対等な行列の階数

対等な行列の階数は等しくなります。すなわち、同じ線型写像を表現する行列の階数は互いに等しくなります。

これは、線型写像の表現行列の階数が基底の変換により不変であることを示すとともに、一般に、行列の階数が 基本変形により不変であることを示唆する重要な定理です。

対等な行列の階数#

定理 4.65（対等な行列の階数）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列、$P, Q$ をそれぞれ $m$ 次、$n$ 次の正則行列とすると、行列の積 $PAQ$ の階数は $A$ の階数に等しい。

解説#

対等な行列の階数は等しい#

定理 4.65（対等な行列の階数）は、 対等な行列の階数が互いに等しいことを示しています。

対等な行列とは：同じ線型写像の表現行列#

対等な行列とは、同じ線型写像を表現する異なる行列のことです。

定理 4.52（対等な行列）より、$PAQ$ は $A$ に対等な行列であるといえます。すなわち、$A \in M_{m,n} (K)$ をある線型写像 $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ の 表現行列であると考えれば、正則行列 $P, Q$ はそれぞれ $K^{m}, K^{n}$ における 基底変換行列に対応しており、$PAQ$ は $A$ に対等な行列の $1$ つを表していると捉えることができます。

表現行列の階数は基底の変換により不変#

このように考えると、 （4.7.6）式は、 対等な行列の階数が等しいことを表しているといえます。

また、 定理 4.65（対等な行列の階数）は、線型写像 $f_{A}$ の表現行列の階数が、基底の変換により不変であることを示していると捉えられます。

行列の階数は基本変形により不変#

定理 4.65（対等な行列の階数）は、行列の階数が、 基本変形により不変であることを示唆しています。

後にみるように、ある行列 $A$ に行基本変形を施すことは $A$ に左から正則行列を掛けることに、$A$ に列基本変形を施すことは $A$ に右から正則行列を掛けることにそれぞれ対応しています。

このように考えると、 （4.7.6）式の左辺の行列 $PAQ$ は右辺の行列 $A$ に対して基本変形を施した行列に他なりません。すなわち、 定理 4.65は、一般に、行列の階数が基本変形により不変であることを示していると捉えられます。

このことは、 行列の基本変形を定義した上で、改めて整理します（ 定理 5.10（基本変形と階数））。

関連する定理#

• 定理 5.10（基本変形と階数）

証明#

定理 4.64（行列の積の階数）より、行列の積の階数はもとの行列の階数を超えないので、

また、$P, Q$ は正則であるのでそれぞれ逆行列 $P^{-1}, Q^{-1}$ を持ち、次が成り立つ。

よって、再び 定理 4.64（行列の積の階数）より、

以上から、$\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A$ かつ $\text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ$ が成り立つ。したがって、$\text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A$ 。$\quad \square$

証明の考え方#

（$1$）$\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A$ かつ（$2$）$\text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ$ が成り立つことから、$\text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A$ を導きます。それぞれ、 前項の 定理 4.64（行列の積の階数）を用いて示すことができます。

（1）$\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A$ の証明#

• まず、$\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A$ を示します。

• 定理 4.64（行列の積の階数）より、行列の積の階数はもとの行列の階数を超えないので、次の不等式が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} \text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, PA \leqslant \text{rank} \, A \end{gather*} $$
  • $PAQ$ を $PA$ と $Q$ の積とみれば、$PAQ$ の階数は $PA$ の階数を超えないはずです。また、$PA$ の階数は $A$ の階数を超えません。
  • $PAQ$ を $P$ と $AQ$ の積とみても同様です。
    $$ \begin{gather*} \text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, AQ \leqslant \text{rank} \, A \end{gather*} $$

• したがって、$\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A$ が成り立ちます。

（2）$\text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ$ の証明#

• 次に、$\text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ$ を示します。

• $P, Q$ は正則であるので、それぞれ逆行列 $P^{-1}, Q^{-1}$ を持ち、$PP^{-1} = P^{-1}P = E_{m}, \; QQ^{-1} = Q^{-1}Q = E_{n}$ が成り立ちます（ 正則行列の定義）。

  • ここで、$E_{m}, \, E_{n}$ は、それぞれ $m$ 次、$n$ 次の 単位行列を表します。

• したがって、行列 $A$ は $3$ つの行列 $P^{-1}, \; (PAQ), \; Q^{-1}$ の積として表すことができます。

  $$ \begin{split} A &= E_{m} \, A \, E_{n} \\ &= (P^{-1}P) \, A \, (QQ^{-1}) \\ &= P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1} \end{split} $$

• 再び、 定理 4.64（行列の積の階数）より、次の不等式が成り立ちます。

  $$ \begin{split} \text{rank} \, A &\overset{(\text{i})}{=} \text{rank} \, P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1} \\ &\overset{(\text{ii})}{\leqslant} \text{rank} \, P^{-1} \, (PAQ) \\ &\overset{(\text{iii})}{\leqslant} \text{rank} \, PAQ \end{split} $$
  • （$\text{i}$）$A$ を $3$ つの行列 $P^{-1}, \; (PAQ), \; Q^{-1}$ の積として表します。
  • （$\text{ii}$） 定理 4.64（行列の積の階数）より、$P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1}$ を $P^{-1} \, (PAQ)$ と $Q^{-1}$ の積とみれば、$P^{-1} \, (PAQ) \, Q^{-1}$ の階数は $P^{-1} \, (PAQ)$ の階数を超えません。
  • （$\text{iii}$）同様に、 定理 4.64（行列の積の階数）より、$P^{-1} \, (PAQ)$ の階数は $PAQ$ の階数を超えません。

• したがって、$\text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ$ が成り立ちます。

証明のまとめ#

• 以上から、（$1$）$\text{rank} \, PAQ \leqslant \text{rank} \, A$ かつ（$2$）$\text{rank} \, A \leqslant \text{rank} \, PAQ$ が成り立ちます。
• したがって、$2$ つの行列 $PAQ$ と $A$ の階数は等しく、$\text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A$ が成り立つといえます。

まとめ#

• $A$ を $(m, n)$ 型行列、$P, Q$ をそれぞれ $m$ 次、$n$ 次の正則行列とすると、行列の積 $PAQ$ の階数は $A$ の階数に等しい。
  $$ \begin{align*} \text{rank} \, PAQ = \text{rank} \, A \end{align*} $$

参考文献

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