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置換の積
置換の積とは、$2$ つの置換の 合成写像のことです。置換の積もまた置換となります。
ここでは、 置換の積を定義するとともに、その計算方法を示します。置換の積により、置換の集合を 群（対称群）として捉えることができるようになります。
置換の積の定義
まず、置換の積の定義を示し、置換の積もまた $1$ つの置換であることを確かめます。
定義 3.2（置換の積）
$M$ を集合として、$\sigma, \tau$ を $M$ 上の置換とする。$2$ つの置換 $\sigma$ と $\tau$ の合成写像を、$\sigma$ と $\tau$ の積（$\text{product}$）といい、$\tau \sigma$ と表す。
解説
置換の積とは：$2$ つの置換の合成写像
置換の積とは、$2$ つの置換の 合成写像に他なりません。
前項でみたように、$M$ 上の置換とは、$M$ から $M$ への全単射です（ 置換の定義）。したがって、$2$ つの置換 $\sigma, \tau$ に対して合成写像 $\tau \circ \sigma$ が定義でき、この合成写像を $2$ つの置換の積と呼ぶということです。
置換の積の表記
$2$ つの置換 $\sigma$ と $\tau$ の積は、$\tau \sigma$ のように表します。
$\sigma$ と $\tau$ の積 $\tau \sigma$ では、$\sigma$ と $\tau$ の合成写像 $\tau \circ \sigma$ と同じ順に、$\sigma$ と $\tau$ が並びます。置換の積が合成写像であることを考えれば、わかりやすいです。
置換の積もまた置換
$2$ つの置換の積も、また $1$ つの置換となります。このことは、 置換の定義と全単射の性質から明らかといえます。
置換の積が置換であることの確認
いま、$M$ 上の置換全体の集合を $S$ として、$2$ つの置換 $\sigma, \tau \in S$ に対して、置換の積 $\tau \sigma$ が $M$ 上の置換であることを確かめます。すなわち、次が成り立つことを確かめます。
$$
\begin{align*} \tag{3.1.3}
\sigma, \tau \in S \;\; \Rightarrow \;\; \tau \sigma \in S
\end{align*}
$$
まず、$\sigma, \tau$ は $M$上の置換であるので、$\sigma, \tau$ はともに $M$ から $M$ への写像となります（ 置換の定義）。よって、$\sigma$ と $\tau$ の合成写像 $\tau \circ \sigma$ が定義でき、$\tau \circ \sigma$ は $M$ から $M$ への写像となります。つまり、置換の積 $\tau \sigma$ は、$M$ から $M$ への写像であるということです。
同様に、$\sigma, \tau$ が $M$ 上の置換であることから、$\sigma, \tau$ はともに全単射となります（ 置換の定義）。全単射の合成写像は全単射であるので、置換の積 $\tau \sigma$ は全単射となります。
以上から、置換の積 $\tau \sigma$ は $M$ から $M$ への写像であり、かつ全単射であることが確かめられました。したがって、$\tau \sigma$ は $M$ 上の置換であり、$\tau \sigma \in S$ が成り立ちます。
置換の積の計算
次に、具体的に与えられた置換の積を計算する方法と、その具体例を示します。
置換の積の計算方法
$M_{n} = \{\, 1, 2, \cdots, n \, \}$ として、$\sigma, \tau$ を $M_{n}$ 上の $2$ つの置換とする。
$$
\begin{align*}
\sigma &= \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & \cdots & n \, \\
\, \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \, \\
\end{pmatrix}, \\ \\
\tau &= \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & \cdots & n \, \\
\, \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \, \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
このとき、$2$ つの置換の積 $\tau \sigma$ は、次のように表すことができる。
$$
\begin{equation} \tag{3.1.4}
\tau \sigma = \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & \cdots & n \, \\
\, \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
$$
解説
置換の積の表記
$2$ つの置換の積は、 前項の 置換の表記法にしたがって （3.1.3）式のように表せます。
このような表記は、置換の積が $2$ つの置換の合成であることから明らかといえます。
計算手順
（3.1.3）式は、具体的に与えられた置換の積の計算手順を示すものでもあります。
いま、$M_{n}$ を $n$ 文字の集合として、$M_{n}$ 上の置換 $\sigma, \tau$ の積について考えます。このとき、$2$ つの置換の積 $\tau \sigma$ が （3.1.3）式により表せることは、次のようにして確かめられます。
$$
\begin{split}
\tau \sigma
&\overset{(\text{i})}{=} \begin{pmatrix}
\, 1 & \cdots & n \, \\
\, \tau(1) & \cdots & \tau(n) \, \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\, 1 & \cdots & n \, \\
\, \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \, \\
\end{pmatrix} \\
&\overset{(\text{ii})}{=} \begin{pmatrix}
\, \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \, \\
\, \tau(\sigma(1)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\, 1 & \cdots & n \, \\
\, \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \, \\
\end{pmatrix} \\
&\overset{(\text{iii})}{=} \begin{pmatrix}
\, 1 & \cdots & n \, \\
\, \tau(\sigma(1)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
（$\text{i}$）対象となる置換の表記
まず、$2$ つの置換 $\sigma, \tau$ を、それぞれ 前項の 置換の表記法により表して並べます。ここで、置換を並べる順序は、積の順序の通りです。
（$\text{ii}$）文字の対応の並び変え
次に、置換 $\tau$ を、次のように変形します。
$$
\begin{align*}
\tau &= \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & \cdots & n \, \\
\, \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \, \\
