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線型結合の行列表記（1）
この節では、基底の変換を定式化し、線型写像の行列表示を導入することを目指します。
ここでは、その準備として、ベクトルの線型結合を行列として表す方法を導入します。この表記法は複数のベクトルをまとめて扱うのに便利です。
線型結合の行列表記
まず、ベクトルの線型結合を行列を用いて表す方法を導入します。
表記法（線型結合の行列表記）
$V$ をベクトル空間とする。$m$ 個のベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ と、$(m, n)$ 型の行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表される $n$ 個のベクトルを次のように表す。
$$
\begin{equation} \tag{4.6.1}
(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A
\end{equation}
$$
解説
複数の線型結合をまとめた表現
この表記法は、ベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ をあたかも各ベクトル $\bm{v}_{i}$ を成分とする行ベクトル $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ のようにまとめて扱うものです。
すなわち、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ を行ベクトルとして、行列 $A$ との積を計算すると、次のようになります。
$$
\begin{align*}
& \quad \; (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \\
&= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \\
&= (\, a_{11} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{m1} \, \bm{v}_{m} \, , \, \cdots \\
& \quad \quad \quad \cdots, \; a_{1n} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{mn} \, \bm{v}_{m} \,) \\
\end{align*}
$$
このことから、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A$ は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表される $n$ 個のベクトルの組を表していることがわかります。
行列の要素を用いた線型結合の表現
上記の式において、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表される $n$ 個のベクトルを、それぞれ $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ とすれば、次が成り立ちます。
$$
\begin{align*}
(\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \\ \\
\left\{ \begin{array} {cc}
\bm{v}^{\prime}_{1} = a_{11} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{m1} \, \bm{v}_{m} \\
\bm{v}^{\prime}_{2} = a_{12} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{m2} \, \bm{v}_{m} \\
\vdots \\
\bm{v}^{\prime}_{n} = a_{1n} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{mn} \, \bm{v}_{m} \\
\end{array} \right.
\end{align*}
$$
すなわち、$1 \leqslant j \leqslant n$ について次が成り立ちます。
$$
\begin{align*}
\begin{array} {cc}
\bm{v}^{\prime}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \, a_{ij} \, \bm{v}_{i} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,)
\end{array}
\end{align*}
$$
これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合を、行列 $A$ の要素を（係数として）用いて表したものに他なりません。
基本的な性質
次に、線型結合の行列表記について成り立つ基本的な性質を示します。すなわち、上記の 線型結合の行列表記は線型写像により保存されます。
定理 4.45（線型結合の行列表記）
$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とする。$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ と $(m ,n)$ 型行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ が、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m} \,) \, A$ を満たすとき、次が成り立つ。
$$
\begin{equation} \tag{4.6.2}
\left( \, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \right) = \left(\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m}) \, \right) \, A
\end{equation}
$$
解説
線型結合の行列表記は線形写像により保存される
定理 4.45（線型結合の行列表記）は、上記の 線型結合の行列表記が線型写像により保存されることを示しています。
すなわち、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m}$ の線型結合として表せるとき、線型写像 $f$ による像 $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ も $f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m})$ の線型結合として表すことができ、 （4.6.2）式を満たすということです。
線形写像の基本的性質との対応
定理 4.45（線型結合の行列表記）において、$V$ の元の間に成り立つ関係式 $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,)$ $=$ $(\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m} \,) \, A$ と、$f$ による像（$W$ の元）の間に成り立つ関係式 $\left( \, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \right)$ $=$ $\left(\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m}) \, \right) \, A$ が、同じ行列 $A$ により表されるという点が重要です。
これは、線型写像により線型結合の係数が変わらないことを表しています。
$$
\begin{gather*}
\bm{v}_{j} \mapsto f(\bm{v}_{j}) \quad \; (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,) \\ \\
\left[ \; \; \begin{align*}
\bm{v}_{j} &= a_{1j} \, \bm{u}_{1} + \cdots + a_{mj} \, \bm{u}_{m}, \\
f(\bm{v}_{j}) &= a_{1j} \, f(\bm{u}_{1}) + \cdots + a_{mj} \, f(\bm{u}_{m})
\end{align*} \; \; \right]
\end{gather*}
$$
