計量同型写像の定義

計量を保つ線型写像であり全単射であるものを、計量同型写像といいます。

ここでは、計量同型写像を定義するとともに、ある写像が計量同型写像であることと同値な条件を示します。

計量同型写像の定義#

まず、計量同型写像の定義を示します。

定義 7.8（計量同型写像）#

$V, W$ を計量ベクトル空間、$f : V \to W$ を線形写像とする。$f$ が $V$ から $W$ への同型写像であり、かつ、計量を保つとき、$f$ を $V$ から $W$ への計量同型写像という。

また、$V$ から $W$ への計量同型写像が存在するとき、$V$ と $W$ は計量同型であるという。

解説#

計量同型写像とは#

計量同型写像とは、計量を保つ同型写像です。

ある写像 $f$ が同型写像であるならば、$f$ は線型写像であり、かつ全単射です（ 同型写像の定義）。また、写像 $f$ が計量を保つならば、$f$ は線型写像であり、かつ内積の値を保存します（ 計量を保つ線型写像の定義）。

したがって、写像 $f$ が計量同型であるということは、$f$ が次の $3$ つの条件を満たすということに他なりません。

特に、条件（$\text{iii}$）は、任意の $\bm{x}, \bm{y} \in V$ について、次が成り立つことと同値です。

計量同型であるための条件（定義）#

下記の 定理 7.17（計量同型であることと同値な条件）に示すように、ある写像が計量同型写像であることと同値な条件には、様々な表現があります。

しかしながら、計量同型写像の定義は、あくまで 上記の条件（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iii}$）を満たすことです。

計量同型であるための条件#

次に、ある写像が計量同型写像であることと同値な条件（必要十分条件）を示します。

定理 7.17（計量同型であることと同値な条件）#

$V, W$ を次元の等しい計量ベクトル空間、$f : V \to W$ を線形写像とすると、次の $4$ つの条件は互いに同値である。

解説#

計量同型であることと同値な条件#

定理 7.17（計量同型であることと同値な条件）は、ある写像が、計量同型であることと同値な条件を示すものです。

前提条件#

定理 7.17（計量同型であることと同値な条件）において、次の $2$ つの条件は前提となっています。

• $f$ の定義域と値域にあたる計量ベクトル空間 $V$ と $W$ の次元が等しいこと。
• $f$ が線型写像であること、すなわち $f$ が和とスカラー倍の演算を保存すること。

特に、$V$ と $W$ の次元が等しいことは、$V$ と $W$ が同型であるための必要条件です（ 定理 4.41（ベクトル空間が同型であることと同値な条件））。逆にいえば、$V$ と $W$ の次元が異なるとき、$V$ と $W$ は同型になり得ません。

このような前提条件の下、次の $4$ つの条件は互いに同値となります。

（1）計量同型であること（定義）#

条件（$1$）は、 計量同型写像の定義の条件そのものです。つまり、 条件（$1$）は、 上記の 定義の条件（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iii}$）に更に分解できます。

ただし、 定理 7.17（計量同型であることと同値な条件）では、$f$ が線形写像であることは前提条件である点に注意が必要です。

（2）計量を保つ線形写像であること#

条件（$2$）は、写像 $f$ が計量を保つことを表しています。これは、任意の $\bm{x}, \bm{y} \in V$ について $f(\bm{x}) \cdot f(\bm{y}) = \bm{x} \cdot \bm{y}$ が成り立つということに他なりません（ 計量を保つ線型写像）。

（3）長さを保つ線形写像であること#

条件（$3$）は、写像 $f$ が長さを保つことを表しています。これは、任意の $\bm{x} \in V$ について $\lVert \, f(\bm{x}) \, \rVert = \lVert \, \bm{x} \, \rVert$ が成り立つということに他なりません（ 長さを保つ線型写像の定義）。

定理 7.15（計量を保つ線型写像）より、 条件（$2$）と 条件（$3$）が同値であることは既に示されています。

（4）単位ベクトルの像が単位ベクトルであること#

条件（$4$）は、単位ベクトルの像が単位ベクトルであることを表しています。

ここで、単位ベクトルとは、ノルムが $1$ であるベクトルのことです。$f$ が単位ベクトルを単位ベクトルに移すということは、任意の $\bm{x} \in V$ について $\lVert \, \bm{x} \, \rVert = 1$ ならば $\lVert \, f(\bm{x}) \, \rVert = 1$ が成り立つということに他なりません。

証明#

定義より（$1$）$\Rightarrow$（$2$）は明らか。また、 定理 7.15（計量を保つ線型写像）より（$2$）$\Leftrightarrow$（$3$）が成り立つ。

よって、まず（$2$）$\Rightarrow$（$1$）を示す。 定理 7.16（計量を保つ線型写像の単射性）より、$f$ が計量を保つならば $f$ は単射である。したがって、$\dim V = n$ として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ を $V$ の基底とすると、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \in W$ について、次が成り立つ。

