線型写像の行列表示（1）

線型写像と行列は $1$ 対 $1$ に対応します。すなわち、線型写像は行列により表現され、逆に、行列に対して線形写像が定まります。

線型写像と行列との対応関係は、線型代数学における中心的なアイディアの $1$ つであり、 行列の標準化や 固有値と固有ベクトルなど、様々な領域で重要な役割を果たします。

線型写像の行列表示#

定理 4.50（線型写像の行列表示）#

$V, W$ をそれぞれ $n$ 次元、$m$ 次元のベクトル空間とし、それぞれの基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ とする。このとき、線型写像 $f : V \to W$ に対して、次の関係式により表される $(m, n)$ 型行列 $A$ が存在する。

また、逆に $(m, n)$ 型行列 $A$ が与えられたとき、この関係式により表される線型写像 $f : V \to W$ が存在する。

解説#

線形写像と行列の対応関係#

定理 4.50（線型写像の行列表示）は、線型写像と行列が $1$ 対 $1$ に対応することを示しています。

線型写像 $f : V \to W$ は行列 $A$ によって表現され、逆に、行列 $A$ によって線型写像 $f : V \to W$ が定まります。すなわち、

線形写像の行列表示は基底に依存する#

線型写像 $f : V \to W$ の行列表示 $A$ は、定義域 $V$ と値域 $W$ の基底に依存します。

$V$ と $W$ の基底を固定することで、線形写像 $f$ の行列表示 $A$ は一意に定まります。逆にいうと、同じ線型写像 $f$ の行列表示であっても、$V$ と $W$ の基底のとり方が異なれば、異なる行列になるということです。

このような理由から、線形写像 $f$ を表現する行列 $A$ は、基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の行列表示（$\text{matrix}$ $\text{representation}$）などと表されます。

対等な行列とは：同じ線形写像の行列表示#

線形写像の行列表示は基底のとり方により異なります。しかしながら、同じ線型写像を表現する行列がまったく無関係であるわけではありません。

同じ線形写像を表現する異なる行列は、正則行列により互いに変換可能です。このような行列は、互いに対等（$\text{equivalent}$）な行列などと呼ばれます。

基底の変更により線型写像 $f$ の行列表示がどのように変わるかは、 定理 4.52（対等な行列）に改めて整理します。

用語について（線形写像の行列表示）#

線型写像の「行列表示（$\text{matrix}$ $\text{representation}$）」は、他に、「表現行列」、「対応する行列」といった用語で表現されます。使用している教科書に合わせて、適切な用語を選ぶ必要があります。

また、対応する英語の表現としては、 [6] の $\text{“the}$ $\text{matrix}$ $\text{associated}$ $\text{with}$ $\text{the}$ $\text{linear}$ $\text{map”}$ などがあります。

証明#

$f : V \to W$ は写像であるから $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \in W$ であり、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は、それぞれ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合として表せる。

$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ を 線型結合の行列表記によりまとめて表すと、次のようになる。

ここで $A = (\, a_{ij} \,)$ であり、$A$ は $(m, n)$ 型の行列である。また、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は $W$ の基底であるので、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合としての表し方は一意的である。したがって、線型写像 $f$ に対して行列 $A$ は一意に定まる。

逆に、$(m, n)$ 型の行列 $A$ が与えられたとき、$A = (\, a_{ij} \,)$ として、$V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に対して、次のような $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ を対応させる $f$ を考える。

いま、$\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}$ に対して、

であるとすると、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) \in W$ が一意に定まるので、$f$ は写像である。また、$\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}, \; \bm{v}^{\prime} = x^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x^{\prime}_{n} \bm{v}_{n}, \; c \in K$ とすると、次が成り立つ。

したがって、$f$ は線型写像である。$\quad \square$

証明の考え方#

（$1$）線型写像により行列が一意に定まることと（$2$）行列により線型写像が定まることを、それぞれ示します。

• （$1$） 線型結合の行列表記を用いて証明します。
• （$2$）行列 $A$ により定まる $V$ の元と $W$ の元の対応 $f$ が写像であることを示した上で、さらに $f$ が線型写像であることを示します。

（1）線型写像により行列が一意に定まることの証明#

• まず、線型写像 $f : V \to W$ により行列 $A$ が定まることを示します。

• $f : V \to W$ は写像であるので、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $\bm{w} = f(\bm{v})$ となる $\bm{w} \in W$ が存在します。

• したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ に対して $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \in W$ が存在し、それぞれ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合として表せます。

  $$ \begin{array} {cc} f(\bm{v}_{j}) = \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{w}_{i} \, a_{ij} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$

• $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ に関する上記の関係式を 線型結合の行列表記によりまとめて表すと、次のようになります。

  $$ \begin{align*} (\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \,) = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A \end{align*} \tag{$\ast$} $$
  • ここで、$A = (\, a_{ij} \,)$ であり、$A$ は $(m, n)$ 型の行列となります。
  • （$\ast$）式は、$V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ の $f$ による像を $W$ の基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合として表す式をまとめたものです。
  • （$\ast$）式を、$1$ つ $1$ つ書き下せば、次のようになります。
    $$ \begin{align*} f(\bm{v}_{1}) &= a_{11} \, \bm{w}_{1} + \cdots + a_{m1} \, \bm{w}_{m} \\ f(\bm{v}_{2}) &= a_{12} \, \bm{w}_{1} + \cdots + a_{m2} \, \bm{w}_{m} \\ & \; \; \vdots \\ f(\bm{v}_{n}) &= a_{1n} \, \bm{w}_{1} + \cdots + a_{mn} \, \bm{w}_{m} \\ \end{align*} $$

