余因子行列

余因子行列を定義するとともに、その基本的な性質を示します。

ある行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ の積は、 余因子による 行列式の展開をまとめて表現したものといえます。これは、行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件を考える上で、重要な役割を果たします。

余因子行列の定義#

定義 3.11（余因子行列）#

$n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする行列を $A$ の余因子行列（$\text{cofactor matrix / adjugate matrix}$）といい、$\tilde{A}$ と表す。

解説#

余因子により構成される行列#

余因子行列は、もととなる行列の余因子により構成される行列です。

余因子行列 $\tilde{A}$ を定めるためには、もとの行列 $A$ の余因子を求める必要があります。したがって、もとの行列 $A$ は正方行列である必要があります。つまり、余因子行列は正方行列に対して定義されるものであるといえます。

余因子行列ともとの行列との対応#

成分の対応関係（添え字の注意点）#

余因子行列 $\tilde{A}$ の成分と、対応する行列 $A$ の成分は、行と列が入れ替わった位置関係にあります。

（3.6.6）式において各成分の添え字に着目すると、余因子行列 $\tilde{A}$ の $(i,j)$ 成分 は、もとの行列 $A$ の 第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ となっています。もとの行列に対して、行番号を表す $i$ と列番号を表す $j$ が入替っている点に注意が必要です。

例えば、$\tilde{A}$ の $(2,1)$ 成分は、$A$ の $(1,2)$ 成分に対応する余因子（すなわち、第 $(1,2)$ 余因子 $\tilde{a}_{12}$ ）となります。

転置行列による対応関係の表現#

別のいい方をすれば、行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする行列を仮に $B$ とすると、この $B$ の転置行列こそ、余因子行列 $\tilde{A}$ に他なりません。

これらの対応関係は、次のように表せます。

余因子行列の基本的性質#

定理 3.21（余因子行列）#

$n$ 次の正方行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ について、次が成り立つ。

解説#

余因子行列による行列式の展開の表現#

定理 3.21（余因子行列）は、 余因子による 行列式の展開を、行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ の積として、まとめて表現したものです。

具体的には、行列式の展開に関する次の （3.6.5）式を、行列の積として表した形といえます。

また、 （3.6.5）式は、 定理 3.19（行列式の展開 1）と 定理 3.20（行列式の展開 2）をまとめたものです。このような理由から、 定理 3.21を、 定理 3.19と 定理 3.20の系としている教科書もあります（ [1], [2]など）。

行列が正則であるための条件の導出#

定理 3.21（余因子行列）は、行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件を導く上で、重要な役割を果たします。このことについては、 次項に改めて整理します。

証明#

$A = (\, a_{ij} \,)$ とし、その余因子行列を $\tilde{A} = (\, b_{ij} \,)$ とすると、 定義より $b_{ij} = \tilde{a}_{ji}$ が成り立つ。また、 定理 3.19（行列式の展開 1）および 定理 3.20（行列式の展開 2）より、次が成り立つ。

したがって、$A$ と $\tilde{A}$ の積は、次のように表せる。

また、$\tilde{A} \, A = ( \det A ) \; E_n$ も、同様に成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方#

（$1$） 余因子行列の定義にしたがって $A$ と $\tilde{A}$ の積をとり、（$2$）行列式の展開に関する （3.6.5）式を用いて、積を整理します。

（1）行列と余因子行列の積#

• 余因子行列の定義にしたがって、$A$ と $\tilde{A}$ の積を計算します。

• $A$ と $\tilde{A}$ を、それぞれ $A = (\, a_{ij} \,), \; \tilde{A} = (\, b_{ij} \,)$ とおきます。このとき、行列の積 $A \, \tilde{A}$ は、次のように表せます（ 行列の積の定義）。

  $$ \begin{align*} \begin{split} A \, \tilde{A} &= \Bigl( \, \sum_{k} \; a_{ik} \, b_{kj} \, \Bigr) \\ \end{split} \end{align*} $$

• ここで、 余因子行列の定義より、$b_{ij} = \tilde{a}_{ji}$ が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \begin{split} A \, \tilde{A} &= \Bigl( \, \sum_{k} \; a_{ik} \, b_{kj} \, \Bigr) \\ &= \Bigl( \, \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \, \Bigr) \\ \end{split} \end{align*} $$

  • $A$ と $\tilde{A}$ は、明示的には、次のような行列です。

    $$ \begin{align*} A &= \begin{pmatrix} \, a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \, \\ \, a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \, \\ \, \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \, \\ \, a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \, \\ \end{pmatrix}, \\ \\ \tilde{A} &= \begin{pmatrix} \, \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \cdots & \tilde{a}_{n1} \, \\ \, \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{n2} \, \\ \, \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \, \\ \, \tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \cdots & \tilde{a}_{nn} \, \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$

