商ベクトル空間の定義

商ベクトル空間とは、 ベクトル空間とその 部分空間から構成されるベクトル空間です。

ここでは、商ベクトル空間を定義するとともに、商ベクトル空間がベクトル空間であることを確かめます。また、商ベクトル空間の例として、平面上の平行な直線全体の集合について考察します。

商ベクトル空間の定義#

まずは、商ベクトル空間の定義を示します。

定義 4.12（商ベクトル空間）#

$V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とする。任意の $\bm{v} \in V$ に対して、$\bm{v} + W$ 全体の集合を $V$ の $W$ による商ベクトル空間（$\text{quotient vector space}$）といい、$V / \, W$ と表す。

解説#

商ベクトル空間とは#

ベクトル空間 $V$ とその部分空間 $W$ から構成されるベクトル空間を、商ベクトル空間 $V / \, W$ といいます。

部分集合の集合#

商ベクトル空間 $V / \, W$ の元 $\bm{v} + W$ は、 前項で定義した、 部分空間により定まる集合に他なりません。すなわち、$\bm{v} + W$ は、$V$ の元 $\bm{v}$ と任意の $W$ の元 $\bm{w}$ の和 $\bm{v} + \bm{w}$ の集合であり、$V$ の部分集合です。

つまり、商ベクトル空間 $V / \, W$ とは、$V$ の部分集合の集合であるといえます。

商ベクトル空間の元#

商ベクトル空間 $V / \, W$ の元は、次のように具体的に表すことができます。

ここで、$\bm{v}_{1}, \bm{v}_{2}, \bm{v}_{3}, \cdots $ は $V$ の元であり、 上記の定義より、$V$ 全体にわたります。すなわち、任意の $V$ の元 $\bm{v}$ に対して、対応する $V$ の部分集合（$V / \, W$ の元）$\bm{v} + W = \{ \, \bm{v} + \bm{w}_{1}, \, \bm{v} + \bm{w}_{2}, \cdots \, \}$ が存在するということです。

代数学における一般化（剰余空間）#

商ベクトル空間は、代数学においては、剰余空間（$\text{factor space}$）などとして一般化されます。

部分集合を $1$ つの元として考えて、集合の集合を扱うというのは、はじめ難しく違和感を覚えることかもしれません。しかしながら、このような考え方は数学的によくある（ふつう）であり、代数学において同値類（$\text{equivalent class}$）や剰余群（$\text{factor group}$）といった基本的な概念として現れます。

このような展望があることを意識しながらも、ここでは、あくまで線型代数学に閉じて、商ベクトル空間について考察します。

商ベクトル空間の和とスカラー倍#

次に、商ベクトル空間における和とスカラー倍の演算を定義します。

定義 4.13（商ベクトル空間の和とスカラー倍）#

$V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とする。$\bm{x}_{1} = \bm{v}_{1} + W, \, \bm{x}_{2} = \bm{v}_{2} + W \in V / \, W$ に対して、和 $\bm{x}_{1} + \bm{x}_{2}$ を次のように定める。

また、$\bm{x} = \bm{v} + W \in V / \, W$ と $c \in K$ に対して、スカラー倍 $c \, \bm{x}$ を次のように定める。

解説#

部分集合に対する演算#

上記の考察の通り、商ベクトル空間 $V / \, W$ は $V$ の部分集合 $\bm{v} + W$ を元とする集合です。

したがって、商ベクトル空間における和やスカラー倍の演算は、部分集合に対する演算となります。

商ベクトル空間は和とスカラー倍の演算について閉じている#

ここで、$\bm{v}_{1}, \, \bm{v}_{2} \in V \Rightarrow \bm{v}_{1} + \bm{v}_{2} \in V$ であることから、$(\bm{v}_{1} + \bm{v}_{2}) + W \in V / \, W$ が成り立ちます。つまり、$\bm{x}_{1}, \, \bm{x}_{2} \in V / \, W \Rightarrow \bm{x}_{1} + \bm{x}_{2} \in V / \, W$ であることから、商ベクトル空間が和の演算について閉じていることが直ちに確かめられます。

