相異なる固有値に属する固有ベクトル

ベクトル空間の線型変換（および、その表現行列）の相異なる固有値に属する固有ベクトルは線型独立であることを示します。

これは、行列が対角化可能であるための条件を導く際に、非常に重要な役割を果たす定理です。

相異なる固有値に属する固有ベクトル#

定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）#

$V$ をベクトル空間、$f : V \to V$ を線型変換とする。このとき、$f$ の相異なる固有値に属する固有ベクトルは線型独立である。

解説#

相異なる固有値に属する固有ベクトル#

定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）は、ベクトル空間の線型変換（またはその表現行列）の相異なる固有値に属する固有ベクトルは線型独立であるということを意味しています。

線型変換とその表現行列それぞれについて、具体的な意味は、次のように理解できます。

線型変換の相異なる固有値に属する固有ベクトル#

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間とすると、 定理 6.3（固有方程式）より、線型変換 $f$ の固有方程式は $n$ 次方程式となります。

したがって、$f$ の固有方程式は高々 $n$ 個の解（固有値）を持ちます。このうち、重複を除けば、$f$ は $s$ 個（ $s \leqslant n$ ）の相異なる固有値 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ を持つといえます。このとき、 固有ベクトルの定義より、それぞれの固有値に属する固有ベクトルを $\bm{v}_{1}, \, \bm{v}_{2}, \, \cdots, \, \bm{v}_{s} \in V$ とすると、$1 \leqslant i \leqslant s$ について、次が成り立ちます。

このような $s$ 個のベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \, \bm{v}_{2}, \, \cdots, \, \bm{v}_{s} \in V$ が線型独立であるというのが、 定理 6.9の具体的な意味です。

正方行列の相異なる固有値に属する固有ベクトル#

線型変換 $f$ の表現行列を $A$ とすると、 定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）は、正方行列 $A$ の相異なる固有値に属する固有ベクトルが線型独立であることを示す定理と捉えられます。

いま、$V$ を $n$ 次元ベクトル空間とすれば、$A$ は $n$ 次の正方行列になります。このとき、 上記の考察と同様の考え方により、$A$ の固有方程式は $n$ 次方程式となり（ 定理 6.3（固有方程式））、高々 $n$ 個の解（固有値）を持ちます。このうち重複を除けば、$A$ は $s$ 個（ $s \leqslant n$ ）の相異なる固有値 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ を持つとすることができ、 固有ベクトルの定義より、それぞれの固有値に属する固有ベクトルを $\bm{x}_{1}, \, \bm{x}_{2}, \, \cdots, \, \bm{x}_{s} \in K^{n}$ とすると、$1 \leqslant i \leqslant s$ について、次が成り立ちます。

線型変換の場合と同様に、このような $s$ 個のベクトルの組 $\bm{x}_{1}, \, \bm{x}_{2}, \, \cdots, \, \bm{x}_{s} \in K^{n}$ が線型独立であるというのが、 定理 6.9の具体的な意味です。

固有空間の直和#

相異なる固有値の固有空間の和は直和である#

また、 定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）において、相異なる固有値 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ に属する固有ベクトルが線型独立であるということは、それぞれの固有値の固有空間 $W (\lambda_{1}), W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{s})$ は零ベクトル $\bm{0}$ のみを共有するということを意味しています。

すなわち、$1 \leqslant i, \, j \leqslant s$ について、次が成り立つといえます。

したがって、固有空間 $W (\lambda_{1}), W (\lambda_{2}), \cdots, W (\lambda_{s})$ の 和空間について、次が成り立ちます。

これは、相異なる固有値の固有空間の和（ 和空間）は、それぞれの固有空間の 直和であるということを意味しています。

行列が対角化可能であるための条件#

相異なる固有値の固有空間の和（ 和空間）が 直和であるということは、行列が対角化可能であるための条件を考える際に非常に重要な考察です。

後にみるように、$V$ の線型写像（または表現行列）の固有空間の直和がもとのベクトル空間 $V$ に等しいことは、行列が対角化可能であるための必要十分条件となります。

