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ユニタリ行列の定義
随伴行列が逆行列となる正方行列を、ユニタリ行列といいます。
ここでは、ユニタリ行列を定義するとともに、その基本的な性質について示します。
ユニタリ行列の定義
まず、ユニタリ行列と直交行列の定義を示します。
定義 7.11（ユニタリ行列と直交行列）
正方行列 $A$ が次の式を満たすとき、$A$ をユニタリ行列（$\text{unitary matrix}$）という。特に、実ユニタリ行列を直交行列（$\text{orthogonal matrix}$）という。
$$
\begin{align*} \tag{7.5.3}
A^{\ast} A = A \, A^{\ast} = E
\end{align*}
$$
解説
ユニタリ行列とは：逆行列が随伴行列である正方行列
ユニタリ行列とは、$A^{\ast} A = A \, A^{\ast} = E$ を満たす正方行列です。
ユニタリ行列の定義式である （7.5.3）式は、正方行列 $A$ が正則であり、その逆行列が随伴行列 $A^{\ast}$ に等しいことを意味しています（ 逆行列の定義）。
すなわち、すなわち、ユニタリ行列とは、 随伴行列がもとの行列の 逆行列に等しくなるような正方行列であるといえます。
したがって、正方行列 $A$ がユニタリ行列であるための条件（必要十分条件）は、次のようにも表せます。
$$
\begin{align*}
A^{-1} = A^{\ast}
\end{align*}
$$
直交行列とは：実ユニタリ行列
実ユニタリ行列のことを、特に、直交行列いいます。すなわち、直交行列とは、すべての成分が実数であるようなユニタリ行列のことです。
直交行列が満たす関係式
いま、正方行列 $A$ が実行列である場合（すなわち、$A \in M_{n} (\mathbb{R})$ の場合）に限って考えると、$A$ の共役行列は $A$ 自身に等しいので、$A$ の 随伴行列は 転置行列に等しくなります。
$$
\begin{align*}
A^{\ast}
&= {}^{t} \, \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \\
&= {}^{t} A \\
\end{align*}
$$
したがって、$A$ が直交行列であるならば、$A$ は次を満たします。
$$
\begin{align*} \tag{7.5.4}
{}^{t} A \, A = A \, {}^{t} A = E
\end{align*}
$$
直交行列であるための条件（必要十分条件）
ここで、 （7.5.4）式は、正方行列 $A$ が直交行列であるための必要条件ではあるものの、十分条件ではないことに注意が必要です。
すなわち、直交行列は （7.5.4）式を満たしますが、 （7.5.4）式を満たす行列が直交行列であるとはいえません。$A$ が直交行列であるためには、$A$ が実行列であり、かつユニタリ行列であることが必要にして十分であるためです。
（7.5.4）式は、$A$ が実行列である場合に、$A$ が直交行列であることを示す式です。しかしながら、複素行列で （7.5.4）式を満たすような行列を考えることができます。例えば、次のような行列 $B$ は、${}^{t} B \, B = B \, {}^{t} B = E$ を満たしますが、直交行列ではありません。（当然ながら、$B$ はユニタリ行列でもありません。）
$$
\begin{align*}
B = \frac{\, 1 \,}{\, \sqrt{3} \,}
\begin{pmatrix}
\, 2 & i \, \\
\, i & -2 \,
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
ユニタリ行列の基本的な性質
ユニタリ行列の基本的な性質として、次の $2$ つの定理を示します。
定理 7.23（ユニタリ行列の積）
$n$ 次正方行列 $A, B$ がユニタリ行列であれば、$AB$ もユニタリ行列である。
証明
$2$ つの行列 $A, B$ の積の随伴行列について、$(AB)^{\ast} = B^{\ast} A^{\ast}$ であることから、次が成り立つ。
$$
\begin{split}
(AB)^{\ast} AB
&= A^{\ast} B^{\ast} B \, A \\
&= A^{\ast} \big( B^{\ast} B \big) \, A \\
&= A^{\ast} A \\
&= E
\end{split}
$$
また、同様にして、$AB \, (AB)^{\ast}$ が成り立つ。したがって、$(AB)^{\ast} AB = AB \, (AB)^{\ast} = E$ であるから、$AB$ はユニタリ行列である。$\quad \square$
証明の考え方
前項に整理した 随伴行列の基本的な性質より、$2$ つの行列の積の随伴行列について、$(AB)^{\ast} = B^{\ast} A^{\ast}$ が成り立つことから直ちに導くことができます。
定理 7.24（ユニタリ行列の行列式）
ユニタリ行列の行列式は、絶対値が $1$ の複素数に等しい。
証明
$A$ をユニタリ行列とすると、$A^{\ast} A = A \, A^{\ast} = E$ であることから、次が成り立つ。
$$
\begin{split}
\big\lvert \, A \, A^{\ast} \, \big\rvert
&= \big\lvert \, E \, \big\rvert \\
&= 1 \\
\end{split}
$$
また、 随伴行列の定義より、次が成り立つ。
$$
\begin{split}
\big\lvert \, A \, A^{\ast} \, \big\rvert
&= \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \big\lvert \, A^{\ast} \, \big\rvert \\
&= \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \big\lvert \, {}^{t} \, \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \, \big\rvert \\