つまり、$V$ において $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m}$ の線型結合として表される $\bm{v}_{j}$ は、$f(\bm{v}_{j})$ に移された後も、同じ係数を持つ $f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m})$ の線型結合として表されます。
これは、$f$ が線型写像であることから直ちに導かれる性質であり、 線形写像の基本的性質と対応するものです。このことについては、下記の 証明において詳しく示します。
証明
$A = (\, a_{ij} \,)$ とすれば、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m} \,) \, A$ であるから、$1 \leqslant j \leqslant n$ について、次が成り立つ。
$$
\begin{array} {cc}
\bm{v}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{u}_{i} \, a_{ij} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,)
\end{array}
$$
いま、$f$ は線型写像であるから、$f(\bm{v}_{j})$ について、次が成り立つ。
$$
\begin{split}
f(\bm{v}_{j}) &= f \Big( \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{u}_{i} \, a_{ij} \Big) \\
&= \displaystyle \sum_{i}^{m} \, f(\bm{u}_{i}) \, a_{ij}
\end{split}
$$
したがって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ をまとめて表記すると、次のようになる。
$$
\begin{align*}
\left( \, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \right) = \left(\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m}) \, \right) \, A
\end{align*} \tag*{$\square$}
$$
証明の考え方
行ベクトルとしてまとめて表記しているベクトルの組のうち（$1$）$1$ つのベクトルに着目し（$2$）$f$ によりどのように移されるかを考えると、$f$ が線型写像であることから直ちに証明できます。
（1）$1$ つのベクトルに着目する
まず、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,)$ のうち、$j$ 番目の成分にあたる $\bm{v}_{j}$ に着目します。
$$ \begin{gather*} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m} \,) \, A \end{gather*} $$$\bm{v}_{j}$ は、行ベクトル $(\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m} \,)$ と $(m, n)$ 型行列 $A$ の積の $j$ 列目にあたり、次のように表すことができます。
$$ \begin{array} {cc} \bm{v}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{u}_{i} \, a_{ij} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$$\bm{v}_{j}$ を和の記号を用いずに表せば、次のようになります。
$$ \begin{gather*} \bm{v}_{j} = a_{1j} \bm{u}_{1} + a_{2j} \bm{u}_{2} + \cdots + a_{mj} \bm{u}_{m} \end{gather*} $$
（2）$f$ による像を求める
次に、$f$ による $\bm{v}_{j}$ の像 $f(\bm{v}_{j})$ について考えます。
$f$ は線型写像であるので、$f(\bm{v}_{j})$ について次が成り立ちます。
$$ \begin{split} f(\bm{v}_{j}) &= f \Big( \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{u}_{i} \, a_{ij} \Big) \\ &= \displaystyle \sum_{i}^{m} \, f(\bm{u}_{i}) \, a_{ij} \end{split} $$- これは、和の記号を用いずに表せば、よりわかりやすいです。$$ \begin{split} f(\bm{v}_{j}) &= f(a_{1j} \bm{u}_{1} + \cdots + a_{mj} \bm{u}_{m}) \\ &= a_{1j} f(\bm{u}_{1}) + \cdots + a_{mj} f(\bm{u}_{m}) \\ \end{split} $$
- これは、和の記号を用いずに表せば、よりわかりやすいです。
また、これは $1 \leqslant j \leqslant n$ について成り立ちますので、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ を行ベクトルとしてまとめて表記すれば、次のようになります。
$$ \begin{split} \left( \, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \right) &= \Big(\, \displaystyle \sum_{i}^{m} \, f(\bm{u}_{i}) \, a_{i1}, \; \cdots, \; \displaystyle \sum_{i}^{m} \, f(\bm{u}_{i}) \, a_{in} \, \Big) \\ &= \left(\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m}) \, \right) \, A \\ \end{split} $$これも、和の記号を用いずに表せば、次のようになります。
$$ \begin{split} \left( \, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \right) &= \Big(\, a_{11} f(\bm{u}_{1}) + \cdots + a_{m1} f(\bm{u}_{m}) \, , \, \cdots \\ & \quad \quad \quad \cdots, \; a_{1n} f(\bm{u}_{1}) + \cdots + a_{mn} f(\bm{u}_{m}) \, \Big) \\ &= \left(\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m}) \, \right) \, \begin{pmatrix} \, a_{11} & \cdots & a_{1n} \, \\ \, \vdots & \ddots & \vdots \, \\ \, a_{m1} & \cdots & a_{mn} \, \\ \end{pmatrix} \\ &= \left(\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m}) \, \right) \, A \\ \end{split} $$記載は煩雑になりますが、線型結合の係数が行列 $A$ にまとめられることがよくわかります。
以上で題意が示されました。
行列の列ベクトル表記との整合性
最後に、 線型結合の行列表記が、行列の列ベクトル表記と整合するものであることを確かめます。
解説
線型結合の行列表記
上記の 線型結合の行列表記は、ベクトルの組 $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ を、あたかも各ベクトル $\bm{v}_{i}$ を成分とする行ベクトルとして扱うものでした。
行列の列ベクトル表記
一方で、 行列の定義において、行列を列ベクトルの組として表す表記法を導入しました。
$$
\begin{split}
B &= \; \; (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \\
&= \begin{pmatrix}
\, v_{11} & \cdots & v_{1m} \, \\
\, \vdots & \ddots & \vdots \, \\
\, v_{l1} & \cdots & v_{lm} \, \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
2つの表記法の整合性
これら $2$ つの表記法はそれぞれ整合するものであり、用途により使い分けることができます。すこし計算が面倒ではありますが、以下に、その整合性を確認します。
