写像の合成と逆写像 目次 恒等写像とは、任意の元を自身に対応させる写像です。合成写像とは、2 2 2
ここでは、恒等写像・合成写像・逆写像を定義するとともに、その基本的な性質を示します。
恒等写像の定義# まず、恒等写像の定義を示します。
定義 A.3（恒等写像）# 集合 A A A A A A f f f a ∈ A a \in A a ∈ A f ( a ) = a f(a) = a f ( a ) = a A A A identity \text{identity} identity mapping \text{mapping} mapping id A \text{id}_A id A
恒等写像とは：任意の元を自身に移す写像# 恒等写像とは、任意の元を自身に対応させるような写像です。
恒等写像の基本的性質# 集合 A A A A A A a a a a a a
∀ a ∈ A , id A ( a ) = a
\begin{align*} \tag{a . 1.5 a.1.5 a .1.5 ∀ a ∈ A , id A ( a ) = a ( a .1.5 )
上記の定義 のように、集合 A A A A A A
合成写像の定義# 次に、合成写像の定義を示します。
定義 A.4（合成写像）# A , B , C A, B, C A , B , C f : A → B , f : A \to B, f : A → B , g : B → C g : B \to C g : B → C a ∈ A a \in A a ∈ A g ( f ( a ) ) ∈ C g(f(a)) \in C g ( f ( a )) ∈ C f f f g g g composed \text{composed} composed mapping \text{mapping} mapping g ∘ f g \circ f g ∘ f
合成写像とは：2 2 2 # 合成写像とは、2 2 2
集合 A A A a a a f f f B B B f ( a ) f(a) f ( a ) f ( a ) f(a) f ( a ) g g g C C C g ( f ( a ) ) g(f(a)) g ( f ( a )) f f f g g g A A A a a a C C C g ( f ( a ) ) g(f(a)) g ( f ( a )) 1 1 1
したがって、このような集合 A A A a a a C C C g ( f ( a ) ) g(f(a)) g ( f ( a )) 写像であるための条件 を満たしています。
合成写像の基本的性質# f f f g g g g ∘ f g \circ f g ∘ f A A A C C C
g ∘ f ( a ) = g ( f ( a ) )
\begin{align*} \tag{a . 1.6 a.1.6 a .1.6 g ∘ f ( a ) = g ( f ( a )) ( a .1.6 ) すなわち、任意の a ∈ A a \in A a ∈ A g ∘ f : A → C g \circ f : A \to C g ∘ f : A → C g ( f ( a ) ) ∈ C g(f(a)) \in C g ( f ( a )) ∈ C
合成写像のイメージ# 2 2 2 f : A → B f : A \to B f : A → B g : B → C g : B \to C g : B → C g ∘ f : A → C g \circ f : A \to C g ∘ f : A → C A A A C C C
逆写像の定義# 最後に、恒等写像と合成写像を用いて、逆写像を定義します。
定義 A.5（逆写像）# A , B A, B A , B f : A → B , f : A \to B, f : A → B , g : B → A g : B \to A g : B → A g ∘ f = id A g \circ f = \text{id}_A g ∘ f = id A f ∘ g = id B f \circ g = \text{id}_B f ∘ g = id B f f f g g g inverse \text{inverse} inverse mapping \text{mapping} mapping g = f − 1 , g = f^{-1}, g = f − 1 , f = g − 1 f = g^{-1} f = g − 1
逆写像とは：ある写像の逆対応で、写像であるもの# 逆写像とは、ある写像の逆対応であり、写像であるものです。
ある写像 f f f g g g g ∘ f g \circ f g ∘ f g g g f f f g = f − 1 g = f^{-1} g = f − 1
逆写像の基本的性質# 集合 A A A B B B f f f f − 1 f^{-1} f − 1
f − 1 ∘ f = id A f ∘ f − 1 = id B ( a . 1.7 )
\begin{align*}
f^{-1} \circ f &= \text{id}_{A} \\
f \circ f^{-1} &= \text{id}_{B}
\end{align*} \tag{a . 1.7 a.1.7 a .1.7 f − 1 ∘ f f ∘ f − 1 = id A = id B ( a .1.7 )
合成写像 g ∘ f , g \circ f, g ∘ f , f ∘ g f \circ g f ∘ g A A A a ∈ A a \in A a ∈ A f f f f ( a ) ∈ B f(a) \in B f ( a ) ∈ B g g g a ∈ A a \in A a ∈ A B B B
逆写像のイメージ# ある写像 f : A → B f : A \to B f : A → B f − 1 : B → A f^{-1} : B \to A f − 1 : B → A A A A B B B
逆写像の逆写像はもとの写像# いま、写像 g g g f f f f f f g g g f ∘ g f \circ g f ∘ g
つまり、逆写像の逆写像はもとの写像であるといえます。
逆写像を持つための条件# すべての写像が逆写像を持つわけではありません。
ある写像 f f f f f f f f f
写像の逆対応は必ずしも写像ではない# 前項の例 に示したような、平仮名と母音の対応（写像）は、逆写像を持たないような写像の 1 1 1
この例において考察したように、具体的に与えられた写像の逆対応は、必ずしも写像ではありません（前項の例の考察 を参照）。
逆写像を持たない写像# ここでは、前項の例 を一般化し、逆写像を持たない写像とはどのような写像であるか考えます。
いま、f : A → B f : A \to B f : A → B a 1 ≠ a 2 ∧ f ( a 1 ) = f ( a 2 ) a_1 \neq a_2 \wedge f(a_1) = f(a_2) a 1 = a 2 ∧ f ( a 1 ) = f ( a 2 ) a 1 , a 2 ∈ A a_1, a_2 \in A a 1 , a 2 ∈ A A A A a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 f f f
このような場合、f f f
背理法の仮定# f f f g g g g ∘ f = id A g \circ f = \text{id}_A g ∘ f = id A f ∘ g = id B f \circ g = \text{id}_B f ∘ g = id B g : B → A g : B \to A g : B → A