&= \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \big\lvert \, \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \, \big\rvert \\
&= \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \overline{\big\lvert \, A \, \big\rvert \vphantom{\Big(\Big)}} \\
\end{split}
$$
したがって、$\big\lvert \, A \, \big\rvert \, \overline{\big\lvert \, A \, \big\rvert \vphantom{\Big(\Big)}} = 1$ が成り立つ。よって、$A$ の行列式の絶対値は $1$ の複素数に等しい。$\quad \square$
証明の考え方
随伴行列の定義と行列式の性質より明らかといえます。
まず、$A$ をユニタリ行列とすると、$A^{\ast} A = A \, A^{\ast} = E$ であることから、次が成り立ちます。
$$ \begin{split} \big\lvert \, A \, A^{\ast} \, \big\rvert &= \big\lvert \, E \, \big\rvert \\ &= 1 \\ \end{split} $$また、上式の左辺について、次が成り立ちます。
$$ \begin{split} \big\lvert \, A \, A^{\ast} \, \big\rvert &\overset{(\text{i})}{=} \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \big\lvert \, A^{\ast} \, \big\rvert \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \big\lvert \, {}^{t} \, \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \, \big\rvert \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \big\lvert \, \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \, \big\rvert \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \overline{\big\lvert \, A \, \big\rvert \vphantom{\Big(\Big)}} \\ \end{split} $$（$\text{i}$）行列の積の行列式が、それぞれの行列式の積に等しいことによります（ 定理 3.15（行列式の積））。すなわち、$2$ つの行列 $A, B$ について、次が成り立ちます。
$$ \begin{align*} \big\lvert \, A \, B \, \big\rvert = \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \big\lvert \, B \, \big\rvert \end{align*} $$（$\text{ii}$） 随伴行列の定義によります。
（$\text{iii}$）転置行列の行列式が、もとの行列の行列式に等しいことによります（ 定理 3.13（転置行列の行列式））。すなわち、行列 $A$ とその転置行列 ${}^{t} A$ について、次が成り立ちます。
$$ \begin{align*} \big\lvert \, {}^{t} A \, \big\rvert = \big\lvert \, A \, \big\rvert \end{align*} $$（$\text{iv}$）共役行列の行列式が、もとの行列の行列式の複素共役に等しいことによります。すなわち、行列 $A$ とその共役行列 $\overline{A \vphantom{\big(\big)} \,}$ について、次が成り立ちます。
$$ \begin{align*} \Big\lvert \; \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \; \Big\rvert = \overline{\big\lvert \, A \, \big\rvert \vphantom{\Big(\Big)}} \\ \end{align*} $$これは、 行列式の定義と、複素共役の基本的性質（和と積の演算を保存すること）から明らかといえます。
以上から、次が成り立つことが示されました。
$$ \begin{gather*} \big\lvert \, A \, \big\rvert \, \overline{\big\lvert \, A \, \big\rvert \vphantom{\Big(\Big)}} = 1 \end{gather*} $$これは、$A$ の行列式 $\big\lvert \, A \, \big\rvert$ の絶対値が $1$ の複素数に等しいことを意味する式に他なりません。
まとめ
正方行列 $A$ が、次の式を満たすとき、$A$ をユニタリ行列という。
$$ \begin{align*} A^{\ast} A = A \, A^{\ast} = E \end{align*} $$- 特に、実ユニタリ行列を直交行列（$\text{orthogonal matrix}$）という。
$n$ 次正方行列 $A, B$ がユニタリ行列であれば、$AB$ もユニタリ行列である。
ユニタリ行列の行列式は、絶対値が $1$ の複素数に等しい。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
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[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2025-04-05 | 改訂：2025-04-11
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