。（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ という $2$ つのベクトルの組がともに $V$ の基底であれば、$2$ つの基底の間の関係を表す正則行列が存在することを示しています。逆に（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）は、$V$ の $1$ つの基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ があったとき、ある正則行列に対応して、もう $1$ つの基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が存在しうることを示していると理解できます。

定理の前提として $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底の $1$ つであるとわかっていますので、$\dim V = n$ であるといえます。したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ とは別のベクトルの組が $V$ の基底であるためには、まずそのベクトルの組が $n$ 個のベクトルからなる必要があります。すなわち、定理の主張において、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の基底であるための必要条件の $1$ つ（$n$ 個のベクトルからなること）を既に満たしていることになります。より一般的に $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ として検討を始めてもよいのですが、$\dim V = n$ という条件により、$m \gt n$ であれば $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は線型従属となり、$n \gt m$ であれば $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は $V$ を生成できないことになります。結局 $m = n$ の場合のみ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ が $V$ の基底となる可能性があることなります。したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ として検討を始めることにはあまり意味がありません。このような理由から、定理の主張において、はじめから $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $n$ 個のベクトルの組であることとして問題ないといえます。

証明#

$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底であるとすると、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ を生成するから、$V$ の元である $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せる。$B = (\, b_{ij} \,)$ として、これをまとめて表せば、次のようになる。

また、このとき（4.6.3）式より次が成り立つ。

$B A = C = (\, c_{ij} \,)$ とすれば、$C$ は $(n ,n)$ 型行列であり、$1 \leqslant j \leqslant n$ について次のことが成り立つ。

いま、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $V$ の基底と仮定しているので $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であり、したがって $c_{ij} = \delta_{ij}$ である。よって、$C = (\, \delta_{ij} \,) = E$ となり、$B A = E$ が成り立つ。同様にして、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, A B$ について、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であることから $A B = E$ が得られる。したがって、$A$ は正則である。逆に（4.6.3）式において $A$ が正則であると仮定すると $A B = B A = E$ となる行列 $B = (\, b_{ij} \,)$ が存在し、次が成り立つ。

すなわち、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は次のように $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せる。

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であるから、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せるということは、任意の $V$ の元が $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せるということに他ならない。したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ を生成する。また、仮に $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型従属であるとすると $\dim V \lt n$ となるが、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であることに矛盾する。したがって $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立である。よって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の基底である。以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底であることと $A$ が正則であることは同値である。$\quad \square$

証明の骨子#

（$\text{i}$）「$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底である」ことと（$\text{ii}$）「$A$ が正則である」ことの同値性を示します。（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）と（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）それぞれ、線型結合の行列表記の方法と基底の定義に則って証明することができます。

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）#

• 正則行列の定義にしたがって $A B = B A = E$ となる行列 $B$ が存在することを示します。

• すなわち、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底であると仮定し、上記のような行列 $B$ が存在することを導きます。

  • $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底であるとすると、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ を生成します。すなわち、$\bm{v} \in V$ ならば $\bm{v} \in \langle \, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \, \rangle$ が成り立つといえます。
  • したがって、$V$ の元である $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せることになります。
  • これを、線型結合の行列表記によりまとめて表します。ここで $B = (\, b_{ij} \,)$ であり、$B$ は $(n, n)$ 型行列となります。
    $$ \begin{align*} \tag{$\ast$} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) \, B \end{align*} $$
    
    

• $A B = B A = E$ となることを示します。

• まず $B A = E$ を示します。

  • 上で得られた（$\ast$）式と（4.6.3）式より、次が成り立ちます。

    $$ \begin{split} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, A \\ &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) \, B A \\ \end{split} $$
    
    

  • ここで $B A = C = (\, c_{ij} \,)$ とすれば $C$ は $(n ,n)$ 型行列であり、$(\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) \, C$ となります。すなわち、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ をまとめて $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表したとき、対応する行列が $C$ であると捉えることができます。したがって、$1 \leqslant j \leqslant n$ について次のことが成り立つといえます。

    $$ \begin{array} {ccc} \bm{w}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{n} \, \bm{w}_{i} \, c_{ij} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$
    
    

  • $\bm{w}_{j}$ に関する上の式は、次のようにも表せます。すなわち $\bm{w}_{j}$ が $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せるということであり、左辺の $\bm{w}_{j}$ は右辺の $j$ 番目の項にも現れます。

    $$ \bm{w}_{j} = c_{1j} \, \bm{w}_{1} + c_{2j} \, \bm{w}_{2} + \cdots + c_{jj} \, \bm{w}_{j} + \cdots + c_{nj} \, \bm{w}_{n} $$
    