合成写像と恒等写像の定義を用いた演繹# このとき、合成写像 g ∘ f g \circ f g ∘ f （a.1.6）式 より、次が成り立ちます。
g ∘ f ( a 1 ) = g ( f ( a 1 ) ) , g ∘ f ( a 2 ) = g ( f ( a 2 ) )
\begin{align*}
g \circ f(a_1) &= g(f(a_1)) \, , \\
g \circ f(a_2) &= g(f(a_2))
\end{align*}
g ∘ f ( a 1 ) g ∘ f ( a 2 ) = g ( f ( a 1 )) , = g ( f ( a 2 ))
また、仮定より g ∘ f g \circ f g ∘ f id A \text{id}_{A} id A （a.1.5）式 より、次が成り立ちます。
g ∘ f ( a 1 ) = a 1 , g ∘ f ( a 2 ) = a 2
\begin{align*}
g \circ f(a_1) &= a_1 \, , \\
g \circ f(a_2) &= a_2
\end{align*}
g ∘ f ( a 1 ) g ∘ f ( a 2 ) = a 1 , = a 2
さらに、仮定より g : B → A g : B \to A g : B → A g g g f ( a 1 ) , f ( a 2 ) ∈ B f(a_1), f(a_2) \in B f ( a 1 ) , f ( a 2 ) ∈ B 写像の条件（ii \text{ii} ii ）。
f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ g ( f ( a 1 ) ) = g ( f ( a 2 ) )
\begin{align*}
f(a_1) = f(a_2) \; \Rightarrow \; g(f (a_1)) = g(f (a_2))
\end{align*}
f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ g ( f ( a 1 )) = g ( f ( a 2 ))
矛盾の導出# 以上から、
a 1 = g ∘ f ( a 1 ) = g ( f ( a 1 ) ) = g ( f ( a 2 ) ) = g ∘ f ( a 2 ) = a 2
\begin{split}
a_1 &= g \circ f (a_1) \\
&= g(f(a_1)) \\
&= g(f(a_2)) \\
&= g \circ f (a_2) \\
&= a_2 \\
\end{split}
a 1 = g ∘ f ( a 1 ) = g ( f ( a 1 )) = g ( f ( a 2 )) = g ∘ f ( a 2 ) = a 2
となりますが、これは a 1 ≠ a 2 a_1 \neq a_2 a 1 = a 2
したがって、「 g ∘ f = id A g \circ f = \text{id}_A g ∘ f = id A f ∘ g = id B f \circ g = \text{id}_B f ∘ g = id B g : B → A g : B \to A g : B → A f f f
つまり、写像 f f f a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 f ( a 1 ) , f(a_1), f ( a 1 ) , f ( a 2 ) f(a_2) f ( a 2 ) g g g 1 1 1 g g g
逆対応が写像であるための条件# 以上考察から、写像 f f f
実は、写像 f f f f f f
まとめ# 集合 A A A A A A f f f a ∈ A a \in A a ∈ A f ( a ) = a f(a) = a f ( a ) = a A A A id A \text{id}_A id A
A A A id A \text{id}_{A} id A ∀ a ∈ A , id A ( a ) = a
\begin{align*}
{}^{\forall} a \in A, \quad \text{id}_{A} (a) = a
\end{align*}
∀ a ∈ A , id A ( a ) = a A , B , C A, B, C A , B , C f : A → B , f : A \to B, f : A → B , g : B → C g : B \to C g : B → C a ∈ A a \in A a ∈ A g ( f ( a ) ) ∈ C g(f(a)) \in C g ( f ( a )) ∈ C f f f g g g g ∘ f g \circ f g ∘ f
f f f g g g g ∘ f g \circ f g ∘ f g ∘ f ( a ) = g ( f ( a ) )
\begin{align*}
g \circ f \, (a) = g(f(a))
\end{align*}
g ∘ f ( a ) = g ( f ( a )) A , B A, B A , B f : A → B , f : A \to B, f : A → B , g : B → A g : B \to A g : B → A g ∘ f = id A g \circ f = \text{id}_A g ∘ f = id A f ∘ g = id B f \circ g = \text{id}_B f ∘ g = id B f f f g g g g = f − 1 , g = f^{-1}, g = f − 1 , f = g − 1 f = g^{-1} f = g − 1
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966. [2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986. [3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010. [4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018. [5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008. [6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987. [7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022. [8] 雪江明彦. 代数学 1 1 1 [9] 雪江明彦. 代数学 2 2 2 [10] 桂利行. 代数学 I \text{I} I [11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976. [12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965. [13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002. [14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014. [15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-11-01 | 改訂：2025-06-06
