相異なる固有値に属する固有ベクトル 目次 ベクトル空間の線型変換（および、その表現行列）の相異なる固有値に属する固有ベクトルは線型独立であることを示します。
これは、行列が対角化可能であるための条件を導く際に、非常に重要な役割を果たす定理です。
相異なる固有値に属する固有ベクトル# 定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）# V V V f : V → V f : V \to V f : V → V f f f
相異なる固有値に属する固有ベクトル# 定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル） は、ベクトル空間の線型変換（またはその表現行列）の相異なる固有値に属する固有ベクトルは線型独立であるということを意味しています。
線型変換とその表現行列それぞれについて、具体的な意味は、次のように理解できます。
線型変換の相異なる固有値に属する固有ベクトル# V V V n n n 定理 6.3（固有方程式） より、線型変換 f f f n n n
したがって、f f f n n n f f f s s s s ⩽ n s \leqslant n s ⩽ n λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s} λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s 固有ベクトルの定義 より、それぞれの固有値に属する固有ベクトルを v 1 , v 2 , ⋯ , v s ∈ V \bm{v}_{1}, \, \bm{v}_{2}, \, \cdots, \, \bm{v}_{s} \in V v 1 , v 2 , ⋯ , v s ∈ V 1 ⩽ i ⩽ s 1 \leqslant i \leqslant s 1 ⩽ i ⩽ s
f ( v i ) = λ i v i
\begin{gather*}
f (\bm{v}_{i}) = \lambda_{i} \, \bm{v}_{i}
\end{gather*}
f ( v i ) = λ i v i
このような s s s v 1 , v 2 , ⋯ , v s ∈ V \bm{v}_{1}, \, \bm{v}_{2}, \, \cdots, \, \bm{v}_{s} \in V v 1 , v 2 , ⋯ , v s ∈ V 定理 6.9 の具体的な意味です。
正方行列の相異なる固有値に属する固有ベクトル# 線型変換 f f f A A A 定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル） は、正方行列 A A A
いま、V V V n n n A A A n n n 上記の考察 と同様の考え方により、A A A n n n 定理 6.3（固有方程式） ）、高々 n n n A A A s s s s ⩽ n s \leqslant n s ⩽ n λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s} λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s 固有ベクトルの定義 より、それぞれの固有値に属する固有ベクトルを x 1 , x 2 , ⋯ , x s ∈ K n \bm{x}_{1}, \, \bm{x}_{2}, \, \cdots, \, \bm{x}_{s} \in K^{n} x 1 , x 2 , ⋯ , x s ∈ K n 1 ⩽ i ⩽ s 1 \leqslant i \leqslant s 1 ⩽ i ⩽ s
A x i = λ i x i
\begin{gather*}
A \bm{x}_{i} = \lambda_{i} \, \bm{x}_{i}
\end{gather*}
A x i = λ i x i
線型変換の場合 と同様に、このような s s s x 1 , x 2 , ⋯ , x s ∈ K n \bm{x}_{1}, \, \bm{x}_{2}, \, \cdots, \, \bm{x}_{s} \in K^{n} x 1 , x 2 , ⋯ , x s ∈ K n 定理 6.9 の具体的な意味です。
固有空間の直和# 相異なる固有値の固有空間の和は直和である# また、定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル） において、相異なる固有値 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s} λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s W ( λ 1 ) , W ( λ 1 ) , ⋯ , W ( λ s ) W (\lambda_{1}), W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{s}) W ( λ 1 ) , W ( λ 1 ) , ⋯ , W ( λ s ) 0 \bm{0} 0
すなわち、1 ⩽ i , j ⩽ s 1 \leqslant i, \, j \leqslant s 1 ⩽ i , j ⩽ s
W ( λ i ) ∩ W ( λ j ) = { 0 } ( i ≠ j )
\begin{array} {cc}
W (\lambda_{i}) \, \cap \, W (\lambda_{j}) = \{ \bm{0} \} & (\, i \neq j \,)
\end{array}
W ( λ i ) ∩ W ( λ j ) = { 0 } ( i = j )
したがって、固有空間 W ( λ 1 ) , W ( λ 2 ) , ⋯ , W ( λ s ) W (\lambda_{1}), W (\lambda_{2}), \cdots, W (\lambda_{s}) W ( λ 1 ) , W ( λ 2 ) , ⋯ , W ( λ s ) 和空間 について、次が成り立ちます。
W ( λ 1 ) + W ( λ 2 ) + ⋯ + W ( λ s ) = W ( λ 1 ) ⊕ W ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ W ( λ s )
\begin{gather*}
& W (\lambda_{1}) + W (\lambda_{2}) + \cdots + W (\lambda_{s}) \\
& = W (\lambda_{1}) \oplus W (\lambda_{2}) \oplus \cdots \oplus W (\lambda_{s})
\end{gather*}