よって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は線型独立である。また、定理の仮定より $\dim W = \dim V = n$ であるから、 定理 4.32（次元が明らかな場合の基底の条件）より、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は $W$ の基底である。このとき、任意の $\bm{w} \in W$ は、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型結合として表すことができ、次が成り立つ。

これに対して、$f(\bm{v}) = \bm{w}$ を満たす $\bm{v} = d_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{v}_{n}$ が存在するから、$f$ は全射である。したがって（$2$）$\Rightarrow$（$1$）が成り立つ。

次に（$3$）$\Leftrightarrow$（$4$）を示す。 長さを保つ線形写像の定義より（$3$）$\Rightarrow$（$4$）は明らか。逆に、$f$ が単位ベクトルを単位ベクトルに移すとすると、任意の $\bm{v} \neq \bm{0}$ に対して、$\bm{v}^{\prime} = \displaystyle \frac{\, \bm{v} \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,}$ は単位ベクトルであり、次が成り立つ。

よって、$\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立つ。したがって（$4$）$\Rightarrow$（$3$）が成り立つ。以上から（$1$）$\sim$（$4$）は同値である。$\quad \square$

証明の考え方#

計量同型写像の定義より（$1$）$\Rightarrow$（$2$）は明らかといえます。また、 定理 7.15（計量を保つ線型写像）より（$2$）$\Leftrightarrow$（$3$）は既に示されています。よって、（$2$）$\Rightarrow$（$1$）と（$3$）$\Leftrightarrow$（$4$）をそれぞれ示す必要があります。

（$2$）$\Rightarrow$（$1$）の証明#

• （$2$）$f$ が内積の値を保存することを仮定し、（$1$）$f$ が計量同型写像であることを導きます。
• 計量同型写像の定義にしたがって、$f$ が計量を保つ線形写像であり、かつ全単射であることを確かめます。

前提事項の確認#

• 定理の仮定より、$f$ が計量を保つ線型写像であることは明らかです。
• また、 定理 7.16（計量を保つ線型写像の単射性）より、計量を保つ線型写像は単射であるので、$f$ は単射であるといえます。
• したがって、あとは $f$ が全射であることを確かめれば、$f$ が計量同型であることが示されたことになります。

全射性の証明#

• 全射の定義にしたがって、任意の $\bm{w} \in W$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v} \in V$ が存在することを確かめます。

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ を $V$ の基底として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の $f$ による像 $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ の基底になることを示します。ここで、$V$ の次元を $n$ とおいています（$\dim V = n$）。

  • いま、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型関係を考えると、$f$ が線型写像であることから、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} & c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) = \bm{0} \\ \Leftrightarrow & f(\, c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} \,) = \bm{0} \\ \end{gather*} $$

  • $f$ は単射であるので、 定理 4.12（線型写像と単射）より、$\text{Ker} \, f = \{\, \bm{0} \,\}$ であるため、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} & f(\, c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} \,) = \bm{0} \\ \Rightarrow & c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} = \bm{0} \\ \end{gather*} $$

  • また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であり線型独立なので、自明でない線型関係をもたず、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} & c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} = \bm{0} \\ \Rightarrow & c_{1} = \cdots = c_{n} = 0 \end{gather*} $$

  • 以上から、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ について、次が成り立ちます。よって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は線型独立であるといえます。

    $$ \begin{gather*} & c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) = \bm{0} \\ \Rightarrow & c_{1} = \cdots = c_{n} = 0 \end{gather*} $$

• 定理の仮定より、$V$ と $W$ の次元は等しく、$\dim V = \dim W = n$ となります。

• また、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \in W$ は $n$ 個の線型独立なベクトルであるから、 定理 4.32（次元が明らかな場合の基底の条件）より、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は $W$ の基底であるといえます。

• このとき、任意の $\bm{w} \in W$ は $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型結合として表すことができ、$f$ が線型写像であることから、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \bm{w} &= d_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + d_{n} f(\bm{v}_{n}) \\ &= f(\, d_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{v}_{n} \,) \\ \end{align*} $$
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であるので、$\bm{v} = d_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + d_{n} \bm{v}_{n}$ となる $\bm{v} \in V$ が存在するといえます。

• 以上から、任意の $\bm{w} \in W$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ を満たす $\bm{v} \in V$ が存在することが確かめられました。よって、$f$ は全射であるといえます。

• これにより（$2$）$\Rightarrow$（$1$）が示されたことになります。

（$3$）$\Leftrightarrow$（$4$）の証明#

• （$3$）$f$ がノルムの値を保存することと、（$4$）$f$ が単位ベクトルを単位ベクトルに移すことの同値性を証明します。

（$3$）$\Rightarrow$（$4$）の証明#

• 長さを保つ線型写像の定義より（$3$）$\Rightarrow$（$4$）は明らかといえます。

• 定理の仮定より、$f$ は長さを保つので、任意の $\bm{v} \in V$ について $\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立ちます。

