平行四辺形の面積

平面上のベクトルにより作られる平行四辺形や三角形の面積が、ベクトルの長さと内積によって表されることを示します。

ここで示す求積法は、平行四辺形や三角形の頂点の座標が与えられている場合に特に有効であり、他の求積法に比べてかなり少ない計算で面積を計算することができます。

ベクトルが作る平行四辺形の面積#

定理 1.7（平行四辺形の面積）#

平面上の $2$ つのベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ が作る平行四辺形の面積 $S$ は次の式で与えられる。

解説#

ベクトルが作る平行四辺形の面積#

平面上の $2$ つのベクトルにより作られる平行四辺形の面積は、それぞれのベクトルの長さと内積によって （1.2.8）式のように表すことができます。

$2$ つのベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ が作る平行四辺形とは、それぞれ $\bm{a} = (\, \overrightarrow{OA} \,),$ $\, \bm{b} = (\, \overrightarrow{OB} \,)$ としたとき、$OA, OB$ を隣り合う $2$ 辺として持つ平行四辺形のことです。$\bm{a} + \bm{b} = (\, \overrightarrow{OC} \,)$ とすれば、これは、下図の平行四辺形 $OACB$ に他なりません。

ベクトルが作る三角形の面積#

定理 1.7（平行四辺形の面積）より、平面上の $2$ つのベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ が作る三角形の面積 $S^{\prime}$ が次の式で与えられることがわかります。

これは、 上図において $\triangle OAB \equiv \triangle CBA$ であり、$\triangle OAB$ の面積は平行四辺形 $OACB$ のちょうど半分、すなわち $S^{\prime} = \displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, 2 \,} S$ であることから明らかといえます。

ベクトルが作る図形の求積法（ 定理 1.7の意義）

定理 1.7（平行四辺形の面積）は、ベクトルの長さと内積を計算することで平行四辺形や三角形の面積が求められることを示しています。しかしながら、しかしながら、求積法として 定理 1.7がそのまま適用できる場合は限られています。

定理 1.7を適用しない方が良い場合

辺の長さや内角の大きさがわかっている場合、三角比（$\sin$ など）により高さを求めて、次のような基本的な公式を適用した方が簡単です。

• （平行四辺形の面積）$=$（底辺）$\times$（高さ）
• （三角形の面積）$=$（底辺）$\times$（高さ）$\div$ $2$

辺の長さや内角の大きさがわかっている場合、内積の値を計算してから （1.2.8）式や （1.2.9）式により面積を計算する方法は効率的ではありません。

定理 1.7による求積法が有効な場合

定理 1.7による求積法が有効になるのは、平面上に座標系が与えられており、平行四辺形や三角形を作るベクトルが成分表示されている場合です。この場合、 定理 1.7による求積法は非常に強力なものとなります。

具体的な求積法については、以下の 系 1.8（平行四辺形の面積）にまとめます。

証明（定理 1.7）#

$2$ つのベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ のなす角を $\theta$ $\, (0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$、$\bm{a}, \bm{b}$ が作る平行四辺形の面積を $S$ とすると、$S = \lVert \, \bm{a} \, \rVert \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert \sin \theta$ であるから、次が成り立つ。

いま、 定理 1.5（シュワルツの不等式）より、$\lVert \, \bm{a} \, \rVert \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert \geqslant \bm{a} \cdot \bm{b}$ であるから、$\lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - \, (\, \bm{a} \cdot \bm{b} \,)^{2} \geqslant 0$ が成り立つ。また、$S \geqslant 0$ であることから、$S$ について次が成り立つ。

証明の考え方（定理 1.7）#

内積の定義と 定理 1.5（シュワルツの不等式）を用います。

• まず、平行四辺形の面積 $S$ の $2$ 乗を求めます。

  • 平行四辺形を作る $2$ つのベクトルを $\bm{a}, \bm{b}$ として、$\bm{a}$ と $\bm{b}$ のなす角を $\theta$ $\, (0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ とします。
  • 平行四辺形の面積は $S = \lVert \, \bm{a} \, \rVert \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert \sin \theta$ により計算できるので、$S^{2}$ は次のようになります。
    $$ \begin{align*} S^{2} &= \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} \, \sin^{2} \theta \\ &= \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} \, (1 - \cos^{2} \theta) \\ &= \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - \, (\lVert \, \bm{a} \, \rVert \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert \cos \theta)^{2} \\ &= \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - \, (\bm{a} \cdot \bm{b})^{2} \\ \end{align*} $$