• 上記の （$\ast$）式により得られる行列 $A$ は、線型写像 $f$ に対して一意に定まります。
  • $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は $W$ の基底であるので、 定理 4.28（基底であることと同値な条件）より、$f(\bm{v}_{j})$ の $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合としての表し方は一意的です。
  • したがって、行列 $A$ は線型写像 $f$ に対して一意に定まるといえます。
• 以上から、線型写像 $f : V \to W$ により行列 $A$ が定まることが示されました。

（2）行列により線型写像が定まることの証明#

• 次に、行列 $A$ により線型写像 $f : V \to W$ が定まることを示します。

• $(m, n)$ 型の行列 $A$ が与えられたとき、$A = (\, a_{ij} \,)$ として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ に対して、次のような $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \in W$ を対応させる $f$ を考えます。

  $$ \begin{array} {cc} f(\bm{v}_{j}) = \displaystyle \sum_{i}^{m} \, \bm{w}_{i} \, a_{ij} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$
  • ここで、$f$ は $V$ の元と $W$ の元との対応であり、$f$ が写像であることはまだいえません。
  • いま、証明すべきは「行列 $A$ に対応する線型写像 $f$ が存在する」ことなので、はじめから $f$ を写像とすると、証明すべきことの一部を仮定してしまう可能性があります。
  • そのため、$V$ の元と $W$ の元の対応 $f$ について、$f$ が写像であり、更に線型写像であることを段階的に示します。

• いま、$\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}$ に対して、$f$が、次の式を満たすとします。

  $$ \begin{align*} f(\bm{v}) = x_{1} \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + x_{n} \, f(\bm{v}_{n}) \end{align*} $$

• こうすることで、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) \in W$ が存在し、かつ $f(\bm{v})$ が一意に定まることが担保されます。これにより、$f$ は写像であるといえます。

  • まず、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であることから、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として $\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}$ と表せます。
  • 上式により、$f(\bm{v}) = x_{1} \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + x_{n} \, f(\bm{v}_{n})$ かつ $f(\bm{v}_{j}) \in W$ であるので、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) \in W$ が存在するといえます。
  • 同様に、上式より、任意の $f(\bm{v}), \, f(\bm{v}^{\prime})$ が $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合で表されることになりますが、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は $W$ の基底であり線型独立であるため、$f(\bm{v}) \neq f(\bm{v}^{\prime}) \Rightarrow \bm{v} \neq \bm{v}^{\prime}$ が成り立ちます。
  • よって、$f$ は 写像であるための条件を満たします（ 写像の定義）。

• 更に、$f$ が線型写像であることを示します。

  • これは、 線型写像の定義にしたがって、$f$ が和とスカラー倍の演算を保存することを確かめることで示せます。

• まず、和の演算について $\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}, \; \bm{v}^{\prime} = x^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x^{\prime}_{n} \bm{v}_{n}$ とすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} f(\bm{v} + \bm{v}^{\prime}) &\overset{(\text{i})}{=} f \big(\, (x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}) \\ &\qquad \; \; + (x^{\prime}_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x^{\prime}_{n} \bm{v}_{n}) \, \big) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} f \big(\, (x_{1} + x^{\prime}_{1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + (x_{n} + x^{\prime}_{n}) \, \bm{v}_{n} \, \big) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} (x_{1} + x^{\prime}_{1}) \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + (x_{n} + x^{\prime}_{n}) \, f(\bm{v}_{n}) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \big(\, x_{1} \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + x_{n} \, f(\bm{v}_{n}) \, \big) \\ & \qquad + \big(\, x^{\prime}_{1} \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + x^{\prime}_{n} \, f(\bm{v}_{n}) \, \big) \\ &\overset{(\text{v})}{=} f(\bm{v}) + f(\bm{v}^{\prime}) \end{split} $$
  • （$\text{i}$）、（$\text{iii}$）、（$\text{v}$）$f$ の置き方によります。
  • （$\text{ii}$）、（$\text{iv}$） ベクトル空間の公理によります。すなわち、$V$ と $W$ がベクトル空間であるという前提によります。

• 次に、スカラー倍の演算について $\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}, \; c \in K$ とすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} f(c\,\bm{v}) &\overset{(\text{i})}{=} f \big(\, c \, (x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}) \, \big) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} f (\, x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c \, x_{n} \bm{v}_{n} \,) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} c \, x_{1} \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c \, x_{n} \, f(\bm{v}_{n}) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} c \, \big(\, x_{1} \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + x_{n} \, f(\bm{v}_{n}) \, \big) \\ &\overset{(\text{v})}{=} c \, f(\bm{v}) \\ \end{split} $$
  • （$\text{i}$）、（$\text{iii}$）、（$\text{v}$）$f$ の置き方によります。
  • （$\text{ii}$）、（$\text{iv}$） ベクトル空間の公理によります。すなわち、$V$ と $W$ がベクトル空間であるという前提によります。

• $f$ が線型演算（和とスカラー倍の演算）を保存することが確かめられたので、$f$ が線形写像であることが示されたといえます。

• 以上から、与えられた行列 $A$ に対して線型写像 $f$ が定まることが示されました。

まとめ#

• $V, W$ をそれぞれ $n$ 次元、$m$ 次元のベクトル空間とし、それぞれの基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ とする。

  • このとき、線型写像 $f : V \to W$ に対して次の関係式により表される $(m, n)$ 型行列 $A$ が存在する。

    $$ \begin{align*} (\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \,) = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A \end{align*} $$

  • また、逆に $(m, n)$ 型行列 $A$ が与えられたとき、この関係式により表される線型写像 $f : V \to W$ が存在する。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.