線形写像と表現行列の階数

線型写像が単射あるいは全射であるために、表現行列が満たすべき条件を示します。

これは、線型写像の基本的な性質を表現行列の階数の観点から言い換えたものです。

線形写像とその表現行列の階数#

定理 4.66（線型写像と階数）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とすると、$f$ の表現行列 $A$ について、次が成り立つ。

解説#

線形写像が単射・全射であるための条件（行列の階数）#

定理 4.66（線型写像と階数）は、線型写像 $f$ が単射または全射であるために表現行列が満たすべき条件を、行列の階数の観点から示すものです。

すなわち、$f$ が単射であるためには、表現行列 $A$ の階数が定義域の次元（$\dim V$）に等しいことが必要にして十分です。また、$f$ が全射であるためには、表現行列 $A$ の階数が値域の次元（$\dim W$）に等しいことが必要にして十分です。

線型写像の性質の言い換え#

定理 4.66（線型写像と階数）は、線型写像の基本的な性質に関する定理を、その表現行列（特に、表現行列の階数）の観点から言い換えたものといえます。

すなわち、 定理 4.66は、既に示した次の諸定理を 階数の定義と合わせて再整理したものです。このことは、下記の 証明からも明らかです。

関連する定理#

• 定理 4.12（線型写像と単射）
  • 線型写像が単射であるための必要十分条件。
• 定理 4.35（部分空間の次元）
  • $2$ つの部分空間が同型であるための必要十分条件。
  • $2$ つの部分空間が同型であるということは、その間に 同型写像（線型写像かつ全単射）が存在するということに他ならない。
• 定理 4.37（線型写像の基本定理）
  • 線型写像の 像と核の次元について成り立つ基本的な性質。

証明#

（$1$）$f : V \to W$ は線型写像であるから、 定理 4.37（線型写像の基本定理）より $\dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f$ が成り立つ。また、 定理 4.12（線型写像と単射）より、$f$ が単射であることと $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることは同値であるから、$f$ が単射であることと $\dim \text{Ker} f = 0$ であることも同値である。したがって、$f$ が単射であれば $\dim V = \dim \text{Im} f$ であり、逆に $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立つとき $\dim \text{Ker} f = 0$ であり $f$ は単射となる。また、 定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ である。したがって、$f$ が単射であるためには $\text{rank} \, A = \dim V$ であることが必要にして十分である。

（$2$）$f$ が全射であるとき $\text{Im} f = W$ であるので、 定理 4.35（部分空間の次元）より $\dim \text{Im} f = \dim W$ が成り立つ。逆に、$\dim \text{Im} f = \dim W$ であるとき、同様に 定理 4.35より $\text{Im} f = W$ が成り立ち、$f$ は全射となる。したがって、$f$ が全射であるためには $\text{rank} \, A = \dim W$ であることが必要にして十分である。$\quad \square$

証明の考え方#

線型写像の性質に関する諸定理を、 階数の定義に引き付けて表し直します。

（$1$）の証明#

• 「$f$ が単射」であるための必要十分条件を同値変形していき、 階数の定義が適用できる形を目指します。

前提事項の整理#

• $f : V \to W$ は線型写像であるので、 定理 4.37（線型写像の基本定理）より次が成り立ちます。
  $$ \dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f $$

$f$ が単射 $\Leftrightarrow$ $\dim \text{Ker} f = 0$#

• 定理 4.12（線型写像と単射）より、$f$ が単射であることと $\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であることは同値です。

  $$ f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \} $$

• また、 定理 4.35（部分空間の次元）より、$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であること $\dim \text{Ker} f = 0$ であることは同値です。すなわち、$f$ が単射であることと $\dim \text{Ker} f = 0$ は同値といえます。

  $$ \begin{split} f : \text{injection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Ker} f = \{ \bm{0} \} \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Ker} f = 0 \end{split} $$

$f$ が単射 $\Leftrightarrow$ $\dim \text{Im} f = \dim V$#

• 上述の通り、$f$ が線型写像であることから、 定理 4.37（線型写像の基本定理）より $\dim V = \dim \text{Ker} f + \dim \text{Im} f$ が次が成り立ちます。
• したがって、$f$ が単射であれば $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立ち、逆に $\dim V = \dim \text{Im} f$ が成り立つとき $\dim \text{Ker} f = 0$ となり$f$ は単射となります。
• すなわち、$f$ が単射であることと、$\dim \text{Im} f = \dim V$ であることが同値であるといえます。

$f$ が単射 $\Leftrightarrow$ $\text{rank} A = \dim V$#

• 階数の定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ です。
• したがって、これまでの考察から、$f$ が単射であることと $\text{rank} \, A = \dim V$ が同値であるといえます。
  $$ f : \text{injection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim V $$

（$2$）の証明#

• 「$f$ が全射」であることと「$\text{rank} \, A = \dim W$」が同値であることを示します。

前提事項の整理#

• $f$ が全射であることと $\text{Im} f = W$ が成り立つことは同値です。

  $$ f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{Im} f = W $$

• このことは自明であり 証明において省略していますが、詳しくは、次のように確かめることができます。

  • まず、$f : V \to W$ が写像であるので、$f$ による $V$ の像はすべて $W$ に入ります。つまり、$\text{Im} f$ は $W$ の部分集合となります。

    $$ \text{Im} f \subset W $$

  • 次に、$f$ が全射であるならば、すべての $\bm{w} \in W$ に対して $f (\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在します。つまり、任意の $W$ の元について $\bm{w} \in W$ ならば $\bm{w} \in f(V)$ が成り立つので、$W$ は $\text{Im} f$ の部分集合となります。

    $$ W \subset \text{Im} f $$

  • よって、$f$ が全射ならば、$\text{Im} f \subset W$ かつ $W \subset \text{Im} f$、すなわち $\text{Im} f = W$ が成り立つことが確かめられました。

  • 同様にして、逆に「 $\text{Im} f = W$ ならば $f$ は全射」が成り立つことも確かめられます。

$f$ が全射 $\Leftrightarrow$ $\dim \text{Im} f = \dim W$#

• 定理 4.35（部分空間の次元）より、$\text{Im} f = W$ であることと $\dim \text{Im} f = \dim W$ であることは同値であり、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} f : \text{surjection} \; &\Leftrightarrow \; \text{Im} f = W \\ &\Leftrightarrow \; \dim \text{Im} f = \dim W \end{split} $$
  • 定理 4.35（部分空間の次元）は部分空間について成り立つ定理です。
  • 上の考察で $\text{Im} f$ と $W$ が集合として等しいことを導きましたが、いうまでもなく、$f$ の像は $W$ の部分空間でもある（ 定理 4.11（線型写像の像と核））ので、$\text{Im} f = W$ に対して 定理 4.35（部分空間の次元）を適用することができるというわけです。

• したがって、$f$ が全射であれば $\dim \text{Im} f = \dim W$ であり、逆に $\dim \text{Im} f = \dim W$ が成り立つとき $\text{Im} f = W$ となり $f$ は全射となります。

$f$ が全射 $\Leftrightarrow$ $\text{rank} A = \dim W$#

• 階数の定義より $\text{rank} A = \dim \text{Im} f$ です。
• したがって、これまでの考察から、$f$ が全射であることと $\text{rank} \, A = \dim W$ が同値であるといえます。
  $$ f : \text{surjection} \; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = \dim W $$

まとめ#

• $f : V \to W$ を線型写像とすると、$f$ の表現行列 $A$ について、次が成り立つ。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.