• 両辺を $\displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, 2 \,}$ 乗して、$S$ に関する （1.2.8）式を導きます。

  • 定理 1.5（シュワルツの不等式）より $\lVert \, \bm{a} \, \rVert \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert \geqslant \bm{a} \cdot \bm{b}$ であることから、$\lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - \, (\, \bm{a} \cdot \bm{b} \,)^{2} \geqslant 0$ が成り立ちます。
  • また、当然ながら $S \geqslant 0$ であるので、次が成り立ちます。
    $$ \begin{gather*} S = \sqrt{\, \vphantom{a_{1}^{2}} \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - (\bm{a} \cdot \bm{b})^{2} \,} \end{gather*} $$

• 以上から、題意が示されました。

成分表示されたベクトルが作る平行四辺形の求積法#

定理 1.7（平行四辺形の面積）を用いた求積法を示します。

系 1.8（平行四辺形の面積）#

平面上に座標系が与えられており、平面上のベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ が次のように成分表示されるとする。

このとき、$\bm{a}, \bm{b}$ が作る平行四辺形の面積 $S$ は次の式で与えられる。

解説#

定理 1.7による求積法

上記の考察の通り、ベクトルが作る図形の求積法として 定理 1.7（平行四辺形の面積）がそのまま適用できる場合は限られています。 定理 1.7による求積法が有効になるのは、平面上に座標系が与えられており、平行四辺形や三角形を作るベクトルが成分表示されている場合です。

成分表示されたベクトルが作る平行四辺形の面積（ 系 1.8の主張）

系 1.8（平行四辺形の面積）は、平行四辺形の面積が $2$ つのベクトルの成分の積の差の絶対値に等しいことを表しています。

平行四辺形を作る $2$ つのベクトルの成分表示が明らかになっている場合、 （1.2.10）式は非常に簡単な計算となります。この場合、 系 1.8による求積法は、他の方法と比べても非常に強力な求積法となります。

また、以下の 計算例に示す通り、 系 1.8による求積法は、平行四辺形（または三角形）をなす頂点の座標が与えられている場合にも有効です。与えられた座標から、平行四辺形（または三角形）を作るベクトルの成分が直ちに計算できるからです（ ベクトルの成分表示）。

成分表示されたベクトルが作る三角形の面積#

系 1.8（平行四辺形の面積）より、平面上の $2$ つのベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ が作る三角形の面積 $S^{\prime}$ が次の式で与えられることがわかります。

これは、 上記の 定理 1.7（平行四辺形の面積）の場合の考察と同様に、$2$ つのベクトルが作る三角形の面積が（同じ $2$ つのベクトルが作る）平行四辺形の面積のちょうど半分、すなわち $S^{\prime} = \displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, 2 \,} S$ になることから明らかといえます。

