線型写像の性質と表現行列の階数

ある線型写像が単射あるいは全射であるために、その表現行列が満たすべき条件を示します。

これらの定理は、線型写像の性質に関して既に示した定理を、行列の階数の観点から言い換えたものといえます。

階数の基本的性質#

定理 4.66（線型写像と階数）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とすると、$f$ の表現行列を $A$ について次が成り立つ。
（$1$）$f$ が単射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim V$
（$2$）$f$ が全射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim W$

定理 4.66は、線型写像 $f$ が単射または全射であるために、その表現行列の階数が満たすべき条件を示しています。すなわち、$f$ が単射であるためには $f$ の表現行列の階数が $\dim V$ に等しいことが必要にして十分であり、また、$f$ が全射であるためには $f$ の表現行列の階数が $\dim W$ に等しいことが必要にして十分であるといえます。

下の証明にみるように、定理 4.66の主張は、線型写像の性質に関して既に示した諸定理を、行列の階数の観点から言い換えたものといえます。

証明#

（$1$）$f : V \to W$ は線型写像であるから、定理 4.37より $\dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f$ が成り立つ。また、定理 4.12より $f$ が単射であることと $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることは同値であるから、$f$ が単射であることと $\dim \text{Ker} f = 0$ であることも同値である。したがって、$f$ が単射であれば $\dim V = \dim \text{Im} f$ であり、逆に $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立つとき $\dim \text{Ker} f = 0$ であり $f$ は単射となる。

（$2$）$f$ が全射であるとき $\text{Im} f = W$ であるので、定理 4.35より $\dim \text{Im} f = \dim W$ が成り立つ。逆に、$\dim \text{Im} f = \dim W$ であるとき、同様に定理 4.35より $\text{Im} f = W$ が成り立つので $f$ は全射となる。$\quad \square$

証明の骨子#

線型写像の性質に関する諸定理を用います。

• （$1$）「$f$ が単射」であることと「$\text{rank} \, A = \dim V$」が同値であることを示します。

  • $f : V \to W$ は線型写像であるから、定理 4.37（線型写像の基本定理）より次が成り立ちます。

    $$ \dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f $$
    
    

  • 定理 4.12（線型写像と単射）より、$f$ が単射であることと $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることは同値です。

    $$ f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \} $$
    
    

  • また、定理 4.35（部分空間の次元）より、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であること $\dim \text{Ker} f = 0$ であることは同値であるので、次が成り立ちます。すなわち、$f$ が単射であることと $\dim \text{Ker} f = 0$ であることは同値であるといえます。

    $$ \begin{split} f : \text{injection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \} \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Ker} f = 0 \end{split} $$
    
    

  • したがって、$f$ が単射であれば $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立ち、逆に $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立つとき $\dim \text{Ker} f = 0$ となり$f$ は単射となります。階数の定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ であるので、以上から「$f$ が単射」であることと「$\text{rank} \, A = \dim V$」が同値であることが示されました。

    $$ f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim V $$
    
    

• （$2$）「$f$ が全射」であることと「$\text{rank} \, A = \dim W$」が同値であることを示します。

  • $f$ が全射であることと $\text{Im} f = W$ が成り立つことは同値です。

    $$ f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{Im} f = W $$
    
    

    • このことは自明であるといえますので、上の証明では省略しています。詳しくは、次のように確かめることができます。

    • まず、$f$ は写像であるので、$f$ による $V$ の像はすべて $W$ に入ります。つまり、$\text{Im} f$ は $W$ の部分集合となります。

      $$ \text{Im} f \subset W $$
      
      

    • 次に、定理の仮定より $f$ は全射であるので、すべての $\bm{w} \in W$ に対して $f (\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在します。つまり、任意の $W$ の元について $\bm{w} \in W$ ならば $\bm{w} \in f(V)$ が成り立つので、$W$ は $\text{Im} f$ の部分集合となります。

      $$ W \subset \text{Im} f $$
      
      

    • 以上から、$\text{Im} f \subset W$ かつ $W \subset \text{Im} f$ であり、$\text{Im} f = W$ が成り立つことが確かめられました。

  • 定理 4.35（部分空間の次元）より、$\text{Im} f = W$ であることと $\dim \text{Im} f = \dim W$ であることは同値であり、次が成り立ちます。

    $$ \begin{split} f : \text{surjection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Im} f = W \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Im} f = \dim W \end{split} $$
    
    
    • 定理 4.35（部分空間の次元）は部分空間について成り立つ定理です。
    • 上の考察で $\text{Im} f$ と $W$ が集合として等しいことを導きましたが、いうまでもなく、$f$ の像は $W$ の部分空間でもある（定理 4.11（線型写像の像と核））ので、$\text{Im} f = W$ に対して定理 4.35（部分空間の次元）を適用することができるというわけです。

  • したがって、$f$ が全射であれば $\dim \text{Im} f = \dim W$ であり、逆に $\dim \text{Im} f = \dim W$ が成り立つとき $\text{Im} f = W$ となり $f$ は全射となります。階数の定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ であるので、以上から「$f$ が全射」であることと「$\text{rank} \, A = \dim W$」が同値であることが示されました。

    $$ f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim W $$
    
    

まとめ#

• $V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とすると、$f$ の表現行列を $A$ について次が成り立つ。
  （$1$）$f$ が単射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim V$
  （$2$）$f$ が全射であるための必要十分条件は $\text{rank} \, A = \dim W$
  

参考文献#