同様に、$\bm{v} \in V \Rightarrow c \, \bm{v} \in V$ であることから、$(c \, \bm{v}) + W \in V / \, W$ が成り立ちます。つまり、$\bm{x} \in V / \, W \Rightarrow c \, \bm{x} \in V / \, W$ であることから、商ベクトル空間がスカラー倍の演算について閉じていることも確かめられます。

商ベクトル空間がベクトル空間であることの確認#

商ベクトル空間がベクトル空間であることを確かめます。

具体的には、$V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間として、商ベクトル空間 $V / \, W$ の任意の元 $\bm{v} + W$ が、和とスカラー倍の演算に関する ベクトル空間の公理を満たすことを確認します。

基本的には、$V$ がベクトル空間であることにより確かめることができます。特に、商ベクトル空間の零ベクトルが $\bm{0} + W \in V / \, W$ であることは着目すべき点です。

和に関する公理#

まず、商ベクトル空間の任意の元が、和に関する ベクトル空間の公理を満たしていることを確認します。

公理（$\text{i}$）結合法則が成り立つことは、$V$ がベクトル空間であることにより確かめられます。すなわち、$\bm{v}_{1}, \, \bm{v}_{2}, \, \bm{v}_{3} \in V$ とすれば、次が成り立ちます。

公理（$\text{ii}$）交換法則も、同様に $V$ がベクトル空間であることより成り立つといえます。すなわち、$\bm{v}_{1}, \, \bm{v}_{2} \in V$ とすれば、次が成り立ちます。

公理（$\text{iii}$）は、零ベクトルが存在することを要求するものです。商ベクトル空間 $V / \, W$ においては、$\bm{0} + W \in V / \, W$ を零ベクトルとすることでこれを満たします。すなわち、任意の $\bm{v} + W \in V / \, W$ に対して次が成り立ちます。

• 教科書によって、零ベクトル $\bm{0} + W$ を、$W$ と表す場合があります。
• しかしながら、これは（ふつうの）部分空間 $W$ と混同する恐れがありますので、慣れるまでは意図的に使い分けた方がよいです。
• 教科書を読む際も、どちらを指しているか前後の文脈から判断する必要があります。

公理（$\text{iv}$）は、逆ベクトルが存在することを要求するものです。これも $V$ がベクトル空間であることにより成り立つといえます。すなわち、任意の $\bm{v} + W \in V / \, W$ に対して、逆ベクトル $-\bm{v} + W \in V / \, W$ が存在し、次が成り立ちます。

スカラー倍に関する公理#

次に、商ベクトル空間の任意の元が、スカラー倍に関する ベクトル空間の公理を満たしていることを確認します。

公理（$\text{v}$）を満たすことは次のように確認できます。すなわち、$\bm{v} + W \in V / \, W, \; c, d \in K$ とすれば、次が成り立ちます。

公理（$\text{vi}$）を満たすことは、$\bm{v}_{1} + W, \, \bm{v}_{2} + W \in V / \, W, \; c \in K$ として、次が成り立つことにより確かめられます。

公理（$\text{vii}$）を満たすことは、$\bm{v} + W \in V / \, W, \; c, d \in K$ として、次が成り立つことにより確かめられます。

公理（$\text{viii}$）を満たすことは、$\bm{v} + W \in V / \, W$ として、次が成り立つことにより確かめられます。

商ベクトル空間の例#

最後に、商ベクトル空間の具体例を示します。

平行な直線全体の集合#

$\mathbb{R}^{2}$ における商ベクトル空間の定義#

$V = \{ \, (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \, \}$ として、$W = \{ \, (x, y) \mid x - y = 0 \, \}$ とします。すなわち、$V$ は $2$ 次元の実ベクトル空間（$V = \mathbb{R}^{2}$）であり、$W$ は $V$ の部分集合です。

