部分空間の直和（2）

ベクトル空間の直和分解の例を示します。すなわち、$n$ 次の正方行列全体はベクトル空間であり、対称行列全体と交代行列全体という $2$ つの部分空間の直和に分解されます。

また、補空間を定義し、任意の部分空間に対して補空間が存在することを示します。

ベクトル空間の直和分解（例）#

まず、直和分解の定義を確認し、ベクトル空間が部分空間の直和に分解される具体例を示します。

直和分解とは#

前項に定義したように、ベクトル空間 $V$ が、その部分空間 $W_{1}$ と $W_{2}$ の直和（$\text{direct sum}$）に等しくなるとき、$V$ は $W_{1}$ と $W_{2}$ の直和に分解される分解されるといい、ベクトル空間をその部分空間の直和に分解することを直和分解（$\text{direct}$ $\text{sum}$ $\text{decomposition}$）といいます。

直和の定義より、$V$ が $W_{1}$ と $W_{2}$ の直和に分解されるとき、任意の $V$ の元は $W_{1}$ の元と $W_{2}$ の元の和として一意に表すことができます。

正方行列全体の直和分解#

$n$ 次の正方行列全体の集合 $M_{n} (K)$ をベクトル空間としてみたとき、これは、対称行列全体 $W_{1}$ と交代行列全体 $W_{2}$ という、$2$ つの部分空間の直和に分解されます。

以下に、上式が成り立つことを確かめます。

正方行列全体の集合はベクトル空間#

まず、$n$ 次の正方行列全体の集合 $M_{n} (K)$ がベクトル空間であることを確かめます。

ベクトル空間の例でみたように、一般に、$(m, n)$ 型の行列全体の集合 $M_{m,n} (K)$ は、行列の和とスカラー倍の演算により、ベクトル空間となります。ここで、零ベクトルは零行列 $O$、$A \in M_{m,n} (K)$ の逆ベクトルは $-A = (-1) A$ に対応しています。

$n$ 次の正方行列は $(m, n)$ 型の行列の特別な場合（$m = n$ の場合）ですので、当然、$n$ 次の正方行列全体の集合 $M_{n} (K)$ もベクトル空間となります。

対称行列全体と交代行列全体は部分空間#

次に、$n$ 次の正方行列全体の集合 $M_{n} (K)$ の部分集合である、対称行列全体の集合と交代行列全体の集合が、それぞれ $M_{n} (K)$ の部分空間であることを確かめます。

対象行列とは#

対称行列とは、正方行列のうち ${}^{t} A = A$ が成り立つ行列のことでした（対称行列の定義）。$A$ を対称行列とすれば、$A$ の成分について $a_{ji} = a_{ij}$ が成り立ちます。したがって、$A$ の成分は対角線を軸に対称的であるといえます。

交代行列とは#

また、交代行列とは、正方行列のうち ${}^{t} A = -A$ が成り立つ行列のことでした（交代行列の定義）。$A$ を交代行列とすれば、$A$ の成分について $a_{ji} = - a_{ji}$ が成り立ちます。したがって、$A$ の成分は転置により $-1$ 倍される（交代的である）というわけです。

部分空間であることの確認#

対称行列と交代行列が正方行列の部分集合であることは、それぞれの定義から明らかです。

また、それぞれの集合が、和とスカラー倍の演算について閉じていることも、行列の和とスカラー倍の演算の定義から、簡単に確かめられます。

したがって、対称行列全体の集合 $W_{1}$ と、交代行列全体の集合 $W_{2}$ は、それぞれ、正方行列全体の集合 $M_{n} (K)$ の部分空間であるといえます（部分空間の定義）。

対称行列全体と交代行列全体は零行列のみを共有する#

また、対称行列と交代行列の定義より、$W_{1} \cap W_{2} = \{ O \}$ であることは明らかといえます。

仮に、正方行列 $A$ が対称行列かつ交代行列であるとすると、${}^{t} A = A$ かつ ${}^{t} A = -A$ であり $-A = A$ となることから $A = O$ が導かれます。

したがって、対称行列かつ交代行列である行列は零行列のみです。つまり、$W_{1}$ と $W_{2}$ は零行列 $O$ のみを共有し、$W_{1} \cap W_{2} = \{ O \}$ が成り立ちます。

対称行列全体と交代行列全体の直和#

ここまでを整理すると、$M_{n} (K)$ はベクトル空間、$W_{1}, W_{2}$ は $M_{n} (K)$ の部分空間であり、$W_{1} \cap W_{2} = \{ O \}$ が成り立ちます。

したがって、$M_{n} (K)$ が $W_{1}$ と $W_{2}$ の和空間であれば、定理 4.38（部分空間の直和）より、$M_{n} (K)$ は $W_{1}$ と $W_{2}$ の直和となるということがわかります。

対称行列全体と交代行列全体の和空間#

そこで、$M_{n} (K)$ が $W_{1}$ と $W_{2}$ の和空間あることを確かめます。

任意の正方行列 $A \in M_{n} (K)$ に対し て、$B_{1} = \frac{1}{2} (A + {}^{t} A), \; B_{2} = \frac{1}{2} (A - {}^{t} A)$ とすると、次が成り立ちます（定理 2.3（転置行列））。

つまり、$B_{1}$ は対称行列、$B_{2}$ は交代行列であるということです。また、このとき、$B_{1}$ と $B_{2}$ の和について、次が成り立ちます。

