基本的な性質（4）

正方行列の対角成分の和を行列のトレース（$\text{trace}$）といいます。

ここでは、行列のトレースを定義するとともに、固有多項式の係数が行列のトレースや行列式を用いて表せることを示します。

固有多項式の係数#

定理 6.7（固有多項式の係数）#

$A$ を $n$ 次の正方行列として、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ を次のように表すと、

$\phi_{A} (t)$ の係数について、次が成り立つ。

解説#

固有多項式の係数#

$n$ 次正方行列の固有多項式は $n$ 次多項式#

定理 6.3（固有方程式）より、$n$ 次の正方行列 $A$ の固有多項式は、次のように定義されます。

このような定義より、$n$ 次の正方行列の固有多項式は $n$ 次多項式になります。したがって、$A \in M_{n} (K)$ の固有方程式 $\phi_{A} (t)$ は変数 $t$ に関する $n$ 次多項式となり、一般に、次のように書き下せます。

固有多項式の係数（定理 6.7 の主張）#

（6.2.4）式において、$n$ 次の係数、$(n-1)$ 次の係数、$0$ 次の係数が、次のように、$A$ のトレースや行列式を用いて表せる、というのが定理 6.7（固有多項式の係数）の主旨です。

当然ながら、与えられた $A$ に対して、固有多項式の $(n-2)$ 次 $\sim$ $1$ 次の係数を求めることもできますが、計算が非常に面倒であり、かつ、トレースや行列式などを用いて簡単に表すことはできません。このような理由から、$(n-2)$ 次 $\sim$ $1$ 次の係数は、定理 6.7（固有多項式の係数）に含まれません。

行列のトレース#

行列のトレースの定義#

正方行列 $A$ に対して、その対角成分の和を $A$ のトレース（$\text{trace}$）といい、$\text{tr} A$ と表します。

例えば、$A$ を次のような $n$ 次の正方行列とすると、

$A$ のトレース（ $\text{tr} A$ ）は、次のようになります。

行列のトレースは線型写像#

上記の定義より、行列のトレースは $M_{n} (K)$ から $K$ への写像であり $f : M_{n} (K) \to K$ と表すことができます。

また、行列のトレースは線型写像であり、$A, B \in M_{n} (K)$ $, c \in K$ について、次が成り立ちます。このことは、線型写像の定義により簡単に確かめることができます。

このような意味で、トレースは、行列式などと同様、行列を特徴づける値であるといえます。

固有多項式の係数（定義が異なる場合）#

固有多項式の定義の違い#

定理 6.3（固有方程式）に示したように、教科書により、固有多項式の定義の仕方が異なる場合があります。

ここでは、$A$ の固有多項式を $\phi_{A} (t) = \big\lvert \, A - t E \, \big\rvert$ と定義していますが、$\phi_{A}^{\prime} (t) = \big\lvert \, t E - A \, \big\rvert$ を $A$ の固有多項式としている教科書もあります。

定義による固有多項式の係数の違い#

多くの場合、固有多項式そのものより、固有方程式（ $\phi_{A} (t) = 0$ または $\phi_{A}^{\prime} (t) = 0$ ）を解いて固有値を求めることの方が重要です。したがって、固有多項式の定義により、大きな差は生まれません。しかしながら、定理 6.7（固有多項式の係数）のように、固有多項式の係数を考える場合、定義により異なる結果が得られます。

いま、定理 3.7（行列式の多重線型性）より、次が成り立ちます。

したがって、$A$ の固有多項式を $\phi_{A}^{\prime} (t) = \big\lvert \, t E - A \, \big\rvert$ とした場合、$\phi_{A}^{\prime} (t)$ の係数は、次のようになります。

$\phi_{A}^{\prime} (t) = (-1)^{n} \, \phi_{A} (t)$ が成り立つことより、いずれの係数も、定理 6.7（固有多項式の係数）の（6.2.5）式に対して、$(-1)^{n}$ を掛けたものに等しくなります。

証明#

$A = (\, a_{ij} \,)$ とすると、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ は、次のように表すことができる。

ここで、$(a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ は $A - t E$ の対角成分の積であり、$\psi_{A} (t)$ はそれ以外の項の和である。いま、行列式の定義より、$\psi_{A} (t)$ は $t$ の $(n-2)$ 次以下の項しか含まないから、$t$ の $n$ 次の項は $(a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ の展開においてのみ現れ、その係数は $(-1)^{n}$ に等しい。同様に、$t$ の $(n-1)$ 次の項も $(a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ の展開においてのみ現れ、その係数は $(-1)^{n-1} (a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}) = (-1)^{n-1} \, \text{tr} A$ に等しい。また、$\phi_{A} (0) = \big\lvert \, A \, \big\rvert$ であるから、$\phi_{A} (t)$ の定数項は $\big\lvert \, A \, \big\rvert$ に等しい。$\quad \square$

証明の考え方#

定理 6.3（固有方程式）と行列式の定義より、（$1$）固有多項式 $\phi_{A} (t)$ を対角成分の積とそれ以外の項の和に分解し、（$2$）各係数を求めます。

上記のような分解により、$\phi_{A} (t)$ の $n$ 次の係数と $(n-1)$ 次の係数は対角成分の積のみから得られることがわかります。また、定数項は $\phi_{A} (t)$ に $t = 0$ を代入することで得られます。

