線型結合の行列表記（2）

線型結合の行列表記を用いて、線型独立なベクトルと行列の積について成り立つ性質を示します。

これらの定理は、ベクトル空間の基底をまとめて扱う際に有用です。

線型独立なベクトルと行列#

定理 4.46（線型独立なベクトルの組 1）#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ を線型独立なベクトル、$A = (\, a_{ij} \,)$ を $(m ,n)$ 型行列とする。このとき、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A = (\, \bm{0}, \cdots, \bm{0} \,)$ ならば $A = O$ が成り立つ。

解説#

線形独立なベクトルの線型関係（定理 4.46 の意味）#

定理 4.46（線型独立なベクトルの組 1）において、下記の条件式は線形独立なベクトルの（$n$ 個の）線型関係を表しています。

前項で導入した 線型結合の行列表記より、 （$\ast$）式の左辺は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表される $n$ 個のベクトルを表しています。また、$A$ は $(m ,n)$ 型行列であるので、 （$\ast$）式の右辺 $(\, \bm{0}, \cdots, \bm{0} \,)$ は $n$ 個の零ベクトルをまとめて表記したものとなります。

したがって、 （$\ast$）式は、次のような $n$ 個の線型関係を横に並べて行ベクトルとしてまとめて表記したものと理解することができます。

定理 4.46 の仮定より $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は線型独立なベクトルであり、線型独立なベクトルの組は自明でない線型関係を持ちません（ 線型独立の定義）。したがって、線型結合の係数はすべて $0$ に等しく、$A$ が零行列 $O$ に等しくなるということが納得できます。

証明（定理 4.46）#

$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A = (\, \bm{0}, \cdots, \bm{0} \,)$ とすると、$1 \leqslant j \leqslant n$ について、次が成り立つ。

ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が線型独立であるから $a_{1j} = a_{2j} = \cdots = a_{mj} = 0$ である。このことは $1 \leqslant j \leqslant n$ について成り立つので、

したがって、$A = O$ である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.46）#

（$1$）行ベクトルとしてまとめて表しているベクトルの組のうち $1$ つのベクトルに着目すると、線型独立なベクトルが自明でない線型関係を持たないこと（ 線型独立の定義）から、係数がすべて $0$ に等しいことが導かれます。（$2$）このことを、すべてのベクトルに適用します。

（1）線型結合の行列表記の分解#

• 線型結合の行列表記により、まとめて表しているベクトルの組のうち $1$ つのベクトルに着目します。

• $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A = (\, \bm{0}, \cdots, \bm{0} \,)$ のうち $j$ 番目の成分を取り出すと、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{v}_{i} \, a_{ij} = \bm{0} \end{align*} $$
  • 和の記号をはずせば、これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型関係を表す式に他なりません。
    $$ \begin{gather*} a_{1j} \, \bm{v}_{1} + a_{2j} \, \bm{v}_{2} + \cdots + a_{mj} \, \bm{v}_{m} = \bm{0} \end{gather*} $$

• いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が線型独立であることから $a_{1j} = a_{2j} = \cdots = a_{mj} = 0$ となります（ 線型独立の定義）。すなわち、ある $j$ について、次が成り立つことが示されました。

  $$ \begin{array} {cc} a_{ij} = 0 & (\, 1 \leqslant i \leqslant m \,) \end{array} $$

（2）導出結果の展開#

• 上記の考察は、$1 \leqslant j \leqslant n$ である、すべての $j$ について成り立ちます。

• すなわち、すべての $i, j$ について $a_{ij} = 0$ となります。

  $$ \begin{array} {cc} a_{ij} = 0 & (\, 1 \leqslant i \leqslant m, \; 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$

• これは、$A = (\, a_{ij} \,)$ において、すべての成分が $0$ に等しいことに他なりません。すなわち、$A = O$ が成り立ちます。

  $$ \begin{split} A &= (\, a_{ij} \,) \\ &= (\, 0 \,) \\ &= O \end{split} $$

• 以上から、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A = (\, \bm{0}, \cdots, \bm{0} \,)$ ならば $A = O$ であることが示されました。

定理 4.47（線型独立なベクトルの組 2）#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ を線型独立なベクトル、$A = (\, a_{ij} \,), \; B = (\, b_{ij} \,)$ を $(m ,n)$ 型行列とする。このとき、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A$ $=$ $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, B$ ならば $A = B$ が成り立つ。

解説#

線形独立なベクトルの線型結合（定理 4.47 の意味）#

定理 4.47（線型独立なベクトルの組 2）において、下記の条件式の両辺は、ともに線形独立なベクトルの（$n$ 個の）線型結合を表しています。

前項で導入した 線型結合の行列表記より、 （$\ast \ast$）式の両辺は、ともに $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表される $n$ 個のベクトルを表しています。したがって、 （$\ast \ast$）式は、次のような $n$ 個の等式を横に並べて行ベクトルとしてまとめて表記したものと理解することができます。

