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線型写像の性質（行列の階数）

ある線型写像が単射あるいは全射であるために、その表現行列が満たすべき条件を示します。

これらの定理は、線型写像の基本的な性質を、その表現行列の観点から言い換えたものです。

階数の基本的性質

定理 4.66（線型写像と階数）

V,WV, W をベクトル空間、f:V→Wf : V \to W を線型写像とすると、ff の表現行列を AA について次が成り立つ。

（11）ff が単射であるための必要十分条件は rank A=dim⁡V\text{rank} \, A = \dim V
（22）ff が全射であるための必要十分条件は rank A=dim⁡W\text{rank} \, A = \dim W


解説

定理の主張

定理 4.66は、線型写像 ff が単射または全射であるために、その表現行列の階数が満たすべき条件を示しています。

すなわち、ff が単射であるためには ff の表現行列の階数が dim⁡V\dim V に等しいことが必要にして十分であり、また、ff が全射であるためには ff の表現行列の階数が dim⁡W\dim W に等しいことが必要にして十分であるといえます。

線型写像の性質の言い換え

定理 4.66は、線型写像の基本的な性質に関する定理を、その表現行列（とくに表現行列の階数）の観点から言い換えたものといえます。

すなわち、既に示した次の諸定理を再整理したものともいえます。

このことは、以下の証明からも明らかです。


証明

（11）f:V→Wf : V \to W は線型写像であるから、定理 4.37（線型写像の基本定理）より dim⁡V=dim⁡Kerf+dim⁡Imf\dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f が成り立つ。また、定理 4.12（線型写像と単射）より、ff が単射であることと Kerf={0}\text{Ker} f = \{ \bm{0} \} であることは同値であるから、ff が単射であることと dim⁡Kerf=0\dim \text{Ker} f = 0 であることも同値である。したがって、ff が単射であれば dim⁡V=dim⁡Imf\dim V = \dim \text{Im} f であり、逆に dim⁡V=dim⁡Imf\dim V = \dim \text{Im} f が成り立つとき dim⁡Kerf=0\dim \text{Ker} f = 0 であり ff は単射となる。また、定義より rankA=dim⁡Imf\text{rank} A = \dim \text{Im} f である。したがって、ff が単射であるためには rank A=dim⁡V\text{rank} \, A = \dim V であることが必要にして十分である。

（22）ff が全射であるとき Imf=W\text{Im} f = W であるので、定理 4.35（部分空間の次元）より dim⁡Imf=dim⁡W\dim \text{Im} f = \dim W が成り立つ。逆に、dim⁡Imf=dim⁡W\dim \text{Im} f = \dim W であるとき、同様に定理 4.35より Imf=W\text{Im} f = W が成り立ち、ff は全射となる。したがって、ff が全射であるためには rank A=dim⁡W\text{rank} \, A = \dim W であることが必要にして十分である。□\quad \square


証明の考え方

線型写像の性質に関する諸定理を、階数の定義に引き付けて表し直します。

（11）の証明

前提事項の整理
  • f:V→Wf : V \to W は線型写像であるので、定理 4.37（線型写像の基本定理）より次が成り立ちます。
    dim⁡V=dim⁡Kerf+dim⁡Imf \dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f
ff が単射 ⇔\Leftrightarrow dim⁡Kerf=0\dim \text{Ker} f = 0

  • 定理 4.12（線型写像と単射）より、ff が単射であることと Kerf={0}\text{Ker} f = \{ \bm{0} \} であることは同値です。

    f:injection  ⇔  Kerf={0} f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \}

  • また、定理 4.35（部分空間の次元）より、Kerf={0}\text{Ker} f = \{ \bm{0} \} であること dim⁡Kerf=0\dim \text{Ker} f = 0 であることは同値です。すなわち、ff が単射であることと dim⁡Kerf=0\dim \text{Ker} f = 0 は同値といえます。

    f:injection  ⇔  Kerf={0}⇔  dim⁡Kerf=0 \begin{split} f : \text{injection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \} \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Ker} f = 0 \end{split}

