連立一次方程式の解（1）

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つ場合、その解は、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解を用いて表せます。

ここでは、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の集合と、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合の関係について明らかにします。

連立一次方程式の解#

前項までは、斉次連立一次方程式の解について考えてきました。ここからは、一般の連立一次方程式の解について考えます。

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）#

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとき、その $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ とすると、任意の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により与えられる。ただし、$\bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解である。

解説#

一般の連立方程式の解の形#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）は、一般の連立方程式の解の形がどのように表せるかを示すものです。

すなわち、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つ場合、その解は、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解を用いて表すことができます。

前提事項：$A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つこと#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）は $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つことを前提としています。

したがって、このとき $A$ と $\bm{b}$ について次が成り立ちます（ 定理 5.1（連立一次方程式が解を持つための条件））。

一般解と特殊解#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）より、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の任意の解 $\bm{x}$ は、次のように表せます。

ここで、$A \bm{x} = \bm{b}$ の任意の解 $\bm{x}$ を一般解（$\text{general solution}$）、ある $1$ つの解 $\bm{x}_{0}$ を特殊解（$\text{special solution}$） といいます。

この用語により、 定理 5.5の主張は「 $A \bm{x} = \bm{b}$ の一般解は、特殊解と、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式の解 $\bm{y}$ との和である」と言い換えることができます。

連立方程式の解と斉次連立方程式の解の関係#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）は、一般の連立一次方程式の解と（同じ係数行列を持つ）斉次連立一次方程式の解の関係を示す、論理的に重要な定理です。

証明に先立って、（ 定理 5.5を用いて）連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の集合 $W_{1}$ と、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合 $W_{2}$ が、どのような関係にあるか考えます。

解の集合#

いま、$A$ を $(m, n)$ 型行列とします。これは、$A \bm{x} = \bm{b}$ と $A \bm{x} = \bm{0}$ が、$n$ 個の変数についての $m$ 個の式からなる連立一次方程式であると仮定することに相当します。

このとき、それぞれの連立一次方程式の解の集合 $W_{1}, \, W_{2}$ は、次のように表すことができます。

また、$A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とすると、 定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より、$W_{2}$ は $K^{n}$ の部分空間であり、$W_{2} = \text{Ker} f_{A}$ と表すことができます。つまり、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合 $W_{2}$ はベクトル空間（解空間）となります。

解の集合の間の関係#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）より、$A \bm{x} = \bm{b}$ の一般解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と表せることから、$W_{1}$ と $W_{2}$ の間には次の関係式が成り立ちます。（最後の等号は、 部分空間により定められる集合の定義によります。）

このように考えると、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の集合 $W_{1}$ は、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合 $W_{2}$ を $\bm{x}_{0}$ だけ平行移動したものであると捉えることができます（ 商ベクトル空間の例などを参照）。

注意点（連立一次方程式の解の集合 $W_{1}$ は必ずしもベクトル空間ではない）#

ここで、連立一次方程式の解の集合 $W_{1}$ は、必ずしも和とスカラー倍の演算について閉じておらず、ベクトル空間になるとは限らないことに注意が必要です。つまり、$W_{1}$ は、$K^{n}$ の部分集合ではあるものの、$K^{n}$ の部分空間であるとは限らないということです。

このことは、例えば、次のように確かめることができます。

$\bm{b} \neq \bm{0}$ であるとすると、零ベクトル $\bm{0} \in K^{n}$ は $W_{1}$ には含まれません。このとき、任意の $\bm{x} \in W_{1}$ に対して、その $0$ 倍は $W_{1}$ の元ではありません。

よって、$W_{1}$ はスカラー倍の演算について閉じていません。したがって、一般の連立一次方程式の解の集合は、必ずしもベクトル空間（解空間）ではないということができます。

連立一次方程式の解法としては実用的ではない#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）の意義は、主に論理的な側面にあります。連立一次方程式の実用的な解法を与えるものではありません。

