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置換の積

置換の積とは、22 つの置換の合成写像のことです。置換の積もまた置換となります。

ここでは、置換の積を定義するとともに、その計算方法を示します。置換の積により、置換の集合を群（対称群）として捉えることができるようになります。

置換の積の定義

まず、置換の積の定義を示し、置換の積もまた 11 つの置換であることを確かめます。

定義 3.2（置換の積）

MM を集合として、σ,τ\sigma, \tau を MM 上の置換とする。22 つの置換 σ\sigma と τ\tau の合成写像を、σ\sigma と τ\tau の積（product\text{product}）といい、τσ\tau \sigma と表す。


解説

置換の積とは：22 つの置換の合成写像

置換の積とは、22 つの置換の合成写像に他なりません。

前項でみたように、MM 上の置換とは、MM から MM への全単射です（置換の定義）。したがって、22 つの置換 σ,τ\sigma, \tau に対して合成写像 τ∘σ\tau \circ \sigma が定義でき、この合成写像を 22 つの置換の積と呼ぶということです。

置換の積の表記

22 つの置換 σ\sigma と τ\tau の積は、τσ\tau \sigma のように表します。

σ\sigma と τ\tau の積 τσ\tau \sigma では、σ\sigma と τ\tau の合成写像 τ∘σ\tau \circ \sigma と同じ順に、σ\sigma と τ\tau が並びます。置換の積が合成写像であることを考えれば、わかりやすいです。

置換の積もまた置換

22 つの置換の積も、また 11 つの置換となります。このことは、置換の定義と全単射の性質から明らかといえます。

置換の積が置換であることの確認

いま、MM 上の置換全体の集合を SS として、22 つの置換 σ,τ∈S\sigma, \tau \in S に対して、置換の積 τσ\tau \sigma が MM 上の置換であることを確かめます。すなわち、次が成り立つことを確かめます。

σ,τ∈S    ⇒    τσ∈S \begin{align*} \tag{3.1.3} \sigma, \tau \in S \;\; \Rightarrow \;\; \tau \sigma \in S \end{align*}

まず、σ,τ\sigma, \tau は MM上の置換であるので、σ,τ\sigma, \tau はともに MM から MM への写像となります（置換の定義）。よって、σ\sigma と τ\tau の合成写像 τ∘σ\tau \circ \sigma が定義でき、τ∘σ\tau \circ \sigma は MM から MM への写像となります。つまり、置換の積 τσ\tau \sigma は、MM から MM への写像であるということです。

同様に、σ,τ\sigma, \tau が MM 上の置換であることから、σ,τ\sigma, \tau はともに全単射となります（置換の定義）。全単射の合成写像は全単射であるので、置換の積 τσ\tau \sigma は全単射となります。

以上から、置換の積 τσ\tau \sigma は MM から MM への写像であり、かつ全単射であることが確かめられました。したがって、τσ\tau \sigma は MM 上の置換であり、τσ∈S\tau \sigma \in S が成り立ちます。


置換の積の計算

次に、具体的に与えられた置換の積を計算する方法と、その具体例を示します。

置換の積の計算方法

Mn={ 1,2,⋯ ,n }M_{n} = \{\, 1, 2, \cdots, n \, \} として、σ,τ\sigma, \tau を MnM_{n} 上の 22 つの置換とする。

σ=( 12⋯n  σ(1)σ(2)⋯σ(n) ),τ=( 12⋯n  τ(1)τ(2)⋯τ(n) ) \begin{align*} \sigma &= \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & \cdots & n \, \\ \, \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \, \\ \end{pmatrix}, \\ \\ \tau &= \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & \cdots & n \, \\ \, \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \, \\ \end{pmatrix} \end{align*}

このとき、22 つの置換の積 τσ\tau \sigma は、次のように表すことができる。

τσ=( 12⋯n  τ(σ(1))τ(σ(2))⋯τ(σ(n)) ) \begin{equation} \tag{3.1.4} \tau \sigma = \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & \cdots & n \, \\ \, \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\ \end{pmatrix} \end{equation}


