対等な行列の階数 目次 対等な行列の階数は等しいことを示します。すなわち、ある行列 A A A 2 2 2 P , Q P, Q P , Q A A A P A Q PAQ P A Q
この定理は、線型写像の表現行列の階数が基底の変換により不変であることを示しています。また、行列の階数が基本変形により不変であることを示す重要な定理でもあります。
階数の基本的性質# 定理 4.65（対等な行列の階数）# A A A ( m , n ) (m, n) ( m , n ) P , Q P, Q P , Q m m m n n n P A Q PAQ P A Q A A A
rank P A Q = rank A
\begin{align*} \tag{4.7.6}
\text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A
\end{align*}
rank P A Q = rank A ( 4.7.6 )
基底の変換により階数は不変# 定理 4.52（対等な行列） より、P A Q PAQ P A Q A A A A ∈ M m , n ( K ) A \in M_{m,n} (K) A ∈ M m , n ( K ) f A : K n → K m f_{A} : K^{n} \to K^{m} f A : K n → K m 表現行列 であると考えれば、正則行列 P , Q P, Q P , Q K m , K n K^{m}, K^{n} K m , K n 基底変換行列 に対応しており、P A Q PAQ P A Q A A A 1 1 1 （4.7.6）式 は対等な行列の階数が等しいことを示しており、また、定理 4.65 は、線型写像 f A f_{A} f A
行列の基本変形により階数は不変# また、定理 4.65 は、基本変形により行列の階数が不変であることを示しているとも捉えられます。後にみるように、ある行列 A A A A A A A A A A A A P A Q PAQ P A Q A A A （4.7.6）式 は基本変形の前後で行列の階数が変わらないことを示しており、また、定理 4.65 は、行列 A A A
定理 4.64（行列の積の階数） より、行列の積の階数はもとの行列の階数を超えないので、
rank P A Q ⩽ rank P A ⩽ rank A
\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, PA \leqslant \text{rank} \, A
rank P A Q ⩽ rank P A ⩽ rank A
また、P , Q P, Q P , Q P − 1 , Q − 1 P^{-1}, Q^{-1} P − 1 , Q − 1
A = ( P − 1 P ) A ( Q Q − 1 ) = P − 1 ( P A Q ) Q − 1
\begin{split}
A &= (P^{-1}P) \, A \, (QQ^{-1}) \\
&= P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1}
\end{split}
A = ( P − 1 P ) A ( Q Q − 1 ) = P − 1 ( P A Q ) Q − 1
よって、再び定理 4.64（行列の積の階数） より、
rank A = rank P − 1 ( P A Q ) Q − 1 ⩽ rank P − 1 ( P A Q ) ⩽ rank P A Q
\begin{split}
\text{rank} \, A &= \text{rank} \, P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1} \\
&\leqslant \text{rank} \, P^{-1} \, (PAQ) \leqslant \text{rank} \, PAQ
\end{split}
rank A = rank P − 1 ( P A Q ) Q − 1 ⩽ rank P − 1 ( P A Q ) ⩽ rank P A Q
以上から rank P A Q ⩽ rank A \text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A rank P A Q ⩽ rank A rank A ⩽ rank P A Q \text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ rank A ⩽ rank P A Q rank P A Q = rank A \text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A rank P A Q = rank A □ \quad \square □
証明の骨子# rank P A Q ⩽ rank A \text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A rank P A Q ⩽ rank A rank A ⩽ rank P A Q \text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ rank A ⩽ rank P A Q rank P A Q = rank A \text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A rank P A Q = rank A 定理 4.64（行列の積の階数） を用いて示すことができます。
まず、rank P A Q ⩽ rank A \text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A rank P A Q ⩽ rank A
定理 4.64（行列の積の階数） より、行列の積の階数はもとの行列の階数を超えないので、次の不等式が成り立ちます。
rank P A Q ⩽ rank P A ⩽ rank A
\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, PA \leqslant \text{rank} \, A
rank P A Q ⩽ rank P A ⩽ rank A
P A Q PAQ P A Q P A PA P A Q Q Q P A Q PAQ P A Q P A PA P A P A PA P A A A A P A Q PAQ P A Q P P P A Q AQ A Q rank P A Q ⩽ rank A Q ⩽ rank A
\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, AQ \leqslant \text{rank} \, A
rank P A Q ⩽ rank A Q ⩽ rank A したがって、rank P A Q ⩽ rank A \text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A rank P A Q ⩽ rank A
