ユニタリ変換とユニタリ行列

ユニタリ変換とユニタリ行列の対応関係について解説します。特に、標準内積を備えた数ベクトル空間において、ユニタリ変換の行列表示がユニタリ行列であり、ユニタリ行列により定まる線型変換がユニタリ変換であることを証明します。

ユニタリ変換とユニタリ行列の対応関係について可換図式を用いて解説します。また、線型変換がユニタリ変換であるための必要十分条件をまとめます。線型変換がユニタリ変換であることと、表現行列がユニタリ行列であることが同値であることを証明します。

ユニタリ変換と直交変換の定義について、具体例とともに解説します。ユニタリ変換が計量同型な線型変換であることを示した上で、線型変換が正規直交基底を正規直交基底に移すことが、ユニタリ変換であるための必要十分条件であることを証明します。

ユニタリ行列による行列の三角化の条件と手順を解説します。正方行列がユニタリ行列により三角化可能であるための必要十分条件について証明します。また、シュミットの正規直交化法を用いて、具体的に与えられた正方行列を三角化する手順について解説します。

ユニタリ行列の固有値に関する性質について解説します。すなわち、ユニタリ行列（およびユニタリ変換）の固有値は絶対値が1の複素数に等しいことを証明します。同様に、直交行列（および直交変換）の固有値は、存在すれば、1または-1に等しくなります。

ユニタリ行列の定義と基本的性質を解説します。ユニタリ行列とは逆行列が随伴行列である正方行列であり、実ユニタリ行列を直交行列といいます。ユニタリ行列の積もユニタリ行列であること、ユニタリ行列の行列式は絶対値が1の複素数であることを証明します。

随伴行列の定義と基本的性質について解説します。随伴行列とは、ある行列の共役行列の転置行列です。また、標準的内積と行列の積の対応関係を用いて、数ベクトル空間（計量ベクトル空間）の標準的内積と随伴行列について成り立つ演算規則を証明します。

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