基本的な性質（1）

三角行列の固有値全体は、その対角成分の全体に一致します。

このことは、表現行列が $n$ 次の三角行列となるような線型変換（または、$n$ 次の三角行列により定まる線型変換）が、重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことを示しています。

三角行列の固有値#

定理 6.4（三角行列の固有値）#

$A$ を $n$ 次の三角行列とすると、$A$ の固有値全体は $A$ の対角成分全体に等しい。

解説#

三角行列とは（定義の確認）#

まず、三角行列の定義を確認します。

すなわち、次のような、対角線より左下の成分がすべて $0$ であるような行列 $A_{u}$ を上三角行列（$\text{upper /}$ $\text{right}$ $\text{triangular matrix}$）、対角線より右上の成分がすべて $0$ であるような行列を $A_{l}$ 下三角行列（$\text{lower /}$ $\text{left}$ $\text{triangular matrix}$）といいます。

また、上三角行列と下三角行列をまとめて、三角行列（$\text{triangular}$ $\text{matrix}$）といいます。（三角行列の定義）

三角行列とその固有値（定理 6.4 の意味）#

定理 6.4（三角行列の固有値）は、三角行列の固有値が、その対角成分に一致することを示しています。つまり、上記のような三角行列 $A_{u},$ $A_{l}$ の固有値は、その対角成分 $a_{11}, a_{11}, \cdots, a_{nn}$ であるということです。

ここで、$a_{11}, a_{11}, \cdots, a_{nn}$ は重複を含む可能性があります。したがって、定理 6.4では、あくまで「三角行列の固有値全体は、その対角成分の全体に等しい」と表現されています。

三角行列により定まる線形写像の固有値（定理 6.4 の意義）#

定理 6.1（線型写像とその表現行列の固有値）に示した通り、線型変換とその表現行列の固有値全体は一致します。

このことから、定理 6.4（三角行列の固有値）は、表現行列が $n$ 次の三角行列となるような線型変換（または、$n$ 次の三角行列により定まる線型変換）が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことを示していると捉えられます。

これは、後に行列が三角化可能であるための条件（三角行列に変形することができる行列の満たすべき条件）を導く際に重要な役割を果たします。

定理 6.4 の証明#

定理 6.4（三角行列の固有値）は、前項に示した固有方程式の形と、行列式の基本的な性質（系 3.18（三角行列の行列式））から、比較的簡単に証明することができます。

詳しくは、下記の証明に示す通りです。

証明#

$A$ を $n$ 次の上三角行列とすると、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ は次のようになる。

ここで、系 3.18（三角行列の行列式）より、上三角行列の行列式は対角成分の積に等しいから、次が成り立つ。

したがって、$A$ の固有値全体は $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$ であり、$A$ の対角成分全体に等しい。これは、$A$ が下三角行列の場合も同様に成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方#

定理 6.3（固有方程式）より、（$1$）行列 $A$ の固有多項式を求め、（$2$）行列式の基本的性質に関する系 3.18（三角行列の行列式）を用います。

（1）固有多項式を求める#

• $A$ を $n$ 次の上三角行列として、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ を求めます。
• 定理 6.3（固有方程式）より、$A$ の固有多項式は、次のようになります。
  $$\begin{split} \phi_{A} (t) &= \big\lvert \, A - t E \, \big\rvert \\ &= \begin{vmatrix} \; \begin{matrix} a_{11} - t & a_{12} \\ & a_{22} - t \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & a_{1n} \\ \cdots & a_{2n} \\ \end{matrix} \; \\ \; \Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ & a_{nn} - t \\ \end{matrix} \; \end{vmatrix} \end{split}$$

（2）三角行列の性質を利用する#

• 行列式の基本的性質を用いて、固有多項式 $\phi_{A} (t)$ を簡単にします。

• 系 3.18（三角行列の行列式）より、上三角行列の行列式は対角成分の積に等しくなります。したがって、$\phi_{A} (t)$ は次のようになります。

  $$\begin{gather*} \phi_{A} (t) = (a_{11} - t)(a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t) \end{gather*}$$

• 再び、定理 6.3（固有方程式）より、$\phi_{A} (t) = 0$ を満たす $t$ が行列 $A$ の固有値となるので、$A$ の固有値は $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$ となります。

• 以上から、上三角行列 $A$ の固有値全体が $A$ の対角成分に等しいことが示されました。

• 下三角行列の場合も、同様の考察が成り立つことを確認します。

  • $A$ を下三角行列とすると、固有多項式 $\phi_{A} (t)$ は次のようになる。

    $$\begin{split} \phi_{A} (t) &= \begin{vmatrix} \; \begin{matrix} a_{11} - t & \\ a_{21} & a_{22} - t \\ \end{matrix} & \Large{O} \; \\ \; \begin{matrix} \vdots \quad & \; \vdots \\ a_{n1} \quad & \; a_{n2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \ddots & \\ \cdots & a_{nn} - t \\ \end{matrix} \; \end{vmatrix} \end{split}$$

  • 系 3.18（三角行列の行列式）は下三角行列に対しても成り立つので、ここまでの考察は $A$ が下三角行列の場合も同様に成り立ちます。

  • したがって、$A$ が下角行列のときも、$A$ の固有値全体は $A$ の対角成分に等しくなります。

• 以上から、三角行列の固有値全体が、その対角成分全体に等しいことが示されました。

まとめ#

• 三角行列の固有値全体は、その対角成分の全体に等しい。
  • 表現行列が $n$ 次の三角行列となるような線型変換（または、$n$ 次の三角行列により定まる線型変換）は、重複を含めて $n$ 個の固有値を持つ。

参考文献#

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[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
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[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.