定理 4.47は、上記の条件式が成り立つとき $A = B$ となることを主張するものです。これは、 （$\ast \ast^{\prime}$）式において、すべての $i, j$ について $a_{ij} = b_{ij}$ が成り立つことにほかなりません。

このように考えると、 定理 4.47は、「 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が線型独立であるならば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合が一意に表せる」ことを意味していると捉えることができます。

関連する定理#

定理 4.46（線型独立なベクトルの組 1）#

下記の 証明に示す通り、 定理 4.47（線型独立なベクトルの組 2）は 定理 4.46（線型独立なベクトルの組 1）と同じ考え方で証明することができます。また、 定理 4.46から直ちに導くことができます。

そのような意味で、 定理 4.47は 定理 4.46の系ともいえる定理です。

定理 4.18（線型独立と同値な条件）#

また、 上記の考察により、 定理 4.47の主張を「 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が線型独立であるならば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合は一意に表せる」と捉えることができます。

このように考えると、次のように、 定理 4.47は、線型独立なベクトルに関する 定理 4.18（線型独立と同値な条件）の一部であると捉えることができます。それぞれの定理の主張は、次のように整理できます。

• 定理 4.47（線型独立なベクトルの組 2）
  • 「 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が線型独立」　$\Rightarrow$ 「 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合は一意的」
• 定理 4.18（線型独立と同値な条件）
  • 「 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が線型独立」　$\Leftrightarrow$ 「 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合は一意的」

証明（定理 4.47）#

$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A$ $=$ $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, B$ とすると、$1 \leqslant j \leqslant n$ について、次が成り立つ。

ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は線型独立であるので、$a_{1j} - b_{1j} = 0, \, a_{2j} - b_{2j} = 0, \, \cdots, \, a_{mj} - b_{mj} = 0$ が成り立つ。また、このことは $1 \leqslant j \leqslant n$ について成り立つので、

が成り立つ。したがって、$A = B$ である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.47）#

定理 4.46（線型独立なベクトルの組 1）と同じ考え方で証明できます。

すなわち、（$1$）行ベクトルとしてまとめて表しているベクトルの組のうち $1$ つのベクトルに着目して、線型独立なベクトルが自明でない線型関係を持たないこと（ 線型独立の定義）という性質を利用し、（$2$）このことを、すべてのベクトルに適用します。

（1）線型結合の行列表記の整理#

• 線型結合の行列表記により、まとめて表しているベクトルの組のうち $1$ つのベクトルに着目します。

• $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A$ $=$ $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, B$ のうち $j$ 番目の成分を取り出すと、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{v}_{i} \, a_{ij} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{v}_{i} \, b_{ij} \end{align*} $$
  • 和の記号をはずせば、上式は次のような等式に他なりません。
    $$ \begin{gather*} a_{1j} \, \bm{v}_{1} + \cdots + a_{mj} \, \bm{v}_{m} = b_{1j} \, \bm{v}_{1} + \cdots + b_{mj} \, \bm{v}_{m} \end{gather*} $$

• 上式の両辺はともに $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合であり、次のように変形することができます。

  $$ \begin{gather*} & \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{v}_{i} \, a_{ij} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{v}_{i} \, b_{ij} \\ \Leftrightarrow & \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{v}_{i} \, (a_{ij} - b_{ij}) = \bm{0} \\ \end{gather*} $$

• ここで、定理の仮定より $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は線型独立であり、線形独立なベクトルは自明でない線型関係を持たないことから、$a_{1j} - b_{1j} = 0, \, a_{2j} - b_{2j} = 0, \, \cdots, \, a_{mj} - b_{mj} = 0$ が成り立ちます（ 線型独立の定義）。

• すなわち、ある $j$ について、次が成り立つことがわかりました。

  $$ \begin{array} {cc} a_{ij} = b_{ij} & (\, 1 \leqslant i \leqslant m \,) \end{array} $$

（2）導出結果の展開#

• 上記の考察は、$1 \leqslant j \leqslant n$ である、すべての $j$ について成り立ちます。

• すなわち、すべての $i, j$ について $a_{ij} = b_{ij}$ となります。

  $$ \begin{array} {cc} a_{ij} = b_{ij} & (\, 1 \leqslant i \leqslant m, \; 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$

• これは、$A = (\, a_{ij} \,), \, B = (\, b_{ij} \,)$ において、すべての成分が等しいことに他なりません。すなわち、$A = B$ が成り立ちます。

  $$ \begin{split} A &= (\, a_{ij} \,) \\ &= (\, b_{ij} \,) \\ &= B \end{split} $$

• 以上から、$(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A$ $=$ $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, B$ ならば $A = B$ であることが示されました。

まとめ#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ を線型独立なベクトル、$A = (\, a_{ij} \,), \; B = (\, b_{ij} \,)$ を $(m ,n)$ 型行列とすると、次のことが成り立つ。
  
  • $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A = (\, \bm{0}, \cdots, \bm{0} \,)$ ならば $A = O$ 。
    
  • $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A$ $=$ $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, B$ ならば $A = B$ 。
    

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
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[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
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[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.