線型変換の固有空間の直和は、必ずしも元のベクトル空間 $V$ に一致するとは限りません。どのような場合にこれが一致するかを考えることこそ、 行列の対角化の条件を明らかにすることに他なりません。 行列の対角化の条件については、改めて整理します。

証明#

まず、 定義より、固有ベクトルは零ベクトル $\bm{0}$ ではないので、少なくとも $1$ つの固有ベクトルは線型独立である。

次に、$s \gt 1$ として、$f$ が $s$ 個の相異なる固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{s}$ を持ち、それぞれの固有値に属する固有ベクトルを $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} \in V$ とする。このとき、$1 \leqslant r \lt s$ となる $r$ があり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型独立であり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}, \, \bm{v}_{r+1}$ が線型従属であると仮定すると、 定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）より、$\bm{v}_{r+1}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ の線型結合として一意に表すことができる。

いま、$\bm{v}_{r+1} \neq \bm{0}$ であるから、$c_{1}, \cdots, c_{r} \in K$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ ではない。また、$f$ が線型変換であることより、$f$ による $\bm{v}_{r+1}$ の像は次のようになる。

更に、（$\ast$）の両辺に $\lambda_{r+1}$ を掛けることで、次が得られる。

また、$\bm{v}_{r+1}$ は $\lambda_{r+1}$ に属する固有ベクトルであり、$f(\bm{v}_{r+1}) = \lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1}$ であるから、

ここで、$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ と $\lambda_{r+1}$ はそれぞれ異なる固有値であるから、$1 \leqslant i \leqslant r$ について $\lambda_{i} \neq \lambda_{r+1}$ である。また、$c_{1}, \cdots, c_{r}$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ でないから、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は自明でない線型関係を持つことになるが、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型独立であることに矛盾する。したがって、相異なる固有値に属する固有ベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ は線型独立である。$\quad \square$

証明の考え方#

数学的帰納法により、（$1$）$1$ つの固有ベクトルが線型独立であることと（$2$）異なる固有値に属する $2$ つ以上の固有ベクトルが線形独立であることを示します。

• （$2$）では、仮定法により、相異なる固有ベクトルからいくつかのベクトルを選んで、線型従属なベクトルの組を作れると仮定して、矛盾を導きます。
• 証明においては、 定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）などを用います。

（1）$1$ つの固有ベクトルが線型独立であることの証明#

• まず、$1$ つの固有ベクトルが線型独立であることを示します。
• 固有ベクトルの定義より、固有ベクトルは零ベクトル $\bm{0}$ ではありません。すなわち、$\bm{v}$ を $f$ の固有ベクトルとすると、$\bm{v} \neq \bm{0}$ となります。
• 定理 4.3（ベクトルの演算）より、「 $c \bm{v} = \bm{0}$ ならば $c = 0$ または $\bm{v} = \bm{0}$ 」が成り立ちますが、いま $\bm{v} \neq \bm{0}$ であることから $c = 0$ となります。
• したがって、$\bm{v}$ は自明でない線型関係を持たないといえます（ 線型独立の定義）。これは、$1$ つの固有ベクトルが線形独立である、ということに他なりません。

（2）$2$ つ以上の固有ベクトルが線型独立であることの証明#

• 次に、相異なる固有値に属する $2$ つ以上の固有ベクトルが線型独立であることを示します。

前提事項の整理#

• $f$ が複数の相異なる固有ベクトルを持つ場合について考えます。
• 具体的には、$s \gt 1$ として、$f$ が $s$ 個の相異なる固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{s}$ を持ち、それぞれの固有値に属する固有ベクトルを $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s} \in V$ とします。
• このとき、$s$ 個のベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線形独立であることを示せば、題意を満たしたことになります。

仮定法の仮定#

• 仮定法により、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{s}$ が線型従属であると仮定して、矛盾を導きます。
• すなわち、$1 \leqslant r \lt s$ となる $r$ があり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型独立であるが、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}, \, \bm{v}_{r+1}$ が線型従属であると仮定します。