W ( λ 1 ) + W ( λ 2 ) + ⋯ + W ( λ s ) = W ( λ 1 ) ⊕ W ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ W ( λ s )
これは、相異なる固有値の固有空間の和（和空間 ）は、それぞれの固有空間の直和 であるということを意味しています。
行列が対角化可能であるための条件# 相異なる固有値の固有空間の和（和空間 ）が直和 であるということは、行列が対角化可能であるための条件を考える際に非常に重要な考察です。
後にみるように、V V V V V V
線型変換の固有空間の直和は、必ずしも元のベクトル空間 V V V 行列の対角化の条件 を明らかにすることに他なりません。行列の対角化の条件 については、改めて整理します。
まず、定義 より、固有ベクトルは零ベクトル 0 \bm{0} 0 1 1 1
次に、s > 1 s \gt 1 s > 1 f f f s s s λ 1 , ⋯ , λ s \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{s} λ 1 , ⋯ , λ s v 1 , ⋯ , v s ∈ V \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} \in V v 1 , ⋯ , v s ∈ V 1 ⩽ r < s 1 \leqslant r \lt s 1 ⩽ r < s r r r v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r v 1 , ⋯ , v r , v r + 1 \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}, \, \bm{v}_{r+1} v 1 , ⋯ , v r , v r + 1 定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合） より、v r + 1 \bm{v}_{r+1} v r + 1 v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r
v r + 1 = c 1 v 1 + ⋯ + c r v r
\begin{gather*} \tag{ ∗ \ast ∗ v r + 1 = c 1 v 1 + ⋯ + c r v r ( ∗ )
いま、v r + 1 ≠ 0 \bm{v}_{r+1} \neq \bm{0} v r + 1 = 0 c 1 , ⋯ , c r ∈ K c_{1}, \cdots, c_{r} \in K c 1 , ⋯ , c r ∈ K 1 1 1 0 0 0 f f f f f f v r + 1 \bm{v}_{r+1} v r + 1
f ( v r + 1 ) = f ( c 1 v 1 + ⋯ + c r v r ) = c 1 f ( v 1 ) + ⋯ + c r f ( v r ) = c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r
\begin{align*}
f (\bm{v}_{r+1})
&= f(\, c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \bm{v}_{r} \,) \\
&= c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{r} f(\bm{v}_{r}) \\
&= c_{1} \lambda_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r} \bm{v}_{r} \\
\end{align*}
f ( v r + 1 ) = f ( c 1 v 1 + ⋯ + c r v r ) = c 1 f ( v 1 ) + ⋯ + c r f ( v r ) = c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r
更に、（∗ \ast ∗ λ r + 1 \lambda_{r+1} λ r + 1
λ r + 1 v r + 1 = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r
\begin{gather*}
\lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1} = c_{1} \lambda_{r+1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r+1} \bm{v}_{r} \\
\end{gather*}
λ r + 1 v r + 1 = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r
また、v r + 1 \bm{v}_{r+1} v r + 1 λ r + 1 \lambda_{r+1} λ r + 1 f ( v r + 1 ) = λ r + 1 v r + 1 f(\bm{v}_{r+1}) = \lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1} f ( v r + 1 ) = λ r + 1 v r + 1
c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r ⇔ c 1 ( λ 1 − λ r + 1 ) v 1 + ⋯ + c r ( λ r − λ r + 1 ) v r = 0
\begin{gather*}
& c_{1} \lambda_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r} \bm{v}_{r} = c_{1} \lambda_{r+1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r+1} \bm{v}_{r} \\
\Leftrightarrow & c_{1} (\lambda_{1} - \lambda_{r+1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} (\lambda_{r} - \lambda_{r+1}) \, \bm{v}_{r} = \bm{0}
\end{gather*}
⇔ c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r c 1 ( λ 1 − λ r + 1 ) v 1 + ⋯ + c r ( λ r − λ r + 1 ) v r = 0