  • 行列の積 $A \, \tilde{A}$ の $(i, j)$ 成分を考えると、 行列の積の定義より、$A$ の第 $i$ 行を左から、$\tilde{A}$ の第 $j$ 列を上から順番に掛けたものの和になります。

    $$ \begin{split} \bigl( \, A \tilde{A} \, \bigr)_{ij} &= a_{i1} \tilde{a}_{j1} + a_{i2} \tilde{a}_{j2} + \cdots + a_{in} \tilde{a}_{jn} \\ &= \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \\ \end{split} $$

• したがって、$A$ と $\tilde{A}$ の積は、次のように表せることがわかります。

  $$ \begin{align*} A \, \tilde{A} = \Bigl(\, \displaystyle \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \, \Bigr) \end{align*} $$
  • この置換えにより、行列式の展開に関する （3.6.5）式がそのまま適用できる形になります。

（2）積の整理#

• 行列式の展開に関する （3.6.5）式を用いて、$A \tilde{A}$ の計算結果を整理します。

  • 定理 3.19（行列式の展開 1）と 定理 3.20（行列式の展開 2）より、次の（$\star$）が成り立ちます。

    $$ \begin{equation*} \left\lbrace \begin{array} {cc} (\text{i}) & \displaystyle \sum_{k}^{n} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} = \delta_{ij} \, \det A \\ (\text{ii}) & \displaystyle \sum_{k}^{n} \; a_{kj} \, \tilde{a}_{ki} = \delta_{ji} \, \det A \\ \end{array} \right. \end{equation*} \tag{$\star$} $$

  • （$\star$）式では、 定理 3.20の項に示した （3.6.5）式と添え字の順序が異なる点に注意が必要です。文字の出現順によりこのような違いが生まれていますが、趣旨は同じです。

• （$\star$）式の（$\text{i}$）を、 上記の行列の積 $A \tilde{A}$ に適用すると、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \begin{split} A \, \tilde{A} &\overset{(\alpha)}{=} \Bigl(\, \sum_{k} \; a_{ik} \, \tilde{a}_{jk} \, \Bigr) \\ &\overset{(\beta)}{=} \Bigl(\, \delta_{ij} \, \det A \, \Bigr) \\ &\overset{(\gamma)}{=} \det A \; \Bigl(\, \delta_{ij} \, \Bigr) \\ &\overset{(\delta)}{=} (\det A) \; E_n \\ \end{split} \end{align*} $$
  • （$\beta$） （$\star$）式の（$\text{i}$）によります。
  • （$\gamma$）$\det A$ は $i, j$ によらないため、行列の成分表示（括弧）の外に出ます。
  • （$\delta$） 単位行列の定義より、$E_n = ( \, \delta_{ij} \, )$ が成り立ちますので、定理の表記に合わせて $E_n$ に直します。

• ここまでの変形を省略せずに表すと、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \begin{split} A \, \tilde{A} &\overset{(\alpha)}{=} \begin{pmatrix} \; \displaystyle \sum_{k} \; a_{1k} \, \tilde{a}_{1k} & \displaystyle \sum_{k} \; a_{1k} \, \tilde{a}_{2k} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} \; a_{1k} \, \tilde{a}_{nk} \; \\ \; \displaystyle \sum_{k} \; a_{2k} \, \tilde{a}_{1k} & \displaystyle \sum_{k} \; a_{2k} \, \tilde{a}_{2k} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} \; a_{2k} \, \tilde{a}_{nk} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; \displaystyle \sum_{k} \; a_{nk} \, \tilde{a}_{1k} & \displaystyle \sum_{k} \; a_{nk} \, \tilde{a}_{2k} & \cdots & \displaystyle \sum_{k} \; a_{nk} \, \tilde{a}_{nk} \; \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\beta)}{=} \begin{pmatrix} \; \det A & 0 & \cdots & 0 \; \\ \; 0 & \det A & \cdots & 0 \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & 0 & \cdots & \det A \; \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\gamma)}{=} \det A \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} 1 & \\ & 1 \end{matrix} & \large{O} \; \\ \; \large{O} & \begin{matrix} \ddots & \\ & 1 \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \\ &\overset{(\delta)}{=} (\det A) \; E_n \end{split} \end{align*} $$

• 以上から、$A \, \tilde{A} = (\det A) \; E_n$ が示されました。

• $\tilde{A} \, A = (\det A) \; E_n$ も、同様に示すことができます。

  • $\tilde{A} \, A = (\det A) \; E_n$ の証明では、 （$\star$）式の（$\text{ii}$）を用います。

まとめ#

• $n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の第 $(j,i)$ 余因子 $\tilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする行列を $A$ の余因子行列といい、$\tilde{A}$ と表す。

  $$ \begin{equation*} \tilde{A} = \begin{pmatrix} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \cdots & \tilde{a}_{n1} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \cdots & \tilde{a}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \cdots & \tilde{a}_{nn} \\ \end{pmatrix} \end{equation*} $$

• $n$ 次の正方行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ について、次が成り立つ。

  $$ \begin{equation*} A \, \tilde{A} = \tilde{A} \, A = ( \det A ) \; E_n \end{equation*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.