線型独立なベクトルの性質（1）

あるベクトルの組が線型独立（または線型従属）であることと同値な条件を示します。

すなわち、あるベクトルの組が線型独立であれば、線型結合は一意に定まります。また、あるベクトルの組が線型従属であれば、線型結合は一意に定まらず、他のベクトルの線型結合として表せるベクトルが存在します。

線型独立であることと同値な条件#

まず、ベクトルの組が線形独立であることと同値な条件を示します。

定理 4.18（線型独立と同値な条件）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型独立であることと、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に表されることは同値である。

解説#

線形独立なベクトルの線型結合は一意に定まる#

定理 4.18（線型独立と同値な条件）は、あるベクトルの組が線型独立であることと同値な条件を示すものです。

すなわち、あるベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合は一意に定まり、その逆もまた成り立つということです。

証明（定理 4.18）#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が、次のように $2$ 通りに表されるとすると、次が成り立つ。

このとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型独立であるから、この線型関係を満たすのは $c_{1} - c^{\prime}_{1} = 0, \, \cdots, \, c_{k} - c^{\prime}_{k} = 0$ の場合のみであり、$c_{1} = c^{\prime}_{1}, \, \cdots, \, c_{k} = c^{\prime}_{k}$ が成り立つ。したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線形独立であれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合は一意に定まる。

逆に、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に表されると仮定すると、次が成り立つ。

また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ には自明な線型関係が存在するから、線型関係 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を満たす $c_{1} = 0, \, \cdots, \, c_{k} = 0$ が存在するが、線型結合 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k}$ の表し方は一意的であるから、線型関係 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を満たすのは $c_{1} = 0, \, \cdots, \, c_{k} = 0$ の場合のみである。よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に表されるならば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型独立である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.18）#

線型独立の定義に従って、（$\text{i}$）「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立である」ことと（$\text{ii}$）「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に表される」ことの同値性を示します。証明において、どのようなベクトルの間にも自明な線型関係が存在することを利用します。

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

前提事項の整理#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であると仮定します。

• このとき、仮に $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が $2$ 通りに表されるとすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = c^{\prime}_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{k} \, \bm{v}_{k} \\ \Leftrightarrow & (c_{1} - c^{\prime}_{1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + (c_{k} - c^{\prime}_{k}) \, \bm{v}_{k} = \bm{0} \end{gather*} $$
  • これは、方程式の解法における移項に相等する変形であり、 ベクトル空間の公理に則った操作です。

線型結合の一意性の証明#

• いま、仮定より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型独立であるので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ には自明な線型関係のみ存在します（ 線型独立の定義）。

• すなわち、 上記の線型関係を満たすのは $c_{1} - c^{\prime}_{1} = 0, \, \cdots, \, c_{k} - c^{\prime}_{k} = 0$ の場合のみであり、したがって、$c_{1} = c^{\prime}_{1}, \, \cdots, \, c_{k} = c^{\prime}_{k}$ が成り立ちます。

• よって、次が成り立つといえます。

  $$ \begin{gather*} &c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = c^{\prime}_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{k} \, \bm{v}_{k} \\ \Rightarrow & c_{1} = c^{\prime}_{1}, \, \cdots, \, c_{k} = c^{\prime}_{k} \end{gather*} $$
  • これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に定まるということに他なりません。

• 以上から、（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）が示されました。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

前提次項の整理#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に定まると仮定します。
• すなわち、次が成り立つと仮定します（ 線型独立の定義）。
  $$ \begin{gather*} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = c^{\prime}_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{k} \, \bm{v}_{k} \\ \Rightarrow & c_{1} = c^{\prime}_{1}, \, \cdots, \, c_{k} = c^{\prime}_{k} \end{gather*} $$

