線型写像の性質（行列の階数）

ある線型写像が単射あるいは全射であるために、その表現行列が満たすべき条件を示します。

これらの定理は、線型写像の基本的な性質を、その表現行列の観点から言い換えたものです。

階数の基本的性質#

定理 4.66（線型写像と階数）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とすると、$f$ の表現行列を $A$ について次が成り立つ。

（$1$）$f$ が単射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim V$
（$2$）$f$ が全射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim W$

解説#

定理の主張#

定理 4.66は、線型写像 $f$ が単射または全射であるために、その表現行列の階数が満たすべき条件を示しています。

すなわち、$f$ が単射であるためには $f$ の表現行列の階数が $\dim V$ に等しいことが必要にして十分であり、また、$f$ が全射であるためには $f$ の表現行列の階数が $\dim W$ に等しいことが必要にして十分であるといえます。

線型写像の性質の言い換え#

定理 4.66は、線型写像の基本的な性質に関する定理を、その表現行列（とくに表現行列の階数）の観点から言い換えたものといえます。

すなわち、既に示した次の諸定理を再整理したものともいえます。

• 定理 4.12（線型写像と単射）
  • 線型写像が単射であるための必要十分条件。
• 定理 4.35（部分空間の次元）
  • $2$ つの部分空間が同型であるための必要十分条件。
  • $2$ つの部分空間が同型であるということは、その間に同型写像（線型写像かつ全単射）が存在するということに他ならない。
• 定理 4.37（線型写像の基本定理）
  • 線型写像の像と核の次元について成り立つ基本的な性質。

このことは、以下の証明からも明らかです。

証明#

（$1$）$f : V \to W$ は線型写像であるから、定理 4.37（線型写像の基本定理）より $\dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f$ が成り立つ。また、定理 4.12（線型写像と単射）より、$f$ が単射であることと $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることは同値であるから、$f$ が単射であることと $\dim \text{Ker} f = 0$ であることも同値である。したがって、$f$ が単射であれば $\dim V = \dim \text{Im} f$ であり、逆に $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立つとき $\dim \text{Ker} f = 0$ であり $f$ は単射となる。また、定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ である。したがって、$f$ が単射であるためには $\text{rank} \, A = \dim V$ であることが必要にして十分である。

（$2$）$f$ が全射であるとき $\text{Im} f = W$ であるので、定理 4.35（部分空間の次元）より $\dim \text{Im} f = \dim W$ が成り立つ。逆に、$\dim \text{Im} f = \dim W$ であるとき、同様に定理 4.35より $\text{Im} f = W$ が成り立ち、$f$ は全射となる。したがって、$f$ が全射であるためには $\text{rank} \, A = \dim W$ であることが必要にして十分である。$\quad \square$

証明の考え方#

線型写像の性質に関する諸定理を、階数の定義に引き付けて表し直します。

（$1$）の証明#

前提事項の整理#

• $f : V \to W$ は線型写像であるので、定理 4.37（線型写像の基本定理）より次が成り立ちます。
  $$ \dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f $$

$f$ が単射 $\Leftrightarrow$ $\dim \text{Ker} f = 0$#

• 定理 4.12（線型写像と単射）より、$f$ が単射であることと $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることは同値です。

  $$ f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \} $$

• また、定理 4.35（部分空間の次元）より、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であること $\dim \text{Ker} f = 0$ であることは同値です。すなわち、$f$ が単射であることと $\dim \text{Ker} f = 0$ は同値といえます。

  $$ \begin{split} f : \text{injection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \} \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Ker} f = 0 \end{split} $$

$f$ が単射 $\Leftrightarrow$ $\dim \text{Im} f = \dim V$#

• 上述の通り、$f$ が線型写像であることから、定理 4.37（線型写像の基本定理）より $\dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f$ が次が成り立ちます。
• したがって、$f$ が単射であれば $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立ち、逆に $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立つとき $\dim \text{Ker} f = 0$ となり$f$ は単射となります。
• すなわち、$f$ が単射であることと、$\dim \text{Im} f = \dim V$ であることが同値であるといえます。

$f$ が単射 $\Leftrightarrow$ $\text{rank} A = \dim V$#

• 階数の定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ です。
• したがって、これまでの考察から、$f$ が単射であることと $\text{rank} \, A = \dim V$ が同値であるといえます。
  $$ f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim V $$

（$2$）の証明#

前提事項の整理#

• $f$ が全射であることと $\text{Im} f = W$ が成り立つことは同値です。

  $$ f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{Im} f = W $$

• このことは自明であり証明において省略していますが、詳しくは、次のように確かめることができます。

  • まず、$f : V \to W$ が写像であるので、$f$ による $V$ の像はすべて $W$ に入ります。つまり、$\text{Im} f$ は $W$ の部分集合となります。

    $$ \text{Im} f \subset W $$

  • 次に、$f$ が全射であるならば、すべての $\bm{w} \in W$ に対して $f (\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在します。つまり、任意の $W$ の元について $\bm{w} \in W$ ならば $\bm{w} \in f(V)$ が成り立つので、$W$ は $\text{Im} f$ の部分集合となります。

    $$ W \subset \text{Im} f $$

  • よって、$f$ が全射ならば、$\text{Im} f \subset W$ かつ $W \subset \text{Im} f$、すなわち $\text{Im} f = W$ が成り立つことが確かめられました。

  • 同様にして、逆に「 $\text{Im} f = W$ ならば $f$ は全射」が成り立つことも確かめられます。

$f$ が全射 $\Leftrightarrow$ $\dim \text{Im} f = \dim W$#

• 定理 4.35（部分空間の次元）より、$\text{Im} f = W$ であることと $\dim \text{Im} f = \dim W$ であることは同値であり、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} f : \text{surjection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Im} f = W \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Im} f = \dim W \end{split} $$
  • 定理 4.35（部分空間の次元）は部分空間について成り立つ定理です。
  • 上の考察で $\text{Im} f$ と $W$ が集合として等しいことを導きましたが、いうまでもなく、$f$ の像は $W$ の部分空間でもある（定理 4.11（線型写像の像と核））ので、$\text{Im} f = W$ に対して定理 4.35（部分空間の次元）を適用することができるというわけです。

• したがって、$f$ が全射であれば $\dim \text{Im} f = \dim W$ であり、逆に $\dim \text{Im} f = \dim W$ が成り立つとき $\text{Im} f = W$ となり $f$ は全射となります。

$f$ が全射 $\Leftrightarrow$ $\text{rank} A = \dim W$#

• 階数の定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ です。
• したがって、これまでの考察から、$f$ が全射であることと $\text{rank} \, A = \dim W$ が同値であるといえます。
  $$ f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim W $$

まとめ#

• $f : V \to W$ を線型写像とすると、$f$ の表現行列を $A$ について次が成り立つ。
  • $f$ が単射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim V$
  • $f$ が全射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim W$

参考文献#