解説

置換の積の表記

22 つの置換の積は、前項の置換の表記法にしたがって（3.1.3）式のように表せます。

このような表記は、置換の積が 22 つの置換の合成であることから明らかといえます。

計算手順

（3.1.3）式は、具体的に与えられた置換の積の計算手順を示すものでもあります。

いま、MnM_{n} を nn 文字の集合として、MnM_{n} 上の置換 σ,τ\sigma, \tau の積について考えます。このとき、22 つの置換の積 τσ\tau \sigma が（3.1.3）式により表せることは、次のようにして確かめられます。

τσ=(i)( 1⋯n  τ(1)⋯τ(n) )( 1⋯n  σ(1)⋯σ(n) )=(ii)( σ(1)⋯σ(n)  τ(σ(1))⋯τ(σ(n)) )( 1⋯n  σ(1)⋯σ(n) )=(iii)( 1⋯n  τ(σ(1))⋯τ(σ(n)) ) \begin{split} \tau \sigma &\overset{(\text{i})}{=} \begin{pmatrix} \, 1 & \cdots & n \, \\ \, \tau(1) & \cdots & \tau(n) \, \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \, 1 & \cdots & n \, \\ \, \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \, \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \begin{pmatrix} \, \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \, \\ \, \tau(\sigma(1)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \, 1 & \cdots & n \, \\ \, \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \, \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \begin{pmatrix} \, 1 & \cdots & n \, \\ \, \tau(\sigma(1)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\ \end{pmatrix} \end{split}

（i\text{i}）対象となる置換の表記

まず、22 つの置換 σ,τ\sigma, \tau を、それぞれ前項の置換の表記法により表して並べます。ここで、置換を並べる順序は、積の順序の通りです。

（ii\text{ii}）文字の対応の並び変え

次に、置換 τ\tau を、次のように変形します。

τ=( 12⋯n  τ(1)τ(2)⋯τ(n) )=( σ(1)σ(2)⋯σ(n)  τ(σ(1))τ(σ(2))⋯τ(σ(n)) ) \begin{align*} \tau &= \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & \cdots & n \, \\ \, \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \, \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \, \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \, \\ \, \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \cdots & \tau(\sigma(n)) \, \\ \end{pmatrix} \end{align*}

前項に示した通り、MnM_{n} 上の置換は、MnM_{n} の要素（文字）がそれぞれどこに移るかによって決定されるため、要素（文字）の対応の組み合わせが変わらなければ、並び順を変えても問題ありません（置換の表記法）。

したがって、ここでは、置換 τ\tau の表記において、上段を 1,⋯ ,n1, \cdots, n の順から σ(1),⋯ ,σ(n)\sigma(1), \cdots, \sigma(n) の順に並び替えています。この並び替えに伴って、下段は τ(1),⋯ ,τ(n)\tau(1), \cdots, \tau(n) の順から、τ(σ(1)),⋯ ,τ(σ(n))\tau(\sigma(1)), \cdots, \tau(\sigma(n)) の順になります。

1  ↦  τ(1) ,2  ↦  τ(2) ,    ⋮σ(1)  ↦  τ(σ(1)) ,    ⋮⇒σ(1)  ↦  τ(σ(1)) ,σ(2)  ↦  τ(σ(2)) ,    ⋮σ(i)  ↦  τ(σ(i)) ,    ⋮ \begin{array} {ccc} \begin{align*} 1 \; &\mapsto \; \tau(1) \, , \\ 2 \; &\mapsto \; \tau(2) \, , \\ & \; \; \vdots \\ \sigma(1) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(1)) \, , \\ % \sigma(2) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(2)) \, , \\ & \; \; \vdots \end{align*} & \Rightarrow & \begin{align*} \sigma(1) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(1)) \, , \\ \sigma(2) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(2)) \, , \\ & \; \; \vdots \\ \sigma(i) \; &\mapsto \; \tau(\sigma(i)) \, , \\ & \; \; \vdots \end{align*} \end{array}

