余因子行列と逆行列（1）

$n$ 次の正方行列に対して定まる余因子行列を定義するとともに、余因子行列について成り立つ基本的な定理を示します。

この定理は行列式の展開を行列の積の形で表現したものであり、次項で詳しくみるように、ある行列が逆行列を持つための条件について考える際に重要な役割を担います。

余因子行列の定義#

定義 3.11（余因子行列）#

$n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする行列を $A$ の余因子行列（$\text{cofactor matrix / adjugate matrix}$）といい、$\tilde{A}$ と表す。

（3.6.6）式において、行列の各要素の添え字の順序に注意が必要です。すなわち、$A$ の第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ が $\tilde{A}$ の $(i,j)$ 成分に対応しおり、行番号を表す $i$ と列番号を表す $j$ が入替って並んでいます。別のいい方をすれば、行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする行列を仮に $B$ として、$B$ の転置行列が余因子行列 $\tilde{A}$ に等しくなります。

余因子行列に関する基本定理#

定理 3.21（余因子行列）#

$n$ 次の正方行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ について、次が成り立つ。

この定理は、余因子および余因子行列の基本的な性質を表す定理ともいえます。また、下の証明に詳しく見るように、定理 3.21は、前々項で示した行列の展開に関する（3.6.5）式を行列の積として表現し直したものとも捉えることができます。このことから、教科書によっては（[1], [2]など）これを定理 3.19（行列式の展開 1）と定理 3.20（行列式の展開 2）との系としているものもあります。

証明#

$A = (\, a_{ij} \,), \; \tilde{A} = (\, b_{ij} \,)$ とすると $b_{ij} = \tilde{a}_{ji}$ が成り立つ。また、定理 3.19および定理 3.20より、$\displaystyle \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} = \delta_{ij} \, \det A$であるから、$A \tilde{A}$ は次のように表すことができる。

したがって $A \tilde{A} = ( \det A ) \; E_n$ が成り立つ。$\tilde{A} A = ( \det A ) \; E_n$ についても同様に示すことができる。$\quad \square$

証明の骨子#

余因子行列の定義と、定理 3.19（行列式の展開 1）と定理 3.20（行列式の展開 2）から、直ちに導くことができます。

• 定義にしたがって行列の積 $A \tilde{A}$ を計算します。

  • $A = (\, a_{ij} \,), \; \tilde{A} = (\, b_{ij} \,)$ とおくと、行列の積の定義より $A \tilde{A}$ は次のようになります。

    $$ \begin{align*} \begin{split} A \tilde{A} &= \left( \, \sum_{k} \; a_{ik} \, b_{kj} \, \right) \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    

  • 余因子行列の定義より、$b_{ij} = \tilde{a}_{ji}$ となりますので、これを置き換えます。この置換えにより、定理 3.19と定理 3.20がそのまま適用できる形になります。

    $$ \begin{align*} \begin{split} A \tilde{A} &= \left( \, \sum_{k} \; a_{ik} \, b_{kj} \, \right) \\ &= \left( \, \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \, \right) \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    

  • ここまでの変形は、より明示的には次のように理解できます。

    • $A$ と $\tilde{A}$ は次のような行列です。

      $$ \begin{array} {cc} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}, & \tilde{A} = \begin{pmatrix} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \cdots & \tilde{a}_{n1} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \cdots & \tilde{a}_{nn} \\ \end{pmatrix} \\ \end{array} $$
      
      

    • このとき、行列の積 $A \tilde{A}$ の $(i, j)$ 成分は、行列の積の定義より、$A$ の第 $i$ 行を左から、$\tilde{A}$ の第 $j$ 列を上から順番に掛けたものの和になります。

      $$ \begin{align*} ( \, A \tilde{A} \, )_{ij} = a_{i1} \tilde{a}_{j1} + a_{i2} \tilde{a}_{j2} + \cdots + a_{in} \tilde{a}_{jn} = \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \end{align*} $$
      
      

    • したがって、$A \tilde{A} = \biggl( \, \displaystyle \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \, \biggr) $ が得られるというわけです。

• 定理 3.19と定理 3.20を用いて、計算結果を整理します。

  • 定理 3.19と定理 3.20より次が成り立ちます。これは、行に関する行列式の展開に対応します。

    $$ \begin{align*} \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} = \left\{ \begin{array} {lc} \det A & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \\ \end{array} \right\} = \delta_{ij} \, \det A \end{align*} $$
    
    

  • これを上で得られた式に適用しますと、次のようになります。

    $$ \begin{align*} \begin{split} A \tilde{A} &\overset{(1)}{=} \biggl( \, \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \, \biggr) \\ &\overset{(2)}{=} \biggl( \, \delta_{ij} \, \det A \, \biggr) \\ &\overset{(3)}{=} \det A \; ( \, \delta_{ij} \, ) \\ &\overset{(4)}{=} (\det A) \; E_n \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    
    • （$3$）$\det A$ は $i, j$ によらないため、行列の成分による表示（括弧）の外に出ます。
    • （$4$）単位行列の定義より、$E_n = ( \, \delta_{ij} \, )$ が成り立ちますので、定理の表記に合わせて $E_n$ に直します。

  • ここまでの変形は、省略せずに表せば次のようになります。

    $$ \begin{align*} \begin{split} A \tilde{A} &= \begin{pmatrix} \; \displaystyle \sum_{k} \; a_{1k} \, \tilde{a}_{1k} & \displaystyle \sum_{k} \; a_{1k} \, \tilde{a}_{2k} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} \; a_{1k} \, \tilde{a}_{nk} \; \\ \; \displaystyle \sum_{k} \; a_{2k} \, \tilde{a}_{1k} & \displaystyle \sum_{k} \; a_{2k} \, \tilde{a}_{2k} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} \; a_{2k} \, \tilde{a}_{nk} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; \displaystyle \sum_{k} \; a_{nk} \, \tilde{a}_{1k} & \displaystyle \sum_{k} \; a_{nk} \, \tilde{a}_{2k} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} \; a_{nk} \, \tilde{a}_{nk} \; \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \; \det A & 0 & \cdots & 0 \; \\ \; 0 & \det A & \cdots & 0 \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & 0 & \cdots & \det A \; \\ \end{pmatrix} \\ &= \det A \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} 1 & \\ & 1 \end{matrix} & \large{O} \; \\ \; \large{O} & \begin{matrix} \ddots & \\ & 1 \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \\ &= (\det A) \; E_n \end{split} \end{align*} $$

  • 以上から、$A \tilde{A} = (\det A) \; E_n$ が示されました。

• $\tilde{A} A = (\det A) \; E_n$ も同様に示すことができますので、題意が示されたことになります。

まとめ#

• $n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする行列を $A$ の余因子行列といい、$\tilde{A}$ と表す。

  $$ \begin{equation*} \tilde{A} = \begin{pmatrix} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \cdots & \tilde{a}_{n1} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \cdots & \tilde{a}_{nn} \\ \end{pmatrix} \end{equation*} $$
  
  

• $n$ 次の正方行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ について、次が成り立つ。

  $$ \begin{equation*} A \tilde{A} = \tilde{A} A = ( \det A ) \; E_n \end{equation*} $$
  
  

参考文献#