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\, \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \, \\
\, \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
前項に示した通り、$M_{n}$ 上の置換は、$M_{n}$ の要素（文字）がそれぞれどこに移るかによって決定されるため、要素（文字）の対応の組み合わせが変わらなければ、並び順を変えても問題ありません（ 置換の表記法）。
したがって、ここでは、置換 $\tau$ の表記において、上段を $1, \cdots, n$ の順から $\sigma(1), \cdots, \sigma(n)$ の順に並び替えています。この並び替えに伴って、下段は $\tau(1), \cdots, \tau(n)$ の順から、$\tau(\sigma(1)), \cdots, \tau(\sigma(n))$ の順になります。
$$
\begin{array} {ccc}
\begin{align*}
1 \; &\mapsto \; \tau(1) \, , \\
2 \; &\mapsto \; \tau(2) \, , \\
& \; \; \vdots \\
\sigma(1) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(1)) \, , \\
% \sigma(2) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(2)) \, , \\
& \; \; \vdots
\end{align*}
& \Rightarrow &
\begin{align*}
\sigma(1) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(1)) \, , \\
\sigma(2) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(2)) \, , \\
& \; \; \vdots \\
\sigma(i) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(i)) \, , \\
& \; \; \vdots
\end{align*}
\end{array}
$$
ここで、$1$ が $\tau(1)$ に移り、$2$ が $\tau(2)$ に移り、$\cdots$ $\sigma(1)$ が $\tau(\sigma1)$ に移り、$\cdots$ という文字の対応関係は変わらず、並び順だけが変わっています。
（$\text{iii}$）$1$ つの置換として表記
最後に、 上記（$\text{ii}$）の結果を踏まえて表記を整理し、$2$ つの置換の積を $1$ つの置換として表します。
上記（$\text{ii}$）では、積の第 $1$ 項にあたる置換 $\tau$ を対象に変形を行います。（置換の積の第 $1$ 項は、これを写像の合成と考えたときの第 $2$ 関数、すなわち、後から適用される関数に対応します。）
これにより、第 $1$ 項（並び替えた $\tau$ ）の上段と、第 $2$ 項（ $\sigma$ ）の下段が一致しますので、これを $1$ つの置換として書き直すことができます。
置換の積の計算（例）
上記の計算方法にしたがって、具体的に与えられた置換の積を計算する例を示します。
$M_{4}$ 上の置換の積の計算
例えば、$M_{4}$ を $4$ 文字の集合として、$\sigma, \tau$ を、次のような $M_{4}$ 上の置換とします。
$$
\begin{align*}
\sigma &= \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\end{pmatrix}, \\ \\
\tau &= \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
このとき、$2$ つの置換の積 $\tau \sigma$ は、次のように表せます。
$$
\begin{split}
\tau \sigma
&\overset{(\text{i})}{=} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\end{pmatrix} \\
&\overset{(\text{ii})}{=} \begin{pmatrix}
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\end{pmatrix} \\
&\overset{(\text{iii})}{=} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
解説
上記の計算方法にしたがって、（$\text{i}$）対象となる置換の表記を並べて（$\text{ii}$）文字の対応を並び変え、（$\text{iii}$）$1$ つの置換として表すことで、置換の積が計算できます。
$$
\begin{split}
\tau \sigma
&\overset{(\text{i})}{=} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\end{pmatrix} \\
&\overset{(\text{ii})}{=} \begin{pmatrix}
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\end{pmatrix} \\
&\overset{(\text{iii})}{=} \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
（$\text{i}$）対象となる置換の表記
まず、$2$ つの置換 $\sigma, \tau$ を、それぞれ 前項の 置換の表記法により表し、積の順序に並べます。
（$\text{ii}$）文字の対応の並び変え
次に、置換 $\tau$ を、次のように変形します。
$$
\begin{align*}
\tau &= \begin{pmatrix}
\, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\
\, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\
\, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
この変形により、上下の文字の対応は変わりません。また、$\tau$ の上段の文字が、$\sigma$ の下段の文字と同じ順に並ぶようにします。
$$
\begin{align*}
1 \; &\mapsto \; 2 \, , \\
2 \; &\mapsto \; 1 \, , \\
3 \; &\mapsto \; 4 \, , \\
4 \; &\mapsto \; 3 \\
\end{align*}
$$
（$\text{iii}$）$1$ つの置換として表記
最後に、第 $1$ 項（並び替えた $\tau$ ）の上段と、第 $2$ 項（ $\sigma$ ）の下段が一致していることから、これを $1$ つの置換として書き直します。
まとめ
- $M$ 上の $2$ つの置換 $\sigma, \tau$ の合成写像を、$\sigma$ と $\tau$ の積といい、$\tau \sigma$ と表す。
- $M$上の $2$ つの置換 $\sigma$, $\tau$ の積 $\tau \sigma$ もまた $M$ 上の $1$ つの置換である。
参考文献
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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
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[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-10-25 | 改訂：2025-06-19