合成写像の行列表示

線形写像の合成の行列表示は、それぞれの線形写像の行列表示の積に等しくなります。

線型写像の合成もまた線型写像であることと、線型写像が行列により表現されることから、線型写像の合成がそれぞれの表現行列の積により表現されることを示します。

線形写像の合成の行列表示

定理 4.53（合成写像の行列表示）

$U, V, W$ をベクトル空間、 $f : U \to V, \, g : V \to W$ を線型写像とする。 $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n} \in U$ 、 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ 、 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \in W$ をそれぞれ $U, V, W$ の基底をとして、それらの基底に関する $f, g$ および $g \circ f$ の行列表示を、それぞれ $A, B, C$ とすれば、次が成り立つ。

\begin{equation*} \tag{4.6.11} C = B A \end{equation*}

解説

線形写像の合成は表現行列の積で表せる

定理 4.53（合成写像の行列表示）は、線形写像の合成の行列表示が、それぞれの線形写像の行列表示の積に等しくなることを示しています。

すなわち、 $U, V, W$ の基底をそれぞれ $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n} \in U$ 、 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ 、 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \in W$ に固定したとき、 $g \circ f : U \to W$ の行列表示 $C$ は、 $f : U \to V, \, g : V \to W$ の行列表示 $A, B$ の積に等しくなります。

写像の合成と表現行列の積の順序

ここで、写像の合成の順序は行列の積の順序と等しくなります。つまり、 $f$ と $g$ の合成写像を $h$ とすれば、 $h = g \circ f$ に対応して、 $C = B A$ となります。

前提となる定理（定理 4.53 の前提）

定理 4.53（合成写像の行列表示）は、線型写像の合成もまた線型写像であること、線型写像が行列により表現されることを前提としています。

線型写像の合成が線型写像であることは定理 4.10（線型写像の合成）により、線型写像に対応する表現行列が存在することは定理 4.50（線型写像の行列表示）により、それぞれ担保されています。

このことは、下記の証明からも明らかといえます。

証明

定理の仮定から、 $f, g$ および $g \circ f$ の表現行列 $A, B ,C$ について、次が成り立つ。

\begin{align*} (\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{n}) \,) &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \, , \tag{\text{i}} \\ (\, g(\bm{v}_{1}), \cdots, g(\bm{v}_{m}) \,) &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, B \, , \tag{\text{ii}} \\ (\, g \circ f(\bm{u}_{1}), \cdots, g \circ f(\bm{u}_{n}) \,) &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, C \tag{\text{iii}} \\ \end{align*}

$g$ は線型写像であるから、（ $\text{i}$ ）と（ $\text{ii}$ ）より、次が成り立つ。

\begin{alignat*} {3} && (\, g(f(\bm{u}_{1})), \cdots, g(f(\bm{u}_{n})) \,) &= (\, g(\bm{v}_{1}), \cdots, g(\bm{v}_{m}) \,) \, A \\ & \Rightarrow \quad & (\, g \circ f(\bm{u}_{1}), \cdots, g \circ f(\bm{u}_{n}) \,) &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, B A \\ \end{alignat*}

このことと（ $\text{iii}$ ）より、次が成り立つ。

\begin{gather*} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, C = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, B A \end{gather*}

いま、 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l}$ は線型独立であるから、 $C = B A$ が成り立つ。 $\quad \square$

証明の考え方

線型写像の行列表示に関する関係式（定理 4.50（線型写像の行列表示））を用いて $C = B A$ を導きます。考え方は、前項の定理 4.52（対等な行列）の証明と同じです。

（1）前提事項の整理

定理の前提にしたがって、線形写像の行列表示に関する関係式を整理します。
定理 4.50（線型写像の行列表示）より、線型写像 $f, g$ および $g \circ f$ の表現行列 $A, B, C$ について、次の関係式が成り立ちます。
$\begin{align*} (\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{n}) \,) &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \, , \tag{\text{i}} \\ (\, g(\bm{v}_{1}), \cdots, g(\bm{v}_{m}) \,) &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, B \, , \tag{\text{ii}} \\ (\, g \circ f(\bm{u}_{1}), \cdots, g \circ f(\bm{u}_{n}) \,) &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, C \tag{\text{iii}} \\ \end{align*}$

（2）合成写像の行列表示の導出

関係式（ $\text{i}$ ） $\sim$ （ $\text{iii}$ ）を組み合わせて $C = B A$ を導きます。
まず、（ $\text{i}$ ）と（ $\text{ii}$ ）より、次が成り立ちます。
$\begin{alignat*} {3} && (\, g(f(\bm{u}_{1})), \cdots, g(f(\bm{u}_{n})) \,) &\overset{(\alpha)}{=} (\, g(\bm{v}_{1}), \cdots, g(\bm{v}_{m}) \,) \, A \\ & \Rightarrow \quad & (\, g \circ f(\bm{u}_{1}), \cdots, g \circ f(\bm{u}_{n}) \,) &\overset{(\beta)}{=} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, B A \tag{$
- （ $\alpha$ ）（ $\text{i}$ ）式に定理 4.45（線型結合の行列表記）を適用することで得られます。これは、（ $\text{i}$ ）式の両辺を $V$ の元とみなして、それぞれの $g$ による像が等しいことを表しています。
- （ $\beta$ ）左辺は合成写像の表記法によります。右辺は（ $\alpha$ ）で得られた関係式に（ $\text{ii}$ ）式を適用することで得られます。
（ $\ast$ ）と（ $\text{iii}$ ）より、 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l}$ に関して、次が成り立つことがわかります。
$\begin{gather*} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, C = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l} \,) \, B A \end{gather*}$
いま、 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{l}$ は $W$ の基底であるかた線型独立であるので、定理 4.47（線型独立なベクトルの組 $2$ ）より、 $C = B A$ が成り立ちます。
以上から、題意が示されました。

可換図式による表現