次に、rank A ⩽ rank P A Q \text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ rank A ⩽ rank P A Q
P , Q P, Q P , Q 正則行列の定義 より、それぞれ逆行列 P − 1 , Q − 1 P^{-1}, Q^{-1} P − 1 , Q − 1 P P − 1 = P − 1 P = E m , Q Q − 1 = Q − 1 Q = E n PP^{-1} = P^{-1}P = E_{m}, \; QQ^{-1} = Q^{-1}Q = E_{n} P P − 1 = P − 1 P = E m , Q Q − 1 = Q − 1 Q = E n E m , E n E_{m}, \, E_{n} E m , E n m m m n n n 単位行列 を表します。）
したがって、行列 A A A 3 3 3 P − 1 , ( P A Q ) , Q − 1 P^{-1}, \; (PAQ), \; Q^{-1} P − 1 , ( P A Q ) , Q − 1
A = E m A E n = ( P − 1 P ) A ( Q Q − 1 ) = P − 1 ( P A Q ) Q − 1
\begin{split}
A &= E_{m} \, A \, E_{n} \\
&= (P^{-1}P) \, A \, (QQ^{-1}) \\
&= P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1}
\end{split}
A = E m A E n = ( P − 1 P ) A ( Q Q − 1 ) = P − 1 ( P A Q ) Q − 1
再び定理 4.64（行列の積の階数） により、次の不等式が成り立ちます。
rank A = ( 1 ) rank P − 1 ( P A Q ) Q − 1 ⩽ ( 2 ) rank P − 1 ( P A Q ) ⩽ ( 3 ) rank P A Q
\begin{split}
\text{rank} \, A &\overset{(1)}{=} \text{rank} \, P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1} \\
&\overset{(2)}{\leqslant} \text{rank} \, P^{-1} \, (PAQ) \\
&\overset{(3)}{\leqslant} \text{rank} \, PAQ
\end{split}
rank A = ( 1 ) rank P − 1 ( P A Q ) Q − 1 ⩽ ( 2 ) rank P − 1 ( P A Q ) ⩽ ( 3 ) rank P A Q
（1 1 1 A A A 3 3 3 P − 1 , ( P A Q ) , Q − 1 P^{-1}, \; (PAQ), \; Q^{-1} P − 1 , ( P A Q ) , Q − 1 （2 2 2 定理 4.64（行列の積の階数） より、P − 1 ( P A Q ) Q − 1 P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1} P − 1 ( P A Q ) Q − 1 P − 1 ( P A Q ) P^{-1} \, (PAQ) P − 1 ( P A Q ) Q − 1 Q^{-1} Q − 1 P − 1 ( P A Q ) Q − 1 P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1} P − 1 ( P A Q ) Q − 1 P − 1 ( P A Q ) P^{-1} \, (PAQ) P − 1 ( P A Q ) （3 3 3 定理 4.64（行列の積の階数） より、P − 1 ( P A Q ) P^{-1} \, (PAQ) P − 1 ( P A Q ) P A Q PAQ P A Q したがって、rank A ⩽ rank P A Q \text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ rank A ⩽ rank P A Q
以上から、rank P A Q ⩽ rank A \text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A rank P A Q ⩽ rank A rank A ⩽ rank P A Q \text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ rank A ⩽ rank P A Q 2 2 2 P A Q PAQ P A Q A A A rank P A Q = rank A \text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A rank P A Q = rank A
まとめ# A A A ( m , n ) (m, n) ( m , n ) P , Q P, Q P , Q m m m n n n P A Q PAQ P A Q A A A rank P A Q = rank A
\begin{align*}
\text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A
\end{align*}
rank P A Q = rank A [1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966. [2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986. [3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010. [4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018. [5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008. [6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987. [7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022. [8] 雪江明彦. 代数学 1 1 1 [9] 雪江明彦. 代数学 2 2 2 [10] 桂利行. 代数学 I \text{I} I [11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976. [12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965. [13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002. [14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014. [15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-06-03 | 改訂：2024-08-31