すなわち、任意の $A \in M_{n} (K)$ に対して、$A = B_{1} + B_{2}$ を満たす、$B_{1} \in W_{1}$ と $B_{2} \in W_{2}$ が存在するということです。 よって、$M_{n} (K)$ は $W_{1}$ と $W_{2}$ の和空間であり、$M_{n} (K) = W_{1} + W_{2}$ が成り立ちます（和空間の定義）。

正方行列全体は直和に分解される#

上記の考察より、$M_{n} (K) = W_{1} + W_{2}$ 、かつ、$W_{1} \cap W_{2} = \{ O \}$ が成り立ちます。したがって、定理 4.38（部分空間の直和）より、$M_{n} (K)$ は $W_{1}$ と $W_{2}$ の直和であり、$M_{n} (K) = W_{1} \oplus W_{2}$ が成り立ちます。

以上から、$n$ 次の正方行列全体 $M_{n} (K)$ が、対称行列全体 $W_{1}$ と交代行列全体 $W_{2}$ の直和に分解されることが確かめられました。

補空間の存在#

次に、補空間を定義するとともに、任意の部分空間に対して補空間が存在することを示します。

定理 4.39（補空間）#

$U$ をベクトル空間、$V$ を $U$ の部分空間とすると、$U = V \oplus W$ となるような $U$ の部分空間 $W$ が存在する。

解説#

補空間とは#

定理 4.39（補空間）において、$W$ を $V$ の補空間（$\text{complementary}$ $\text{space}$）といいます。

すなわち、ベクトル空間 $U$ が部分空間 $V$ と $W$ の直和に分解されるとき、$W$ は $V$ の補空間となります。また、明らかに、$V$ は $W$ の補空間となります。

任意の部分空間に補空間が存在する#

定理 4.39（補空間）は、任意の部分空間に対して、その補空間が存在することを示しています。

ベクトル空間 $U$ の部分空間であるということ以外に、$V$ について特別な条件は設けられておりません。したがって、定理 4.39は、あるベクトル空間の 任意の 部分空間に対して補空間が存在するということを意味しています。

補空間は一意に定まらない#

部分空間 $V$ に対して、その補空間 $W$ は一意に定まりません。

これは、ベクトル空間の基底が一意的でない（基底を成すベクトルの数は一意であるが、基底をなすベクトルのとり方は幾通りもある）ことによります。

例えば、ベクトルの組 $\{\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \, \}$ と $\{\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{n} \, \}$ が、ともに $U$ の基底であるとします。このとき、$U$ は、次のように $2$ 通りに直和分解できます。

ここで、$U$ の部分空間 $V, W, W^{\prime}$ を次のようにおくと、

$U = V \oplus W$ かつ $U = V \oplus W^{\prime}$ が成り立ちます。したがって、$W$ と $W^{\prime}$ は、ともに $V$ の補空間となります。

証明#

$V$ の基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ とすると、定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、これを拡大して $U$ の基底を得ることができる。$U$ の基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ として、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が生成する部分空間を $W$ とすると、$U = V + W$ かつ $V \cap W = \{ \bm{0} \}$ であるから、$U = V \oplus W$ となる。$\quad \square$

証明の考え方#

定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、（$1$）$V$ の基底を拡大して $U$ の基底が得られます。（$2$）$U$ の基底として追加された元が生成する部分空間を $W$ とすれば、定理 4.38（部分空間の直和）より、$U = V \oplus W$ が導かれます。

（1）$U$ の基底の構築#

• まず、$V$ の基底を拡大して $U$ の基底を作ります。
• $V$ の基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ とすると、$V$ は $U$ の部分空間であるので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は $U$ の元であり、かつ線型独立です。
• したがって、定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ を拡大して $U$ の基底を得ることができます。
• いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $U$ の基底であるとします。

（2）補空間 $W$ が存在することの証明#

• 次に、$U = V \oplus W$ となる部分空間 $W$ が存在することを示します。

• $U$ の基底をなすベクトルのうち、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が生成する部分空間を $W$ とします。

  • すなわち、$W = \langle \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \rangle$ とします。

• 和空間の定義より、$V + W = \{ \, \bm{v} + \bm{w} \mid \bm{v} \in V, \; \bm{w} \in W \, \}$ であり、任意の $U$ の元は $V$ の元と $W$ の元の和として表せることから、$U = V + W$ となります。

  • 仮定より、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表せ、任意の $\bm{w} \in W$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せます。
  • 同様に、任意の $U$ の元は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せます。
  • これは、任意の $U$ の元が、$V$ の元 $\bm{v}$ と $W$ の元 $\bm{w}$ の和として表されるということに他なりません。

• また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることから、$V \cap W = \{ \bm{0} \}$ が成り立ちます。

  • いま、$V = \langle \, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \, \rangle,$ $W = \langle \, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \, \rangle$ であり、それぞれの生成元が線型独立なので、$V$ と $W$ は零ベクトル $\bm{0}$ のみを共有します。

• 以上から、$U = V + W$ かつ $V \cap W = \{ \bm{0} \}$ であるので、定理 4.38（部分空間の直和）より、$U = V \oplus W$ となります。

まとめ#

• $n$ 次の正方行列全体の集合 $M_{n} (K)$ は、対称行列全体 $W_{1}$ と交代行列全体 $W_{2}$ の直和に分解される。

  $$\begin{equation*} M_{n} (K) = W_{1} \oplus W_{2} \end{equation*}$$

• $U$ をベクトル空間、$V$ を $U$ の部分空間とすると、$U = V \oplus W$ となるような $U$ の部分空間 $W$ が存在する。

  • 任意の部分空間に対して、補空間が存在する。
  • 部分空間に対して、補空間は一意には定まらない。

参考文献#

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