一般の連立方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ を解く際に、何らかの方法によって特殊解 $\bm{x}_{0}$ を得た上で（同じ係数行列を持つ）斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解 $\bm{y}$ を求め、一般解 $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ を得るという解法は、ほとんどの場合において使えません。

具体的に与えられた連立一次方程式（斉次連立一次方程式の場合も含む）を解く際は、後に導入する 基本変形を用いた解法の方がはるかに実用的です。

基本変形による連立方程式の解法#

• 斉次連立一次方程式の解法
• 一般の連立一次方程式の解法

用語（連立方程式と斉次連立方程式の関係）#

連立一次方程式（$1$）$A \bm{x} = \bm{b}$ に対して、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式（$2$）$A \bm{x} = \bm{0}$ を表す用語はいくつかあり、教科書によりそれぞれ異なります。

[1] では（$2$）$A \bm{x} = \bm{0}$ を（$1$）$A \bm{x} = \bm{b}$ に「対応する」斉次連立一次方程式と表現しています。また、 [3] では（$1$）に「同伴する」斉次連立一次方程式、 [4] では（$1$）に「随伴する」斉次連立一次方程式、などと表現されています。 [2] では、特定の用語は用いられていません。

[6] では、単に、$\text{homogeneous system “associated” with (1)}$ と表現されています。（$\text{homogeneous system}$ は斉次連立一次方程式のことです。）

証明#

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとして、その $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ とする。$A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解を $\bm{y}$ として、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置くと、次が成り立つ。

したがって、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ の解である。逆に、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるとすると、$\bm{y}$ について次が成り立つ。

したがって、任意の $A \bm{x} = \bm{b}$ の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により表せる $\quad \square$

証明の考え方#

$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ として、（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であることと（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であることの同値性を示します。

前提事項の整理#

• 連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとして、$A \bm{x} = \bm{b}$ の $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ と置きます。すなわち、次が成り立つとします。

  $$ A \bm{x}_{0} = \bm{b} $$

• $A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解を $\bm{y}$ とします。すなわち、次が成り立つとします。

  $$ A \bm{y} = \bm{0} $$

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置くと、$\bm{x}$ について次が成り立ちます。すなわち、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるといえます。

  $$ \begin{split} A \bm{x} &= A \, (\bm{x}_{0} + \bm{y}) \\ &= A \bm{x}_{0} + A \bm{y} \\ &= \bm{b} + \bm{0} \\ &= \bm{b} \\ \end{split} $$

• したがって、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置いたとき、（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であるならば（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であることが示されました。

  • これは、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解の $1$ つの形であることを示していますが、これ以外にも $A \bm{x} = \bm{b}$ を満たす解の形があることを否定できません。
  • しかしながら、いま示したいことは $A \bm{x} = \bm{b}$ の任意の解が $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ で表せることです。
  • よって、逆に（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるならば（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であることを示し、$A \bm{x}_{0} = \bm{b}$ の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ という形のみであることを示す必要があります。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるとすると、$\bm{y}$ について次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} A \bm{y} &= A \, (\bm{x} - \bm{x}_{0}) \\ &= A \bm{x} - A \bm{x}_{0} \\ &= \bm{b} - \bm{b} \\ &= \bm{0} \\ \end{split} $$

• したがって、$\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ と置いたとき、（$\text{ii}$）$\bm{x}$ が $A \bm{x} = \bm{b}$ の解であるならば（$\text{i}$）$\bm{y}$ が $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であることが示されました。

• 以上から、$A \bm{x} = \bm{b}$ の任意の解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ の形で表せるといえ、題意が示されました。

まとめ#

• 連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとき、その $1$ つの解（特殊解）を $\bm{x}_{0}$ とすると、任意の解（一般解）は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により与えられる。
  • ここで、$\bm{y}$ は $A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解。
• 一般の連立一次方程式の解の集合は、必ずしもベクトル空間（解空間）ではない。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.