ここで、11 が τ(1)\tau(1) に移り、22 が τ(2)\tau(2) に移り、⋯\cdots σ(1)\sigma(1) が τ(σ1)\tau(\sigma1) に移り、⋯\cdots という文字の対応関係は変わらず、並び順だけが変わっています。

（iii\text{iii}）11 つの置換として表記

最後に、上記（ii\text{ii}）の結果を踏まえて表記を整理し、22 つの置換の積を 11 つの置換として表します。

上記（ii\text{ii}）では、積の第 11 項にあたる置換 τ\tau を対象に変形を行います。（置換の積の第 11 項は、これを写像の合成と考えたときの第 22 関数、すなわち、後から適用される関数に対応します。）

これにより、第 11 項（並び替えた τ\tau ）の上段と、第 22 項（ σ\sigma ）の下段が一致しますので、これを 11 つの置換として書き直すことができます。


置換の積の計算（例）

上記の計算方法にしたがって、具体的に与えられた置換の積を計算する例を示します。

M4M_{4} 上の置換の積の計算

例えば、M4M_{4} を 44 文字の集合として、σ,τ\sigma, \tau を、次のような M4M_{4} 上の置換とします。

σ=( 1234  3241 ),τ=( 1234  2143 ) \begin{align*} \sigma &= \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \end{pmatrix}, \\ \\ \tau &= \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\ \end{pmatrix} \end{align*}

このとき、22 つの置換の積 τσ\tau \sigma は、次のように表せます。

τσ=(i)( 1234  2143 )( 1234  3241 )=(ii)( 3241  4132 )( 1234  3241 )=(iii)( 1234  4132 ) \begin{split} \tau \sigma &\overset{(\text{i})}{=} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \begin{pmatrix} \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\ \end{pmatrix} \end{split}


解説

上記の計算方法にしたがって、（i\text{i}）対象となる置換の表記を並べて（ii\text{ii}）文字の対応を並び変え、（iii\text{iii}）11 つの置換として表すことで、置換の積が計算できます。

τσ=(i)( 1234  2143 )( 1234  3241 )=(ii)( 3241  4132 )( 1234  3241 )=(iii)( 1234  4132 ) \begin{split} \tau \sigma &\overset{(\text{i})}{=} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \begin{pmatrix} \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\ \end{pmatrix} \end{split}

（i\text{i}）対象となる置換の表記

まず、22 つの置換 σ,τ\sigma, \tau を、それぞれ前項の置換の表記法により表し、積の順序に並べます。

（ii\text{ii}）文字の対応の並び変え

次に、置換 τ\tau を、次のように変形します。

τ=( 1234  2143 )=( 3241  4132 ) \begin{align*} \tau &= \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & 3 & 4 \, \\ \, 2 & 1 & 4 & 3 \, \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \, 3 & 2 & 4 & 1 \, \\ \, 4 & 1 & 3 & 2 \, \\ \end{pmatrix} \end{align*}

この変形により、上下の文字の対応は変わりません。また、τ\tau の上段の文字が、σ\sigma の下段の文字と同じ順に並ぶようにします。

1  ↦  2 ,2  ↦  1 ,3  ↦  4 ,4  ↦  3 \begin{align*} 1 \; &\mapsto \; 2 \, , \\ 2 \; &\mapsto \; 1 \, , \\ 3 \; &\mapsto \; 4 \, , \\ 4 \; &\mapsto \; 3 \\ \end{align*}

（iii\text{iii}）11 つの置換として表記

最後に、第 11 項（並び替えた τ\tau ）の上段と、第 22 項（ σ\sigma ）の下段が一致していることから、これを 11 つの置換として書き直します。


まとめ

  • MM 上の 22 つの置換 σ,τ\sigma, \tau の合成写像を、σ\sigma と τ\tau の積といい、τσ\tau \sigma と表す。
  • MM上の 22 つの置換 σ\sigma, τ\tau の積 τσ\tau \sigma もまた MM 上の 11 つの置換である。

参考文献

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初版：2022-10-25   |   改訂：2025-06-19
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