ff が単射 ⇔\Leftrightarrow dim⁡Imf=dim⁡V\dim \text{Im} f = \dim V
  • 上述の通り、ff が線型写像であることから、定理 4.37（線型写像の基本定理）より dim⁡V=dim⁡Kerf+dim⁡Imf\dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f が次が成り立ちます。
  • したがって、ff が単射であれば dim⁡V=dim⁡Imf\dim V = \dim \text{Im} f が成り立ち、逆に dim⁡V=dim⁡Imf\dim V = \dim \text{Im} f が成り立つとき dim⁡Kerf=0\dim \text{Ker} f = 0 となりff は単射となります。
  • すなわち、ff が単射であることと、dim⁡Imf=dim⁡V\dim \text{Im} f = \dim V であることが同値であるといえます。
ff が単射 ⇔\Leftrightarrow rankA=dim⁡V\text{rank} A = \dim V
  • 階数の定義より rankA=dim⁡Imf\text{rank} A = \dim \text{Im} f です。
  • したがって、これまでの考察から、ff が単射であることと rank A=dim⁡V\text{rank} \, A = \dim V が同値であるといえます。
    f:injection  ⇔  rank A=dim⁡V f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim V

（22）の証明

前提事項の整理

  • ff が全射であることと Imf=W\text{Im} f = W が成り立つことは同値です。

    f:surjection  ⇔  Imf=W f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{Im} f = W

  • このことは自明であり証明において省略していますが、詳しくは、次のように確かめることができます。

    • まず、f:V→Wf : V \to W が写像であるので、ff による VV の像はすべて WW に入ります。つまり、Imf\text{Im} f は WW の部分集合となります。

      Imf⊂W \text{Im} f \subset W

    • 次に、ff が全射であるならば、すべての w∈W\bm{w} \in W に対して f(v)=wf (\bm{v}) = \bm{w} となるような v∈V\bm{v} \in V が存在します。つまり、任意の WW の元について w∈W\bm{w} \in W ならば w∈f(V)\bm{w} \in f(V) が成り立つので、WW は Imf\text{Im} f の部分集合となります。

      W⊂Imf W \subset \text{Im} f

    • よって、ff が全射ならば、Imf⊂W\text{Im} f \subset W かつ W⊂ImfW \subset \text{Im} f、すなわち Imf=W\text{Im} f = W が成り立つことが確かめられました。

    • 同様にして、逆に「 Imf=W\text{Im} f = W ならば ff は全射」が成り立つことも確かめられます。

ff が全射 ⇔\Leftrightarrow dim⁡Imf=dim⁡W\dim \text{Im} f = \dim W

  • 定理 4.35（部分空間の次元）より、Imf=W\text{Im} f = W であることと dim⁡Imf=dim⁡W\dim \text{Im} f = \dim W であることは同値であり、次が成り立ちます。

    f:surjection  ⇔  Imf=W⇔  dim⁡Imf=dim⁡W \begin{split} f : \text{surjection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Im} f = W \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Im} f = \dim W \end{split}

  • したがって、ff が全射であれば dim⁡Imf=dim⁡W\dim \text{Im} f = \dim W であり、逆に dim⁡Imf=dim⁡W\dim \text{Im} f = \dim W が成り立つとき Imf=W\text{Im} f = W となり ff は全射となります。

ff が全射 ⇔\Leftrightarrow rankA=dim⁡W\text{rank} A = \dim W
  • 階数の定義より rankA=dim⁡Imf\text{rank} A = \dim \text{Im} f です。
  • したがって、これまでの考察から、ff が全射であることと rank A=dim⁡W\text{rank} \, A = \dim W が同値であるといえます。
    f:surjection  ⇔  rank A=dim⁡W f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim W

まとめ

  • f:V→Wf : V \to W を線型写像とすると、ff の表現行列を AA について次が成り立つ。
    • ff が単射であるための必要十分条件は rank A=dim⁡V\text{rank} \, A = \dim V
    • ff が全射であるための必要十分条件は rank A=dim⁡W\text{rank} \, A = \dim W

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[6] 雪江明彦. 代数学 11 群論入門. 日本評論社. 2010.
[7] 雪江明彦. 代数学 22 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[8] 桂利行. 代数学 I\text{I} 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[11] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2005.
[12] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[13] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.

初版：2023-06-07   |   改訂：2024-10-20
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