このとき、$W$ は明らかに $V$ の 部分空間であり、 商ベクトル空間 $V / \, W$ が定義できます。

商ベクトル空間のイメージ#

いま、$V$ を平面に対応させて考えると、$W$ による商ベクトル空間 $V / \, W$ は、傾き $1$ の直線に平行な直線全体の集合に対応します。

商ベクトル空間の元は直線を表す#

商ベクトル空間 $V / \, W$ の元 $\bm{v} + W \in V / \, W$ は、下図のような傾き $1$ の直線を表します。

いま、$\bm{v}_{1} \in V$ を平面上のベクトルとすると、$\bm{v}_{1}$ と $W$ は、次のように表せます。

ここで、$W$ は $x - y = 0$ が成り立つ点全体の集合、すなわち、直線 $y = x$ 上の点の集合です。したがって、$W$ 上の点は、$t$ を媒介変数として、直線の式 $\begin{pmatrix} \, x \, \\ \, y \, \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} \, 1 \, \\ \, 1 \, \end{pmatrix}$ を満たします。つまり、$\begin{pmatrix} \, x \, \\ \, y \, \end{pmatrix} \in W$ ならば $\begin{pmatrix} \, x \, \\ \, y \, \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} \, 1 \, \\ \, 1 \, \end{pmatrix}$ が成り立ちます。よって、$W$ 上の点は $\begin{pmatrix} \, 1 \, \\ \, 1 \, \end{pmatrix}$ により生成される部分空間と捉えることができ、$W = \langle \begin{pmatrix} \, 1 \, \\ \, 1 \, \end{pmatrix} \rangle$ と表せるということです。

以上から、$\bm{v}_{1} + W \in V / \, W$ は、次のような直線の式を満たす点の集合となります。

ここで、媒介変数の $t$ を消去することにより $y = (x - x_{1}) + y_{1}$ を得ます。これは、$(x_{1}, y_{1})$ を通り傾きが $1$ の直線に他なりません。つまり、$\bm{v}_{1} + W \in V / \, W$ は、 上図のような傾き $1$ の直線を表しています。

零ベクトルは原点を通る直線を表す#

$V / \, W$ をベクトル空間としてみたとき、零ベクトルは $\bm{0} + W$ に対応します（ 商ベクトル空間がベクトル空間であることの確認を参照）。

また、 上記の考察から、商ベクトル空間 $V / \, W$ における零ベクトル $\bm{0} + W$ は、原点を通る傾き $1$ の直線を表すことがわかります。

部分空間により定まる集合の基本的性質#

上記の例において、 前項の 定理 4.43（部分空間により定まる集合）は、次のように視覚化されます。

すなわち、 定理 4.43により、次の $2$ つの条件が同値であることは、（$1$）商ベクトル空間における $2$ つの元が等しい（同じ直線を表す）ことと（$2$）$2$ つのベクトル $\bm{v}_{1}, \bm{v}_{2}$ の差が $\begin{pmatrix} \, 1 \, \\ \, 1 \, \end{pmatrix}$ に平行であることが同値であることに対応します。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とする。任意の $\bm{v} \in V$ に対して、$\bm{v} + W$ 全体の集合を $V$ の $W$ による商ベクトル空間といい、$V / \, W$ と表す。

  $$ \begin{align*} V / \, W = \{ \, \bm{v} + W \mid \bm{v} \in V \, \} \end{align*} $$

• 商ベクトル空間 $V / \, W$ は、次の和とスカラー倍の演算によりベクトル空間をなす。

  • $\bm{x}_{1} = \bm{v}_{1} + W, \, \bm{x}_{2} = \bm{v}_{2} + W \in V / \, W$ に対して、和 $\bm{x}_{1} + \bm{x}_{2}$ を次のように定める。

    $$ \begin{align*} \bm{x}_{1} + \bm{x}_{2} = (\bm{v}_{1} + \bm{v}_{2}) + W \end{align*} $$

  • $\bm{x} = \bm{v} + W \in V / \, W$ と $c \in K$ に対して、スカラー倍 $c \, \bm{x}$ を次のように定める。

    $$ \begin{align*} c \, \bm{x} = (c \, \bm{v}) + W \end{align*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
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[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
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[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
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