証明（定理 1.8）#

定理 1.7（平行四辺形の面積）より、次が成り立つ。

証明の考え方（定理 1.8）#

定理 1.7（平行四辺形の面積）から直ちに導けます。

• 定理 1.7（平行四辺形の面積）の （1.2.8）式を、ベクトルの成分表示により計算していきます。

  $$ \begin{align*} S &\overset{(\text{i})}{=} \sqrt{\, \vphantom{a_{1}^{2}} \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - (\bm{a} \cdot \bm{b})^{2} \,} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \sqrt{\, (\, a_{1}^{2} + a_{2}^{2} \,) \, (\, b_{1}^{2} + b_{2}^{2} \,) - (\, a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} \,)^{2} \,} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \sqrt{\, \vphantom{a_{1}^{2}} (a_{1} b_{2})^{2} + (a_{2} b_{1})^{2} - 2 \, (a_{1} b_{2}) \, (a_{2} b_{1}) \,} \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \sqrt{\, \vphantom{a_{1}^{2}} (\, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \,)^{2} \,} \\ &\overset{(\text{v})}{=} \big\lvert \; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \; \big\rvert \\ \end{align*} $$
  • （$\text{i}$） 定理 1.7（平行四辺形の面積）によります。
  • （$\text{ii}$） 内積の定義と 定理 1.3（ベクトルの内積）によります。ベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ それぞれの長さと、$\bm{a}$ と $\bm{b}$ の内積を、$\bm{a}$ と $\bm{b}$ の成分により計算します。
  • （$\text{iii}$）（$\text{iv}$）式を展開してまとめると、$a_{1} b_{2}$ と $a_{2} b_{1}$ に関する $2$ 次式となります。
  • （$\text{v}$）根号を外します。$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ の値の正負は定まりませんので、絶対値の記号が残ります。

計算例（ベクトルが作る三角形の面積）#

定理 1.7（平行四辺形の面積）と 系 1.8（平行四辺形の面積）を用いた三角形の面積の計算例を示します。

実際の計算においては、 系 1.8を直接的に用います。この求積法は、平行四辺形や三角形の頂点の座標のみが与えられている場合、他の求積法よりも計算が少なく済むため、より有効な方法となります。

例題（三角形の面積）#

平面上に直交座標が与えられているとき、$(2, 1),$ $(-1, 3),$ $(3, 6)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。

解答#

座標 $(2, 1),$ $(-1, 3),$ $(3, 6)$ により与えられる点をそれぞれ $P,Q,R$ として、$\bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,),$ $\, \bm{b} = (\, \overrightarrow{PR} \,)$ とすると、$\bm{a}$ と $\bm{b}$ の成分はそれぞれ次のようになる。

$\triangle PQR$ の面積を $S^{\prime}$ とすると、 系 1.8（平行四辺形の面積）より、

解答の考え方#

与えられた頂点の座標から、三角形を作る $2$ つのベクトルの成分が直ちに計算でき（ ベクトルの成分表示）、 系 1.8（平行四辺形の面積）を適用することができます。

当然ながら、どの辺を $2$ つのベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ に対応させても答えは変わりません。

このように、平行四辺形または三角形の頂点の座標のみ与えられている場合、他の求積法（例えば、三平方の定理から底辺の長さを求め、点と直線の距離により（平行四辺形または三角形の）高さを求める方法）に比べて、かなり少ない計算量で面積を求めることができます。

まとめ#

• 平面上の $2$ つのベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ が作る平行四辺形の面積 $S$、三角形の面積 $S^{\prime}$ は次の式で与えられる。

  $$ \begin{align*} S &= \sqrt{\, \vphantom{a_{1}^{2}} \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - (\bm{a} \cdot \bm{b})^{2} \,} \\ \\ S^{\prime} &= \frac{\, 1 \,}{\, 2 \,} \sqrt{\, \vphantom{a_{1}^{2}} \lVert \, \bm{a} \, \rVert^{2} \, \lVert \, \bm{b} \, \rVert^{2} - (\bm{a} \cdot \bm{b})^{2} \,} \end{align*} $$

• 平面上に座標系が与えられており、平面上のベクトル $\bm{a}, \bm{b}$ が次のように成分表示されるとする。

  $$ \begin{array} {cc} \bm{a} = \begin{pmatrix} \, a_{1} \, \\ \, a_{2} \, \end{pmatrix}, & \bm{b} = \begin{pmatrix} \, b_{1} \, \\ \, b_{2} \, \end{pmatrix} \end{array} $$

  このとき、$\bm{a}, \bm{b}$ が作る平行四辺形の面積 $S$、三角形の面積 $S^{\prime}$ は次の式で与えられる。

  $$ \begin{align*} S &= \big\lvert \; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \; \big\rvert \\ \\ S^{\prime} &= \frac{\, 1 \,}{\, 2 \,} \big\lvert \; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \; \big\rvert \end{align*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.