ここで、λ 1 , ⋯ , λ r \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r} λ 1 , ⋯ , λ r λ r + 1 \lambda_{r+1} λ r + 1 1 ⩽ i ⩽ r 1 \leqslant i \leqslant r 1 ⩽ i ⩽ r λ i ≠ λ r + 1 \lambda_{i} \neq \lambda_{r+1} λ i = λ r + 1 c 1 , ⋯ , c r c_{1}, \cdots, c_{r} c 1 , ⋯ , c r 1 1 1 0 0 0 v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r v 1 , ⋯ , v s \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} v 1 , ⋯ , v s □ \quad \square □
証明の考え方# 数学的帰納法により、（1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
（1）1 1 1 # まず、1 1 1 固有ベクトルの定義 より、固有ベクトルは零ベクトル 0 \bm{0} 0 v \bm{v} v f f f v ≠ 0 \bm{v} \neq \bm{0} v = 0 定理 4.3（ベクトルの演算） より、「 c v = 0 c \bm{v} = \bm{0} c v = 0 c = 0 c = 0 c = 0 v = 0 \bm{v} = \bm{0} v = 0 v ≠ 0 \bm{v} \neq \bm{0} v = 0 c = 0 c = 0 c = 0 したがって、v \bm{v} v 線型独立の定義 ）。これは、1 1 1 （2）2 2 2 # 次に、相異なる固有値に属する 2 2 2 前提事項の整理# f f f 具体的には、s > 1 s \gt 1 s > 1 f f f s s s λ 1 , ⋯ , λ s \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{s} λ 1 , ⋯ , λ s v 1 , ⋯ , v s ∈ V \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} \in V v 1 , ⋯ , v s ∈ V このとき、s s s v 1 , ⋯ , v s \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} v 1 , ⋯ , v s 仮定法の仮定# 仮定法により、v 1 , ⋯ , v s \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} v 1 , ⋯ , v s すなわち、1 ⩽ r < s 1 \leqslant r \lt s 1 ⩽ r < s r r r v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r v 1 , ⋯ , v r , v r + 1 \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}, \, \bm{v}_{r+1} v 1 , ⋯ , v r , v r + 1 矛盾の導出# 仮定 より、v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r v 1 , ⋯ , v r , v r + 1 \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}, \, \bm{v}_{r+1} v 1 , ⋯ , v r , v r + 1 定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合） により、v r + 1 \bm{v}_{r+1} v r + 1 v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r
v r + 1 = c 1 v 1 + ⋯ + c r v r
\begin{gather*} \tag{ ∗ \ast ∗ v r + 1 = c 1 v 1 + ⋯ + c r v r ( ∗ )
ここで、v r + 1 \bm{v}_{r+1} v r + 1 v r + 1 ≠ 0 \bm{v}_{r+1} \neq \bm{0} v r + 1 = 0 c 1 , ⋯ , c r ∈ K c_{1}, \cdots, c_{r} \in K c 1 , ⋯ , c r ∈ K 1 1 1 0 0 0 f f f f f f v r + 1 \bm{v}_{r+1} v r + 1
f ( v r + 1 ) = ( i ) f ( c 1 v 1 + ⋯ + c r v r ) = ( ii ) c 1 f ( v 1 ) + ⋯ + c r f ( v r ) = ( iii ) c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r
\begin{align*}
f (\bm{v}_{r+1})
&\overset{(\text{i})}{=} f(\, c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \bm{v}_{r} \,) \\
&\overset{(\text{ii})}{=} c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{r} f(\bm{v}_{r}) \\
&\overset{(\text{iii})}{=} c_{1} \lambda_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r} \bm{v}_{r} \tag*{\hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}}}
\end{align*}
f ( v r + 1 ) = ( i ) f ( c 1 v 1 + ⋯ + c r v r ) = ( ii ) c 1 f ( v 1 ) + ⋯ + c r f ( v r ) = ( iii ) c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r 1 ◯