矛盾の導出#

• 仮定より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型独立であり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}, \, \bm{v}_{r+1}$ が線型従属であるので、 定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）により、$\bm{v}_{r+1}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ の線型結合として一意に表すことができます。

  $$ \begin{gather*} \tag{$\ast$} \bm{v}_{r+1} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \bm{v}_{r} \end{gather*} $$
  • ここで、$\bm{v}_{r+1}$ は固有ベクトルであり $\bm{v}_{r+1} \neq \bm{0}$ なので、$c_{1}, \cdots, c_{r} \in K$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ ではないことになります。

• $f$ が線型変換であることより、$f$ による $\bm{v}_{r+1}$ の像は、次のようになります。

  $$ \begin{align*} f (\bm{v}_{r+1}) &\overset{(\text{i})}{=} f(\, c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \bm{v}_{r} \,) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{r} f(\bm{v}_{r}) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} c_{1} \lambda_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r} \bm{v}_{r} \tag*{\hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}}} \end{align*} $$
  • （$\text{i}$） （$\ast$）式より、$\bm{v}_{r+1} = c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \bm{v}_{r}$ が成り立ちます。
  • （$\text{ii}$）$f$ の線型性によります（ 線型写像の定義）。
  • （$\text{iii}$） 仮定法の仮定によります。すなわち、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は、それぞれ $f$ の固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ に属する固有ベクトルであるので、次が成り立ちます。
    $$ \begin{array} {cc} f (\bm{v}_{i}) = \lambda_{i} \, \bm{v}_{i} & (\, 1 \leqslant i \leqslant r \,) \end{array} $$

• 更に、 （$\ast$）式の両辺に $\lambda_{r+1}$ を掛けることで、次が得られます。

  $$ \begin{gather*} \lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1} = c_{1} \lambda_{r+1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r+1} \bm{v}_{r} \end{gather*} \tag*{\hbox{\textcircled{\scriptsize{2}}}} $$

• いま、$\bm{v}_{r+1}$ は $\lambda_{r+1}$ に属する固有ベクトルであり $f(\bm{v}_{r+1}) = \lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1}$ であるから、$\hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}}$ と $\hbox{\textcircled{\scriptsize{2}}}$ より、次が成り立ちます（ $\hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}}$ $=$ $\hbox{\textcircled{\scriptsize{2}}}$ ）。

  $$ \begin{gather*} & f(\bm{v}_{r+1}) = \lambda_{r+1} \bm{v}_{r+1} \\ \Leftrightarrow & c_{1} \lambda_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r} \bm{v}_{r} = c_{1} \lambda_{r+1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} \lambda_{r+1} \bm{v}_{r} \\ \Leftrightarrow & c_{1} (\lambda_{1} - \lambda_{r+1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{r} (\lambda_{r} - \lambda_{r+1}) \, \bm{v}_{r} = \bm{0} \tag{$\ast \ast$} \end{gather*} $$

  • （$\ast \ast$）式において、$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ と $\lambda_{r+1}$ はそれぞれ異なる固有値であるから、$1 \leqslant i \leqslant r$ について、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} & \lambda_{i} \neq \lambda_{r+1} \\ \Leftrightarrow & ( \lambda_{i} - \lambda_{r+1} ) \neq 0 \end{gather*} $$

  • また、 （$\ast$）式より、$c_{1}, \cdots, c_{r}$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ ではないです。

• よって、 （$\ast \ast$）式より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は自明でない線型関係を持つことになりますが、これは $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型独立であるという仮定に矛盾します。

• したがって、$r$ 個の相異なる固有ベクトルが線型独立ならば、$(r+1)$ 個の相異なる固有ベクトルも線型独立であることが確かめられました。

• 以上から、相異なる固有値に属する固有ベクトルが線形独立であることが示されました。

まとめ#

• ベクトル空間の線型変換（および、その表現行列）の相異なる固有値に属する固有ベクトルは線型独立である。
• 相異なる固有値の固有空間の和（ 和空間）は、それぞれの固有空間の 直和である。

参考文献

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[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
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[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.