正規行列の対角化

行列が対角化可能であるための必要十分条件について解説します。正規行列の性質や固有値と固有ベクトルの観点から対角化の条件を示し、それぞれの関係を整理します。特に、列ベクトルが正規直交基底であることと対角化可能であることとの同値性を証明します。

正規行列の固有値と固有ベクトルに関する基本的性質について解説します。すなわち、正規行列の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交します。このことを、正規行列の定義や標準的内積と随伴行列の性質を用いて証明します。

正規行列の固有値に関する基本的性質を解説します。正規行列とその随伴行列の固有値は互いに複素共役であり、対応する固有値に属する固有ベクトルは等しいことを証明します。これは、ユニタリ行列やエルミート行列の固有値に関する性質を一般化したものです。

正規行列の定義について解説します。正規行列とは、随伴行列との積について可換である正方行列です。また、正規行列の例として、エルミート行列（実対称行列）や歪エルミート行列（実交代行列）、ユニタリ行列（直交行列）が正規行列であることを確かめます。

正規行列の対角化について解説します。すなわち、正規行列は対角化可能であり、正方行列が正規行列であることと、行列が対角化可能であることが同値であることを証明します。これは、一般の行列が対角化可能であるための条件（必要十分条件）を表しています。

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