（i \text{i} i （∗ \ast ∗ より、v r + 1 = c 1 v 1 + ⋯ + c r v r \bm{v}_{r+1} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \bm{v}_{r} v r + 1 = c 1 v 1 + ⋯ + c r v r （ii \text{ii} ii f f f 線型写像の定義 ）。 （iii \text{iii} iii 仮定法の仮定 によります。すなわち、v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r f f f λ 1 , ⋯ , λ r \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r} λ 1 , ⋯ , λ r f ( v i ) = λ i v i ( 1 ⩽ i ⩽ r )
\begin{array} {cc}
f (\bm{v}_{i}) = \lambda_{i} \, \bm{v}_{i} & (\, 1 \leqslant i \leqslant r \,)
\end{array}
f ( v i ) = λ i v i ( 1 ⩽ i ⩽ r ) 更に、（∗ \ast ∗ の両辺に λ r + 1 \lambda_{r+1} λ r + 1
λ r + 1 v r + 1 = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r 2 ◯
\begin{gather*}
\lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1} = c_{1} \lambda_{r+1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r+1} \bm{v}_{r}
\end{gather*} \tag*{\hbox{\textcircled{\scriptsize{2}}}}
λ r + 1 v r + 1 = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r 2 ◯
いま、v r + 1 \bm{v}_{r+1} v r + 1 λ r + 1 \lambda_{r+1} λ r + 1 f ( v r + 1 ) = λ r + 1 v r + 1 f(\bm{v}_{r+1}) = \lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1} f ( v r + 1 ) = λ r + 1 v r + 1 1 ◯ \hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}} 1 ◯ 2 ◯ \hbox{\textcircled{\scriptsize{2}}} 2 ◯ 1 ◯ \hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}} 1 ◯ = = = 2 ◯ \hbox{\textcircled{\scriptsize{2}}} 2 ◯
f ( v r + 1 ) = λ r + 1 v r + 1 ⇔ c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r ⇔ c 1 ( λ 1 − λ r + 1 ) v 1 + ⋯ + c r ( λ r − λ r + 1 ) v r = 0
\begin{gather*}
& f(\bm{v}_{r+1}) = \lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1} \\
\Leftrightarrow & c_{1} \lambda_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r} \bm{v}_{r} = c_{1} \lambda_{r+1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r+1} \bm{v}_{r} \\
\Leftrightarrow & c_{1} (\lambda_{1} - \lambda_{r+1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} (\lambda_{r} - \lambda_{r+1}) \, \bm{v}_{r} = \bm{0} \tag{ ∗ ∗ \ast \ast ∗ ∗ ⇔ ⇔ f ( v r + 1 ) = λ r + 1 v r + 1 c 1 λ 1 v 1 + ⋯ + c r λ r v r = c 1 λ r + 1 v 1 + ⋯ + c r λ r + 1 v r c 1 ( λ 1 − λ r + 1 ) v 1 + ⋯ + c r ( λ r − λ r + 1 ) v r = 0 ( ∗ ∗ )
（∗ ∗ \ast \ast ∗ ∗ において、λ 1 , ⋯ , λ r \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r} λ 1 , ⋯ , λ r λ r + 1 \lambda_{r+1} λ r + 1 1 ⩽ i ⩽ r 1 \leqslant i \leqslant r 1 ⩽ i ⩽ r
λ i ≠ λ r + 1 ⇔ ( λ i − λ r + 1 ) ≠ 0
\begin{gather*}
& \lambda_{i} \neq \lambda_{r+1} \\
\Leftrightarrow & ( \lambda_{i} - \lambda_{r+1} ) \neq 0
\end{gather*}
⇔ λ i = λ r + 1 ( λ i − λ r + 1 ) = 0
また、（∗ \ast ∗ より、c 1 , ⋯ , c r c_{1}, \cdots, c_{r} c 1 , ⋯ , c r 1 1 1 0 0 0
よって、（∗ ∗ \ast \ast ∗ ∗ より、v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r v 1 , ⋯ , v r \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r} v 1 , ⋯ , v r
したがって、r r r ( r + 1 ) (r+1) ( r + 1 )
以上から、相異なる固有値に属する固有ベクトルが線形独立であることが示されました。
まとめ# ベクトル空間の線型変換（および、その表現行列）の相異なる固有値に属する固有ベクトルは線型独立である。 相異なる固有値の固有空間の和（和空間 ）は、それぞれの固有空間の直和 である。 参考文献# [1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.1 1 1 2 2 2 I \text{I} I 初版：2024-10-06 | 改訂：2025-01-29