正規行列の対角化

正規行列は、適当なユニタリ行列により対角化可能です。

これは、行列が対角化可能であるための条件（必要十分条件）を示しています。すなわち、行列が対角化可能であるためには、正規行列であることが必要にして十分です。

正規行列の対角化#

定理 7.35（正規行列の対角化）#

$n$ 次の正方行列 $A$ について、次の $2$ つの条件は同値である。

（$1$）$A$ が正規行列である。
（$2$）$A$ は、適当なユニタリ行列 $P$ により対角化可能である。すなわち、次を満たすユニタリ行列 $P$ が存在する。

解説#

行列が対角化可能であるための必要十分条件#

定理 7.35（正規行列の対角化）は、正方行列が対角化可能であるための条件（必要十分条件）を示しています。すなわち、次の $2$ つの条件は同値です。

（1）正規行列であること#

正方行列 $A$ が正規行列であるということは、$A$ が次を満たすことにほかなりません（正規行列の定義）。

ここで、$A^{\ast}$ は、$A$ の随伴行列を表します。

（2）対角化可能であること#

正方行列 $A$ が対角化可能であるということは、（7.7.2）式を満たすような正則行列 $P$ が存在するということに他なりません。

対角行列と相似な行列#

（7.7.2）式は、$A$ が対角行列に相似であることを表しています（定理 4.56（相似な行列））。

すなわち、対角化可能な行列とは、対角行列に相似な行列であるといえます。

ユニタリ行列による対角化#

また、定理 7.35（正規行列の対角化）は、正規行列 $A$ がユニタリ行列により対角化可能であることを主張するものです。

$P$ をユニタリ行列とすると、その逆行列は随伴行列に等しく、次が成り立ちます（ユニタリ行列の定義）。

したがって、（7.7.2）式は、次のように表すこともできます。

エルミート行列の対角化との関係#

定理 7.32（エルミート行列の対角化）は、定理 7.35（正規行列の対角化）の特別な場合を表しています。

正規行列とエルミート行列#

正規行列の定義で確かめたように、エルミート行列は正規行列の $1$ つです。

対角化の特別な場合#

定理 7.35（正規行列の対角化）は、一般の行列が対角化可能であるための条件を示しています。これに対して、定理 7.32（エルミート行列の対角化）は、特に、対角成分が実数の対角行列に対角化可能であるための条件を示しています。

すなわち、正方行列 $A$ が正規行列であれば、$A$ は対角化可能であり（定理 7.35）、更に、$A$ がエルミート行列であれば、対角行列の対角成分はすべて実数になる（定理 7.32）ということです。

証明#

$A$ を $n$ 次正方行列とすると、定理 7.28（ユニタリ行列による三角化）より、$A$ は適当なユニタリ行列 $P$ により三角化可能であり、次が成り立つ。

いま、$A$ が正規行列であるとすると、定義より $A^{\ast} A = A \, A^{\ast}$ であることから、次が成り立つ。

よって、$P^{-1} A P$ も正規行列であり、$(P^{-1} A P)^{\ast}$ は、次のように表せる。

このとき、（$\star$）式の両辺の $(1, 1)$ 成分を比べると、次が成り立つ。

ここで、$b_{1i} \overline{b_{1i} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \, = \big\lvert \, b_{1i} \, \big\rvert \geqslant 0$ であるから、$b_{12} = b_{13} = \dots = b_{1n} = 0$ が成り立つ。以下、同様に（$\star$）式の両辺の $(i, i)$ 成分を比べることで、$b_{i \, i+1} = b_{i \, i+2} = \dots = b_{i \, n} = 0$ が得られる。したがって、$P^{-1} A P$ は対角行列である。

逆に、正方行列 $A$ に対して、次を満たすユニタリ行列 $P$ が存在するとすると、

$(P^{-1} A P)^{\ast} \, (P^{-1} A P) = (P^{-1} A P) \, (P^{-1} A P)^{\ast}$ が成り立つことから、$P^{-1} A P$ は正規行列である。このとき、次が成り立つ。