（1）固有多項式の分解#

• 定理 6.3（固有方程式）と行列式の定義より、固有多項式 $\phi_{A} (t)$ を対角成分の積とそれ以外の項の和に分解します。
• 定理 6.3（固有方程式）より、$\phi_{A} (t) = \big\lvert \, A - t E \, \big\rvert$ であり、$A = (\, a_{ij} \,)$ としてこれを成分を用いて表すと、次のようになります。
  $$\begin{align*} \phi_{A} (t) &= \big\lvert \, A - t E \, \big\rvert \\ &= \begin{vmatrix} \; a_{11} - t & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; a_{21} & a_{22} - t & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - t \; \\ \end{vmatrix} \tag{$$$\ast$} \end{align*}

• 上記（$\ast$）式において $t$ を含む成分は対角成分のみなので、$t$ の $n$ 次の項（ $t^{n}$ ）は明らかに対角成分の積 $(a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ のみから得られることがわかります。
• 同様に、$t$ の $(n-1)$ 次の項（ $t^{n-1}$ ）も、対角成分の積 $(a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ のみからしか得られないことがわかります。

  • このことは、行列式の定義から導かれる考察であり、次のように確かめられます。

  • 正方行列 $A$ の行列式は、次の通りです（行列式の定義）。

    $$\begin{gather*} \big\lvert \, A \, \big\rvert = \sum_{\sigma \, \in \, S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{n \sigma(n)} \end{gather*}$$

  • つまり、$A$ の行列式とは、$A$ の各行、列から $1$ つずつ成分を取り出したものの積に、成分の取り出し方により定まる置換の符号（$+1$ または $-1$）を掛けたものの和です。

  • 成分の取り出し方を決める置換 $\sigma$ は $n$ 個の要素の順列に等しいので、どの行、列についても漏れなく被りなく成分を取り出す必要があります。言い換えれば、同じ行や列から $2$ つの成分をとらず、また、成分がとられない行や列もないようにする必要があります。

  • したがって、$A - t E$ の行列式を求める際、例えば、$1$ 行目から $a_{12}$ を取り出したとすると、$2$ 行目からは $2$ 列目の成分 $a_{22} - t$ を除いた、$a_{21}$ もしくは $a_{23}, \cdots, a_{2n}$ から成分を取り出す必要があります。

    $$\begin{vmatrix} \; a_{11} - t & \fbox{$$$\begin{array} {c} a_{12} \end{array}$} & \begin{array} {cc} \cdots & \phantom{tt} a_{1n} \phantom{tt} \end{array} \; \\ \; \fbox{$\begin{array} {c} a_{21} \end{array}$} & a_{22} - t & \fbox{$\begin{array} {cc} \cdots & \phantom{tt} a_{2n} \phantom{tt} \end{array}$} \; \\ \; \begin{array} {c} \vdots \\ a_{n1} \end{array} & \begin{array} {c} \vdots \\ a_{n2} \end{array} & \begin{array} {cc} \ddots & \vdots \\ \cdots & a_{nn} - t \end{array} \; \\ \end{vmatrix}

  • よって、$t$ の $n$ 次の項と $(n-1)$ 次の項は対角成分の積のみから得られ、対角成分の積以外の項は、高々 $(n-2)$ 次以下の項しか含まないことがわかります。

• したがって、対角成分の積以外の項をまとめて $\psi_{A} (t)$ とおくと、（$\ast$）式は更に次のようになります。
  $$\begin{gather*} \phi_{A} (t) = (a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t) + \psi_{A} (t) \end{gather*}$$

（2）各係数を求める#

• 上記の考察から、$\phi_{A} (t)$ の $n$ 次の係数と $(n-1)$ 次の係数を求めます。

  • $t$ の $n$ 次の項は $(a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ の展開のみ現れます。したがって、その展開式を考えれば、$t^{n}$ の係数が $(-1)^{n}$ に等しいことがわかります。
  • 同様に、$t$ の $(n-1)$ 次の項も $(a_{11} - t) (a_{22} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ の展開にのみ現れます。展開式を考えると $t^{n-1}$ の係数は次のようになります。
    $$(-1)^{n-1} (a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}) = (-1)^{n-1} \, \text{tr} A$$

• $\phi_{A} (t)$ に $t = 0$ を代入することで、定数項を求めます。

  • （6.2.4）式において、$\psi_{A} (0) = a_{0}$ が成り立ちます。
  • 一方で、$\phi_{A} (t) = \big\lvert \, A - t E \, \big\rvert$ において $t = 0$ とすると、$\psi_{A} (0) = \big\lvert \, A - 0 E \, \big\rvert = \big\lvert \, A \, \big\rvert$ が成り立ちます。
  • したがって、$a_{0} = \big\lvert \, A \, \big\rvert$ が成り立ちます。

まとめ#

• 正方行列 $A$ に対して、その対角成分の和を $A$ のトレース（$\text{trace}$）といい、$\text{tr} A$ と表す。

  $$\begin{gather*} A = \begin{pmatrix} \, a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \, \\ \, a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \, \\ \, \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \, \\ \, a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \, \\ \end{pmatrix} \, , \\ \\ \text{tr} A = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} \end{gather*}$$

• $A$ を $n$ 次の正方行列として、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ の係数について、次が成り立つ。

  $$\begin{gather*} \phi_{A} (t) = a_{n} \, t^{n} + a_{n-1} \, t^{n-1} + \cdots + a_{0} \, , \\ \\ \left\{ \; \begin{align*} a_{n} &= (-1)^{n} \\ a_{n-1} &= (-1)^{n-1} \, \text{tr} A\\ a_{0} &= \lvert \, A \, \rvert \\ \end{align*} \right. \end{gather*}$$

参考文献#

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[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.