    

  • この式は、次のように変形すると $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型関係としてみることができます。

    $$ \bm{w}_{j} = c_{1j} \, \bm{w}_{1} + c_{2j} \, \bm{w}_{2} + \cdots + c_{jj} \, \bm{w}_{j} + \cdots + c_{nj} \, \bm{w}_{n} \\ \Leftrightarrow \; c_{1j} \, \bm{w}_{1} + c_{2j} \, \bm{w}_{2} + \cdots + (c_{jj} - 1) \, \bm{w}_{j} + \cdots + c_{nj} \, \bm{w}_{n} = \bm{0} $$
    
    

  • $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の基底であると仮定しているので $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であり、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は自明でない線型関係を持ちません。つまり、上の式において $c_{1j} = c_{2j} = \cdots = (c_{jj} - 1) = \cdots = c_{nj} = 0$ であり、$i \neq j$ ならば $c_{ij} = 0$、$i = j$ ならば $c_{jj} = 1$ となります。

  • いま、$j$ を固定して（$1$ つの $\bm{w}_{j}$ について）考えましたが、同様の考察が $1 \leqslant j \leqslant n$ について成り立ち、したがって $c_{ij} = \delta_{ij}$ となります。$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタを表します。

    $$ \begin{align*} \delta_{ij} = \left\{ \begin{array} {cc} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{array} \right. \end{align*} $$
    
    

  • 以上から $C = (\, \delta_{ij} \,) = E$ となり、$B A = E$ が得られます。

    $$ C = (\, \delta_{ij} \,) = \begin{pmatrix} \begin{matrix} \; 1 & \\ & 1 \\ \end{matrix} & \large O \; \\ \; \large O & \begin{matrix} \ddots & \\ & 1 \; \\ \end{matrix} \end{pmatrix} $$
    
    

• 同様に $A B = E$ を示します。

  • $B A = E$ の場合とまったく同じように考えることで $A B = E$ が示せます。すなわち、（4.6.3）式と（$\ast$）式より $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, A B$ となり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であることから $A B = E$ が得られます。

• 以上から $A B = B A = E$ となる行列 $B$ が存在することがわかりましたので、定義より $A$ は正則であるといえます。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）#

• 定義にしたがって $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底であることを導きます。すなわち （$1$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ を生成し、かつ（$2$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることを示します。
• まず（$1$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ を生成することを示します。

  • （4.6.3）式において $A$ が正則であると仮定すると $A B = B A = E$ となる行列 $B = (\, b_{ij} \,)$ が存在し、次が成り立します。

    $$ \begin{gather*} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) \, B = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, A B\\ \Leftrightarrow \; (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) \, B \tag{$\ast$} \end{gather*} $$
    
    

  • すなわち、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は次のように $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せるということです。

    $$ \begin{array} {ccc} \bm{v}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{n} \, \bm{w}_{i} \, b_{ij} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$
    
    

  • いま $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であるから、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せるということは、任意の $V$ の元が $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せるということに他なりません。したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ を生成するといえます。

• 次に（$2$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることを示します。
  • 仮に $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型従属であるとすると、$V$ を生成し、線型独立である $n$ 個より少ないベクトルが存在することになりますので、$\dim V \lt n$ となりますが、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であることに矛盾します。
    • $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ から他のベクトルの線型結合として表せるベクトルを除いて、これを $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ とすると $m \lt n$ です。
    • $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ は（$1$）$V$ を生成し（$2$）かつ線型独立であるので $V$ の基底であり、$\dim V = m \lt n$ が成り立ちます。
    • 一方で、定理の前提より $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ も $V$ の基底であり、このことからは $\dim V = n$ が導かれますが、これは $\dim V \lt n$ と矛盾します。
  • したがって $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であるといえます。
    • $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることを証明する方法は他にもあります。例えば、次元の基本的性質（定理 4.32（次元が明らかな場合の基底の条件））により、$\dim V = n$ という条件の下、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ を生成することと $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることは同値であることより、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることを示すこともできます。
    • 上の証明は、次元の定義（または定理 4.29（次元の一意性））によりますが、これがもっとも簡潔と思われます。
• 以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底であることが示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ を $V$ の基底とする。$n$ 個のベクトル $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ が $V$ の基底であるためには、
  $$ \begin{align*} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, A \end{align*} $$
  
  としたとき、$A$ が正則であることが必要にして十分である。
  

参考文献#