上式に、左から $P$ を、右から $P^{-1}$ を掛けることで、$A^{\ast} A = A \, A^{\ast}$ が得られる。したがって、このとき、$A$ は正規行列である。$\quad \square$

証明の考え方#

定理 7.28（ユニタリ行列による三角化）と正規行列の定義から、次の $2$ つの条件が同値であることを導きます。

前提事項の整理#

• $A$ を $n$ 次正方行列とすると、定理 7.28（ユニタリ行列による三角化）より、$A$ は適当なユニタリ行列 $P$ により三角化可能であり、次が成り立ちます。

  $$\begin{align*} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ & b_{22} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & b_{1n} \\ \cdots & b_{2n} \\ \end{matrix} \; \\ \; \Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ & b_{nn} \\ \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

• ここで、$b_{11}, b_{22}, \cdots, b_{nn}$ は、重複を含めた $A$ の固有値に等しくなります。ただし、定理 7.35（正規行列の対角化）の証明において、この性質は利用しません。

• また、上三角行列の対角線より右上は、（$1$）$\Rightarrow$（$2$）の証明において成分の比較をするために、あえて " $\ast$ " 等と省略せずに記載しておきます。

（$1$）$\Rightarrow$（$2$）の証明#

• まず、（$1$）$A$ が正規行列であるならば（$2$）$A$ は対角化可能であることを示します。

• $A$ が正規行列であるとすると、定義より $A^{\ast} A = A \, A^{\ast}$ であることから、次が成り立ちます。

  $$\begin{align*} (P^{-1} A P)^{\ast} \, (P^{-1} A P) &\overset{(\text{i})}{=} P^{-1} A^{\ast} P \, P^{-1} A P \\ &\overset{(\text{ii})}{=} P^{-1} A^{\ast} A P \\ &\overset{(\text{iii})}{=} P^{-1} A \, A^{\ast} P \\ &\overset{(\text{iv})}{=} P^{-1} A P \, P^{-1} A^{\ast} P \\ &\overset{(\text{v})}{=} (P^{-1} A P) \, (P^{-1} A P)^{\ast} \tag{$$$\star$} \end{align*}
  • （$\text{i}$）随伴行列の基本的な性質より、行列の積の随伴行列について、$(AB)^{\ast} = B^{\ast} A^{\ast}$ が成り立ちます。また、$P$ がユニタリ行列であることから、$P^{-1} = P^{\ast}$ が成り立ちます。
  • （$\text{iii}$）いま、$A$ は正規行列であるので、定義より $A^{\ast} A = A \, A^{\ast}$ が成り立ちます。

• よって、$P^{-1} A P$ も正規行列となります。

• また、$(P^{-1} A P)^{\ast}$ は、次のように表せます。

  $$\begin{align*} (P^{-1} A P)^{\ast} = \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} \overline{b_{11} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \vphantom{\Big(\Big)} \\ \overline{b_{12} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \overline{b_{22} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \vphantom{\Big(\Big)} \\ \end{matrix} & \Large{O} \; \\ \; \begin{matrix} \vdots & \vdots \vphantom{\Big(\Big)} \\ \overline{b_{1n} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \overline{b_{2n} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \vphantom{\Big(\Big)} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \ddots & \vphantom{\Big(\Big)} \\ \cdots & \overline{b_{nn} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; \vphantom{\Big(\Big)} \\ \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$
  • このとき（$\star$）式の両辺は次のように表せます。
    $$\begin{align*} (P^{-1} A P)^{\ast} \, (P^{-1} A P) &= \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} \overline{b_{11} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \\ \overline{b_{12} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \overline{b_{22} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \\ \end{matrix} & \Large{O} \; \\ \; \begin{matrix} \vdots & \vdots \\ \overline{b_{1n} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \overline{b_{2n} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \ddots & \\ \cdots & \overline{b_{nn} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; \\ \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ & b_{22} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & b_{1n} \\ \cdots & b_{2n} \\ \end{matrix} \; \\ \; \Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ & b_{nn} \\ \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \\ \\ (P^{-1} A P) \, (P^{-1} A P)^{\ast} &= \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ & b_{22} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & b_{1n} \\ \cdots & b_{2n} \\ \end{matrix} \; \\ \; \Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ & b_{nn} \\ \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} \overline{b_{11} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \\ \overline{b_{12} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \overline{b_{22} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \\ \end{matrix} & \Large{O} \; \\ \; \begin{matrix} \vdots & \vdots \\ \overline{b_{1n} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} & \overline{b_{2n} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \ddots & \\ \cdots & \overline{b_{nn} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; \\ \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