• したがって、$\lVert \, \bm{v} \, \rVert = 1$ とすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert = 1 \end{align*} $$
  • これは、$f$ による単位ベクトル（ノルムが $1$ のベクトル）の像が単位ベクトル（ノルムが $1$ のベクトル）であることを表す式に他なりません。

• 以上から（$3$）$\Rightarrow$（$4$）が成り立つといえます。

（$3$）$\Leftarrow$（$4$）の証明#

• 逆に、（$4$）$f$ が単位ベクトルを単位ベクトルに移すことを仮定して、（$3$）$f$ がノルムの値を保存すること、すなわち、任意の $\bm{v} \in V$ について、$\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立つことを示します。

$\bm{v} \neq \bm{0}$ の場合#

• $\bm{v} \neq \bm{0}$ であるとすると、任意の $\bm{v} \;(\, \neq \bm{0} \,)$ に対して $\bm{v}^{\prime} = \displaystyle \frac{\, \bm{v} \,}{\, \lVert \, \bm{x} \, \rVert \,}$ が存在するといえます。

• このとき、$\bm{v}^{\prime}$ は単位ベクトルであり、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \lVert \, f(\bm{v}^{\prime}) \, \rVert &\overset{(\text{i})}{=} \left\lVert \, f \Big(\, \displaystyle \frac{\, \bm{v} \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,} \,\Big) \, \right\rVert \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \left\lVert \, \displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,} \, f (\bm{v}) \, \right\rVert \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,} \; \lVert \, f (\bm{v}) \, \rVert \\ &\overset{(\text{iv})}{=} 1 \vphantom{\Big()} \\ \end{align*} $$
  • （$\text{ii}$） ノルムの定義より、$\lVert \, \bm{v} \, \rVert$ は実数であり、$\bm{v} \neq 0$ ならば $\lVert \, \bm{v} \, \rVert \gt 0$ が成り立ちます（ 定理 7.4（ベクトルのノルム））。
    • また、$f$ は線型写像なので、$f \Big(\, \displaystyle \frac{\, \bm{v} \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,} \,\Big) = \displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,} \, f (\bm{v})$ が成り立ちます。
  • （$\text{iii}$）同様に、 定理 7.4（ベクトルのノルム）より、$\lVert \, c \, \bm{v} \, \rVert = \lvert \, c \, \rvert \, \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立ちます。
    • 特に、いま $\lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が実数なので、$\Big\lvert \, \displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,} \, \Big\rvert = \displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, \lVert \, \bm{v} \, \rVert \,}$ となります。

• したがって（ 上記の（$\text{iv}$）より）、任意の $\bm{v} \neq \bm{0}$ について、$\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立つことが確かめられました。

• これは、任意の $\bm{v} \neq \bm{0}$ について、$f$ がノルムの値を保存することを表しています。

$\bm{v} = \bm{0}$ の場合#

• $\bm{v} = \bm{0}$ の場合 $\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立つことは明らかといえます。

• まず、$f$ が線型写像であることから $f(\bm{0}) = \bm{0}$ となります（ 定理 4.9（零ベクトルの像））。

• また、 ノルムの定義より、零ベクトル $\bm{0}$ のノルムの値は $0$ に等しく、$\lVert \, \bm{0} \, \rVert = 0$ となります。

• したがって、$\bm{v} = \bm{0}$ のとき、$\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert$ と $\lVert \, \bm{v} \, \rVert$ はそれぞれ $0$ に等しく、$\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert &= \lVert \, f(\bm{0}) \, \rVert \\ &= \lVert \, \bm{0} \, \rVert \\ &= 0 \; , \\ \\ \lVert \, \bm{v} \, \rVert &= \lVert \, \bm{0} \, \rVert \\ &= 0 \\ \end{align*} $$
  • これらは、いずれも 線型写像の定義や ノルムの定義から明らかであるため、上記の 証明では省略しています。

• 以上から、任意の $\bm{v} \in V$ について $\lVert \, f(\bm{v}) \, \rVert = \lVert \, \bm{v} \, \rVert$ が成り立ちます。

• よって（$4$）$\Rightarrow$（$3$）が成り立つといえます。

まとめ#

• $V, W$ を計量ベクトル空間、$f : V \to W$ を線形写像とする。$f$ が $V$ から $W$ への同型写像であり、かつ、計量を保つとき、$f$ を $V$ から $W$ への計量同型写像という。
  • $V$ から $W$ への計量同型写像が存在するとき、$V$ と $W$ は計量同型であるという。
  • $f$ が計量同型であるということは、$f$ が次の $3$ つの条件を満たすということに他ならない。

• $V, W$ を次元の等しい計量ベクトル空間、$f : V \to W$ を線形写像とすると、次の $4$ つの条件は互いに同値である。

参考文献

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[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
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[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.