線型写像

同型写像の定義と基本的性質について解説します。同型写像とは線形写像かつ全単射であるような写像です。同型写像の合成写像や逆写像もまた同型写像となることを証明します。証明にあたっては、その考え方や過程についても明らかにします。

同型なベクトル空間の基本的性質について解説します。互いに同型なベクトル空間の間に反射律、対称律、推移律が成り立つことを証明し、ベクトル空間の同型が同値関係を意味することを解説します。これらの性質は、同型写像の性質の言い換えに他なりません。

線型写像の像（Image）と核（Kernel）の定義について解説します。特に、線型写像における像・核と、一般の写像における像・逆像との違いを明らかにします。像と核は部分集合として定義されますが、それぞれ部分空間でもあることを証明します。

線型写像が単射であるための条件について解説します。線形写像が単射であるためには核（Kernel）が零ベクトルのみであることが必要十分です。これを証明し、一般の写像が単射であるための条件と比較します。この定理は次元や階数の考察において重要です。

線形写像の定義と基本的性質について解説します。線型写像とはベクトルの和とスカラー倍の演算（線型演算）を保存する写像です。その基本的性質として、「線型写像は零ベクトルを零ベクトルに移すこと」、「線型写像の合成も線型写像であること」を証明します。

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