• したがって、（$\star$）式の両辺の $(1, 1)$ 成分を比べると、次が成り立ちます。

  $$\begin{align*} \overline{b_{11} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; b_{11} = b_{11} \overline{b_{11} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \, + b_{12} \overline{b_{12} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \, + \dots + b_{1n} \overline{b_{1n} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \end{align*}$$
  • ここで、$b_{1i}$ は任意のスカラー（実数または複素数）であるので、$b_{1i} \overline{b_{1i} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \, = \big\lvert \, b_{1i} \, \big\rvert \geqslant 0$ です。
  • よって、上式が成り立つならば、$b_{12} = b_{13} = \dots = b_{1n} = 0$ となります。

• 以下、同様に（$\star$）式の両辺の $(i, i)$ 成分を比べると、$b_{i \, i+1} = b_{i \, i+2} = \dots = b_{i \, n} = 0$ が得られます。

• つまり、$P^{-1} A P$ の対角成分以外の成分はすべて $0$ に等しく、$P^{-1} A P$ は対角行列となります。

• 以上から、（$1$）$A$ が正規行列であるならば（$2$）$A$ は対角化可能であることが示されました。

（$1$）$\Leftarrow$（$2$）の証明#

• 次に、（$2$）$A$ が対角化可能であれば（$2$）$A$ は正規行列であることを示します。

• いま、正方行列 $A$ に対して、次の式を満たすようなユニタリ行列 $P$ が存在するとすとします。

  $$\begin{align*} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \; b_{11} && \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} && b_{nn} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

• このとき、$(P^{-1} A P)^{\ast} \, (P^{-1} A P) = (P^{-1} A P) \, (P^{-1} A P)^{\ast}$ が成り立ち、$P^{-1} A P$ は正規行列となります。

  • このことは、次のように確かめられます。
    $$\begin{align*} (P^{-1} A P)^{\ast} \, (P^{-1} A P) &= \begin{pmatrix} \; \overline{b_{11} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; b_{11}&& \Large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \Large{O} && \overline{b_{nn} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; b_{nn} \; \\ \end{pmatrix} \\ \\ (P^{-1} A P) \, (P^{-1} A P)^{\ast} &= \begin{pmatrix} \; b_{11} \overline{b_{11} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; && \Large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \Large{O} && b_{nn} \overline{b_{nn} \vphantom{\big(\big)} \! \! \!} \; \; \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

• したがって、次が成り立ちます。

  $$\begin{alignat*} {2} && (P^{-1} A P)^{\ast} \, (P^{-1} A P) &= (P^{-1} A P) \, (P^{-1} A P)^{\ast} \\ & \Leftrightarrow & P^{-1} A^{\ast} P \, P^{-1} A P &= P^{-1} A P \, P^{-1} A^{\ast} P \\ & \Leftrightarrow & P^{-1} A^{\ast} A P &= P^{-1} A \, A^{\ast} P \end{alignat*}$$

• 上記の式に、左から $P$ を、右から $P^{-1}$ を掛けることで、$A^{\ast} A = A \, A^{\ast}$ が得られます。これは、$A$ は正規行列であることを表す式に他なりません。

• 以上から、（$2$）$A$ が対角化可能であれば（$2$）$A$ は正規行列であることが示されました。

まとめ#

• $n$ 次正方行列 $A$ について、次の $2$ つの条件は同値である。

  （$1$）$A$ が正規行列である。
  （$2$）$A$ は、適当なユニタリ行列 $P$ により対角化可能である。
  
  

• すなわち、正方行列 $A$ が正規行列であることと、次を満たすユニタリ行列 $P$ が存在することは同値である。

  $$\begin{align*} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} && \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} && \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

参考文献#

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