連立一次方程式の解（1）

これまで、斉次連立一次方程式の解がどのように表せるか考えてきました。次に、一般の連立一次方程式について（解を持つ場合）解がどのような形であるか考えます。

ここでは、まず、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の集合と、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合との関係について示します。

連立一次方程式の解#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）#

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとき、その $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ とすると、任意の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により与えられる。ただし、$\bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解である。

解説#

定理 5.5の主張と前提事項#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）は、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つ場合、その解が、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解を用いて表せることを意味しています。

また、定理 5.5は $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つことを前提としていますので、当然ながら、このとき $A$ と $\bm{b}$ について次が成り立ちます（定理 5.1（連立一次方程式が解を持つための条件））。

一般解と特殊解#

$A \bm{x} = \bm{b}$ の任意の解 $\bm{x}$ を一般解（$\text{general solution}$）、ある $1$ つの解 $\bm{x}_{0}$ を特殊解（$\text{special solution}$） と呼びます。この用語により、定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）は「 $A \bm{x} = \bm{b}$ の一般解は、その特殊解と、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式の解 $\bm{y}$ との和である」と表現することができます。

定理 5.5の意義#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）は、連立一次方程式の実用的な解法を与えるものというよりも、一般の連立一次方程式の解と（同じ係数行列を持つ）斉次連立一次方程式の解の関係を示す、論理的に重要な定理です。

実際に、一般の連立方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ を解く際に、何らかの方法によって特殊解 $\bm{x}_{0}$ を得て、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解 $\bm{y}$ を求めた上で、一般解を $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ として得るという解法が有効な場合はほぼありません。

具体的に与えられた連立一次方程式（斉次連立一次方程式の場合も含みます）に対しては、後に導入する基本変形を用いた解法が実用的です。

• 斉次連立一次方程式の解法
• 一般の連立一次方程式の解法（1）
• 一般の連立一次方程式の解法（2）

連立方程式の解と斉次連立方程式の解の関係#

証明に先立って、（定理 5.5を用いて）連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の集合 $W_{1}$ と、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合 $W_{2}$ がどのような関係にあるかについて考えます。

解の集合#

いま、$A$ が $(m, n)$ 型行列であるとする（$A \bm{x} = \bm{b}$ と $A \bm{x} = \bm{0}$ が、$n$ 個の変数についての $m$ 個の式からなる連立一次方程式であると仮定することに等しい）と、$W_{1}, \, W_{2}$ はそれぞれ次のように表すことができます。

また、 $A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とすれば、定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）により、$W_{2}$ は $K^{n}$ の部分空間であり、$W_{2} = \text{Ker} f_{A}$ と表すことができます。つまり、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合 $W_{2}$ はベクトル空間（解空間）となります。

解の集合の間の関係#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）より、$A \bm{x} = \bm{b}$ の一般解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と表せることから、$W_{1}$ と $W_{2}$ の間には次の関係式が成り立ちます。（最終行の表記は、部分空間により定められる集合の定義によります。）

以上から、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の集合 $W_{1}$ は、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合 $W_{2}$ を $\bm{x}_{0}$ だけ平行移動したものであると捉えることができます。

注意点（$W_{1}$ は必ずしもベクトル空間ではない）#

ここで注意すべき点は、$W_{1}$ は、和とスカラー倍の演算について閉じておらず、ベクトル空間にならないことです。つまり $W_{1}$ は $K^{n}$ の部分集合ではあるものの $K^{n}$ の部分空間ではないということです。

このことは、例えば次のように確かめることができます。すなわち、零ベクトル $\bm{0} \in K^{n}$ が $W_{1}$ の元でないことにより、任意の $\bm{x} \in W_{1}$ に対して、その $0$ 倍は $W_{1}$ の元でなくなってしまいます。（ここで、$\bm{x}_{0} \neq \bm{0}$ としています。）

よって、一般の連立一次方程式の解の集合は、必ずしもベクトル空間（解空間）になるわけではないということができます。

用語（連立方程式と斉次連立方程式の関係）#

連立一次方程式（$1$）$A \bm{x} = \bm{b}$ に対して、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式（$2$）$A \bm{x} = \bm{0}$ のことを表す用語はいくつかありますが、統一的な用語はなく、教科書によりそれぞれ異なります。

[1] では、（$2$）を（$1$）に「対応する」斉次連立一次方程式と表現しています。[3] では、（$1$）に「同伴する」斉次連立一次方程式、[4] では、（$1$）に「随伴する」斉次連立一次方程式などと表現されています。[2] では、特定の用語は用いられていません。

また、[6] では、単に $\text{homogeneous system “associated” with (1)}$ のように表現されています。（$\text{homogeneous system}$ は斉次連立一次方程式のことです。）

証明#

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとして、その $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ とする。$A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解を $\bm{y}$ として、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置くと、次が成り立つ。

したがって、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ の解である。逆に、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるとすると、$\bm{y}$ について次が成り立つ。

したがって、任意の $A \bm{x} = \bm{b}$ の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により表せる $\quad \square$

証明の考え方#

$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ として、（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であることと（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であることの同値性を示します。

前提事項の整理#

• 連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとして、$A \bm{x} = \bm{b}$ の $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ と置きます。すなわち、次が成り立つとします。

  $$A \bm{x}_{0} = \bm{b}$$

• $A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解を $\bm{y}$ とします。すなわち、次が成り立つとします。

  $$A \bm{y} = \bm{0}$$

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置くと、$\bm{x}$ について次が成り立ちます。すなわち、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるといえます。

  $$\begin{split} A \bm{x} &= A \, (\bm{x}_{0} + \bm{y}) \\ &= A \bm{x}_{0} + A \bm{y} \\ &= \bm{b} + \bm{0} \\ &= \bm{b} \\ \end{split}$$

• したがって、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置いたとき、（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であるならば（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であることが示されました。

  • これは、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の $1$ つの形であることを示していますが、これ以外にも $A \bm{x} = \bm{b}$ を満たす解の形があることを否定できません。
  • しかしながら、いま示したいことは $A \bm{x} = \bm{b}$ の任意の解が $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ で表せることです。
  • よって、逆に（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるならば（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であることを示し、$A \bm{x}_{0} = \bm{b}$ の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ という形のみであることを示す必要があります。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるとすると、$\bm{y}$ について次が成り立ちます。

  $$\begin{split} A \bm{y} &= A \, (\bm{x} - \bm{x}_{0}) \\ &= A \bm{x} - A \bm{x}_{0} \\ &= \bm{b} - \bm{b} \\ &= \bm{0} \\ \end{split}$$

• したがって、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置いたとき、（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるならば（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であることが示されました。

• 以上から、$A \bm{x} = \bm{b}$ の任意の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ の形で表せるといえ、題意が示されました。

まとめ#

• 連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとき、その $1$ つの解（特殊解）を $\bm{x}_{0}$ とすると、任意の解（一般解）は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により与えられる。
  • ここで、$\bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解。
• 一般の連立一次方程式の解の集合は、必ずしもベクトル空間（解空間）にならない

参考文献#

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.