線型独立なベクトルの性質（3）

線型独立なベクトルの組に $1$ つのベクトルを加えて線型従属になるならば、あらたに加えられたベクトルは、もとのベクトルの組の線型結合として一意に表すことができます。

これは、線型独立・線型従属なベクトルの組について成り立つ基本的な性質です。

線型独立・線型従属なベクトルの基本的性質#

定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型独立であり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v} \in V$ が線型従属であれば、$\bm{v}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として一意に表せる。

解説#

線型独立なベクトルの線型結合の一意性#

定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）は、ベクトルの組の線型独立性（または線型従属性）と線型結合の一意性の関係を表したものです。

すなわち、線型独立なベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ に $1$ つのベクトル $\bm{v}$ を加えて線型従属になるならば、あらたに加えられたベクトル $\bm{v}$ は、もとのベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として一意に表すことができる、ということです。

関連する定理#

定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）に関連する定理としては、次のようなものがあります。

線型独立・線型従属なベクトルの線型結合の一意性に関する定理#

• 定理 4.18（線型独立と同値な条件）
• 定理 4.19（線型従属と同値な条件）

上記の $2$ つの定理は、線型独立・線型従属なベクトルと線型結合の一意性の関係について示したものであり、定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）は、これらの組み合わせと捉えることもできます。

ベクトル空間の基底と次元の基本的性質に関する定理#

• 定理 4.32（次元が明らかな場合の基底の条件）
• 定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）
• 定理 4.34（生成元と基底）

上記の $3$ つの定理は、ベクトル空間の基底と次元の基本的な性質を表す定理です。定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）は、これらの証明や考察において、非常に重要な役割を果たします。

証明#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であるとする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ が線型従属であれば、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} + c \, \bm{v} = \bm{0}$ を満たす、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{k}, c$ が存在する。ここで、$c = 0$ とすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を満たす、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{k}$ が存在することとなるが、これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であることに矛盾する。よって $c \neq 0$ である。したがって、$\bm{v}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として次のように表せる。

また、定理 4.18（線型独立と同値な条件）より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であればその線型結合は一意に表せるから、この表し方は一意的である。$\quad \square$

証明の考え方#

線型独立・線型従属なベクトルの定義と基本的性質により示すことができます。特に、線型独立なベクトルの線型結合が一意に表せることを示す、定理 4.18（線型独立と同値な条件）を用います。

前提事項の整理#

• 定理の仮定は、次の通りです。
• （$\text{i}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型独立なベクトルの組です。
  • つまり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ には自明でない線型関係が存在しません（線型独立の定義）。
  • また、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} + = \bm{0}$ が成り立つのは $c_{1} = \cdots = c_{k} = 0$ の場合に限るともいえます。
• （$\text{ii}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ は線型従属なベクトルの組です。
  • つまり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ には自明でない線型関係が存在します（線型従属の定義）。
  • また、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} + c \, \bm{v} = \bm{0}$ を満たす、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{k}, c$ が存在するともいえます。

線型結合の一意性の証明#

線型結合として表せること#

• まず、$\bm{v}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として表せることを導きます。

• 仮定（$\text{ii}$）より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ には自明でない線型関係 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} + c \, \bm{v} = \bm{0}$ が存在します。

  • ここで $c = 0$ とすると、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ となり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ にも自明でない線型関係が存在する（すなわち $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型従属である）ことになります。
  • しかしながら、これは、仮定（$\text{i}$）より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であることに矛盾します。よって $c \neq 0$ となります。

• $c \neq 0$ であることから、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ の線型関係は、次のように変形できます。

  $$\begin{gather*} \bm{v} = \big(- \frac{\, c_{1} \,}{\, c \,} \big) \, \bm{v}_{1} + \cdots + \big(- \frac{\, c_{k} \,}{\, c \,} \big) \, \bm{v}_{k} \end{gather*}$$

• 以上から、$\bm{v}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として表せることがわかりました。

線型結合としての表し方が一意的であること#

• 次に、線型結合としての表し方が一意的であることを示します。
• 定理 4.18（線型独立と同値な条件）より、線型独立なベクトルの線型結合は一意に定まるから、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立であれば、その線型結合としての表し方は一意的です。
• したがって、$\bm{v}$ の $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合としての表し方は一意的であるといえます。

系 4.22（線型独立なベクトルの線型結合）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型独立であり、$\bm{v} \in V$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として表せないならば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ は線型独立である。

解説#

線型独立なベクトルの線型結合で表せないベクトル#

系 4.22（線型独立なベクトルの線型結合）は、ベクトルの組の線型独立性と線型結合としての表現可能性の関係を表したものです。

すなわち、線型独立なベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として表せないベクトル $\bm{v}$ があるとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ に $\bm{v}$ を加えたベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ は線型独立である、ということです。

定理 4.22 と同値な系#

系 4.22（線型独立なベクトルの線型結合）は定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）と同値です。つまり、系 4.22の主張は、定理 4.21の主張と、論理的にまったく同じです。

系 4.22は定理 4.21の言い換えにすぎませんが、このように言い換えた方が便利な場合があるということです。

同値であることの確認#

定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）と系 4.22（線型独立なベクトルの線型結合）が同値であることは、次のようにして確かめられます。

まず、定理 4.21は、次のように $3$ つの部分に分解することができます。

このように考えると、定理の主張は $p \land q \Rightarrow r$ のように表すことができます。

同様の考え方により、系 4.22は、次のように分解できます。ここで、${}^{\lnot} q$ や ${}^{\lnot} r$ は、それぞれ $q$ と $r$ の否定を表しています。

よって、系の主張は $p \land {}^{\lnot} r \Rightarrow {}^{\lnot} q$ と表すことができます。

ここで、$p \land q \Rightarrow r$ と $p \land {}^{\lnot} r \Rightarrow {}^{\lnot} q$ が同値であることは、次のように確かめられます。

• （$\text{1}$）（$\text{5}$）同値変形 $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow {}^{\lnot} P \lor Q$ が成り立つことによります。
• （$\text{2}$）（$\text{4}$）ド・モルガンの法則 ${}^{\lnot} (P \land Q) \Leftrightarrow {}^{\lnot} P \lor {}^{\lnot} Q$ によります。
• （$\text{3}$）交換律 $P \lor Q \Leftrightarrow Q \lor P$ が成り立つことによります。

以上から、定理 4.21の主張と系 4.22の主張が論理的に同じものであることが確かめられました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型独立であり、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v} \in V$ が線型従属であれば、$\bm{v}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として一意に表せる。
• $V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型独立であり、$\bm{v} \in V$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の線型結合として表せないならば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}, \bm{v}$ が線型独立である。

参考文献#

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.