解を持つための条件

斉次連立一次方程式の解空間の次元が係数行列の階数により定まることを示します。この定理は、斉次連立一次方程式の任意の解（一般解）が解空間の基底（基本解）の線型結合で表せることを意味するものであり、一般の連立一次方程式の解法にも応用できる重要な定理です。

斉次連立一次方程式が自明な解のみを持つための条件と自明でない解を持つための条件を、行列の階数の観点から示します。次元より先に階数を定義する場合、これらは、階数の性質から次元の一意性を導く重要な命題となります。

係数拡大行列の定義と連立一次方程式が解をもつための条件について解説します。係数行列と係数拡大行列の階数が等しいことが、連立一次方程式が解を持つための必要十分条件であることを証明します。連立一次方程式の解の有無の判定方法について整理します。

連立一次方程式の解は、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式の解を用いて表せます。連立一次方程式の特殊解と一般解の関係性について整理するとともに、一般の連立一次方程式の解の集合が必ずしもベクトル空間（解空間）にならないことを確かめます。

連立一次方程式の一般解の形を示します。すなわち、連立一次方程式の解は、特殊解と、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式の基本解の線型結合の和で表せます。

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