線形独立性の証明#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ には自明な線型関係のみが存在することを示し、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であることを導きます。
• まず、どんなベクトルの間にも自明な線型関係が存在するので、当然、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ にも自明な線型関係が存在します（ 線型結合と線型関係を参照）。
  • すなわち、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を満たす $c_{1} = 0, \, \cdots, \, c_{k} = 0$ が存在するということです。
• いま、仮定より、線型結合 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k}$ は一意に定まるので、線型関係 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を満たすのは $c_{1} = 0, \, \cdots, \, c_{k} = 0$ の場合のみであるといえます。
  • 仮に、自明でない線型関係 $c^{\prime}_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ が存在するとすると、線型結合の一意性より $c^{\prime}_{1} = c_{1} = 0, \, \cdots, \, c^{\prime}_{k} = c_{k} = 0$ となり、矛盾が導かれます。
• したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ には自明な線型関係のみ存在する、つまり $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であることが導かれました。
• 以上から、（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）が示されました。

線型従属であることと同値な条件#

次に、ベクトルの組が線形従属であることと同値な条件を示します。

定理 4.19（線型従属と同値な条件）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型従属であることと、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のうちの $1$ つのベクトルが他のベクトルの線型結合として表されることは同値である。

解説#

線形従属なベクトルの線型結合は一意に定まらない#

定理 4.19（線型従属と同値な条件）は、あるベクトルの組が線型従属であることと同値な条件を示すものです。

すなわち、あるベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型従属であれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のうちに、他のベクトルの線型結合として表せるベクトルが少なくとも $1$ つ存在するということであり、その逆もまた成り立ちます。

つまり、あるベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型従属であることは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に定まらないことと同値であるといえます。

証明（定理 4.19）#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型従属であるとすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を成り立たせる、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{k}$ が存在する。例えば、$c_{1} \neq 0$ であるとすると、次が成り立つ。

よって、このとき、$\bm{v}_{1}$ は他のベクトルの線型結合として表せる。$c_{2}, \cdots, c_{k}$ の場合も同様である。

逆に、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のうちの $1$ つのベクトルが、他のベクトルの線型結合として表されるとする。例えば、$\bm{v}_{1}$ が他のベクトルの線型結合として表せるとすると、次が成り立つ。

よって、このとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ には自明でない線型関係が存在する。つまり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属である。$\bm{v}_{2}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の場合も同様である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.19）#

線型従属の定義に従って、（$\text{i}$）「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型従属である」ことと（$\text{ii}$）「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のうちの $1$ つのベクトルが他のベクトルの線型結合として表される」ことの同値性を示します。

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型従属であるとすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を成り立たせる、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{k}$ が存在するということになります（ 線型従属の定義）。

• 例えば、$c_{1} \neq 0$ であるとすると、$\bm{v}_{1}$ は他のベクトルの線型結合として、次のように表せます。

  $$ \begin{gather*} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0} \\ \Leftrightarrow & \bm{v}_{1} = \big( - \frac{c_{2}}{c_{1}} \big) \, \bm{v}_{2} + \cdots + \big( - \frac{c_{k}}{c_{1}} \big) \, \bm{v}_{k} \end{gather*} $$
  • このことは、$c_{2}, \cdots, c_{k}$ の場合にも同様に成り立ちます。

• 以上から、（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）が示されました。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のうちの $1$ つのベクトルが、他のベクトルの線型結合として表されると仮定します。

• 例えば、$\bm{v}_{1}$ が他のベクトルの線型結合として表せるとすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & \bm{v}_{1} = c^{\prime}_{2} \, \bm{v}_{2} + \cdots + c^{\prime}_{k} \, \bm{v}_{k} \\ \Leftrightarrow & \bm{v}_{1} + (-c^{\prime}_{2}) \, \bm{v}_{2} + \cdots + (-c^{\prime}_{k}) \, \bm{v}_{k} = \bm{0} \end{gather*} $$

• これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ に自明でない線型関係が存在することを示していますので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属であるといえます。

  • すなわち、上記の式を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の間の線型関係としてみれば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ には自明でない線型関係が存在することになります。
  • このことは、$\bm{v}_{2}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の場合にも同様に成り立ちます。

• 以上から、（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{i}$）が示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型独立であることと、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合が一意に表されることは同値である。
• $V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型従属であることと、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のうちの $1$ つのベクトルが他のベクトルの線型結合として表されることは同値である。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.