整合性の確認
仮に、$\bm{v}_{i}$ を $l$ 項数ベクトルとすると、$B$ は $(l, m)$ 型行列を表します。このとき、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ は、「ベクトルを成分とする行ベクトル」とも、「行列を列ベクトルの組として表したもの」とも捉えられます。
まず、$B = (\, v_{hi} \,)$ を $(l, m)$ 型行列、$A = (\, a_{ij} \,)$ を $(m, n)$ 型行列として、積 $BA$ を計算します。
$$
\begin{split}
BA &= \begin{pmatrix}
\, v_{11} & v_{12} & \cdots & v_{1m} \, \\
\, v_{21} & v_{22} & \cdots & v_{2m} \, \\
\, \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \, \\
\, v_{l1} & v_{l2} & \cdots & v_{lm} \, \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\, a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \, \\
\, a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \, \\
\, \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \, \\
\, a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \, \\
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\, a_{11} v_{11} + a_{21} v_{12} + \cdots + a_{m1} v_{1m} & \cdots & a_{1n} v_{11} + a_{2n} v_{12} + \cdots + a_{mn} v_{1m} \, \\
\, a_{11} v_{21} + a_{21} v_{22} + \cdots + a_{m1} v_{2m} & \cdots & a_{1n} v_{21} + a_{2n} v_{22} + \cdots + a_{mn} v_{2m} \, \\
\, \vdots & & \vdots \, \\
\, a_{11} v_{l1} + a_{21} v_{l2} + \cdots + a_{m1} v_{lm} & \cdots & a_{1n} v_{l1} + a_{2n} v_{l2} + \cdots + a_{mn} v_{lm} \, \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
ここで、行列の積 $BA$ は $(l, n)$ 型の行列であり、その $1$ 列目をとり出すと、次のようになります。
$$
\begin{align*}
&\quad \, \begin{pmatrix}
\, a_{11} v_{11} + a_{21} v_{12} + \cdots + a_{m1} v_{1m} \, \\
\, a_{11} v_{21} + a_{21} v_{22} + \cdots + a_{m1} v_{2m} \, \\
\, \vdots \, \\
\, a_{11} v_{l1} + a_{21} v_{l2} + \cdots + a_{m1} v_{lm} \, \\
\end{pmatrix} \\
&= a_{11} \begin{pmatrix} \, v_{11} \\ v_{21} \\ \vdots \\ v_{l1} \, \end{pmatrix} + a_{21} \begin{pmatrix} \, v_{12} \\ v_{22} \\ \vdots \\ v_{l2} \, \end{pmatrix} + \cdots + a_{m1} \begin{pmatrix} \, v_{1m} \\ v_{2m} \\ \vdots \\ v_{lm} \, \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
いま、$\bm{v}_{i}$ は $l$ 項数ベクトルと仮定していますので、$\bm{v}_{1}, \bm{v}_{2}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は、それぞれ次のように表すことができます。
$$
\begin{array} {cccc}
\bm{v}_{1} = \begin{pmatrix} \, v_{11} \\ v_{21} \\ \vdots \\ v_{l1} \, \end{pmatrix}, &
\bm{v}_{2} = \begin{pmatrix} \, v_{12} \\ v_{22} \\ \vdots \\ v_{l2} \, \end{pmatrix}, &
\cdots, &
\bm{v}_{m} = \begin{pmatrix} \, v_{1m} \\ v_{2m} \\ \vdots \\ v_{lm} \, \end{pmatrix}
\end{array}
$$
このとき、$BA$ は次のようになります。
$$
\begin{align*}
BA &= (\, a_{11} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{m1} \, \bm{v}_{m} \, , \, \cdots \\
& \quad \quad \quad \cdots, \; a_{1n} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{mn} \, \bm{v}_{m} \,) \\
\end{align*}
$$
これは、 （4.6.1）式において、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ を行ベクトルとして扱って $A$ との積を計算した結果に一致します。
すなわち、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ を行列として扱っても、行ベクトルとして扱っても計算結果は変わらないということです。
表記法の使い分け
このように、ベクトルの組をまとめて表記する方法はそれぞれ整合しており、用途により使い分けることができます。
主に、行列式の計算や行列に関連する定理の証明においては「行列の列ベクトル（または行ベクトル）による表記」が、ベクトル空間の基底に関する考察においては「線型結合の行列表記」が用いられることが多いです。
まとめ
$V$ をベクトル空間とする。$m$ 個のベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in V$ と、$(m, n)$ 型の行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表される $n$ 個のベクトルを次のように表す。
$$ \begin{equation*} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \end{equation*} $$$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とする。$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ と $(m ,n)$ 型行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ が、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{m} \,) \, A$ を満たすとき、次のことが成り立つ。
$$ \begin{align*} \left( \, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \right) = \left(\, f(\bm{u}_{1}), \cdots, f(\bm{u}_{m}) \, \right) \, A \end{align*} $$
参考文献
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[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
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[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-04-01 | 改訂：2025-01-10
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