対等な行列の間の関係

同じ線形写像を表現する行列は、正則行列により互いに変換可能です。このような行列は、互いに対等（$\text{equivalent}$）な行列と呼ばれます。

線型写像 $f : V \to W$ の行列表示は、ベクトル空間 $V, W$ の基底のとり方により定まります。ベクトル空間の基底のとり方は複数ありますので、基底のとり方が異なれば、$f$ の表現行列も異なります。ここでは、基底の変更により $f$ の表現行列がどのように変更されるかを示します。

線型写像の行列表示と基底の変更#

定理 4.52（対等な行列）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とする。$V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の表現行列を $A = (\, a_{ij} \,)$ として、$V$ の基底 $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ に関する $f$ の表現行列を $B = (\, b_{ij} \,)$ とする。また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ から $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ への基底変換行列を $P$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ から $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ への基底変換行列を $Q$ とする。このとき、次が成り立つ。

解説#

対等な行列の間の関係#

同じ線型写像を表現する異なる行列#

定理 4.52（対等な行列）は、同じ線型写像を表現する異なる行列の間の関係を示しています。

すなわち、基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の表現行列 $A$ と、基底 $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ と $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ に関する $f$ の表現行列 $B$ との間には、 （4.6.10）式で示される関係が成り立ちます。

基底変換行列 $P, Q$ が正則であることから、同様に $A = Q A P^{-1}$ が成り立つことも簡単に確かめられます。つまり、$f$ の表現行列 $A$ と $B$ は互いに置き換え可能であるといえます。

対等な行列の定義と同値関係#

上記の （4.6.10）式を満たすような行列 $A, B$ を、互いに対等（$\text{equivalent}$）な行列といいます。また、$B$ は $A$ に対等である等と表すこともあります。（このとき、もちろん $A$ は $B$ に対等であるともいえます。）

行列の間の “対等” という関係は、明らかに $M_{m,n} (K)$ における同値関係となります。すなわち、対等な行列の間には、反射律、対称律、推移律が成り立つということです（ 定理 4.15（ベクトル空間の同型）を参照）。このような意味で、対等な行列は $A \sim B$ のように表されることもあります。

行列の標準化における応用（定理 4.52 の意義）#

$2$ つの行列が対等であるということには、非常に重要な意味があります。

すなわち、ある行列を対等な行列で置き換えることができるということは、ある線型写像を表現する行列を（適当な基底を選ぶことで）より扱いやすく、簡単な形に変形できるということを意味しています。ここで、 定理 4.52（対等な行列）より、基底の変更は対応する正則行列との積で表されます。

このように、ある行列に正則行列を掛けることでより簡単な形に変形するという考え方は、 行列の基本変形や 行列の標準化において、基本的かつ重要な考え方です。

線型変換の表現行列の場合（相似な行列）#

後に見るように、 定理 4.52（対等な行列）は、線型変換において特に重要です。

この場合、同じ線型変換を表現する行列を、互いに相似（$\text{similar}$）な行列といいます。基底の変更により、線型変換の表現行列は相似な行列に置き換えられます。

相似な行列の間に成り立つ関係については、 定理 4.56（相似な行列）において、改めて整理します。

用語に関する補足（ 「対等な行列」と「相似な行列」 ）#

このような重要性の違いから、「対等（$\text{equivalent}$）な行列」という用語は一部の教科書（ [1], [4]）でのみ用いられている一方で、「相似（$\text{similar}$）な行列」という用語は多くの教科書（ [1], [2], [3], [4], [6]）で用いられています。

また、 [15] においても、「相似（$\text{similar}$）な行列」は見出し語にありますが、「対等（$\text{equivalent}$）な行列」は見出し語として現れません。

証明#

定理の仮定から、$f$ の表現行列 $A, B$ と基底変換行列 $P, Q$ について、次が成り立つ。

$f$ は線型写像であるから、（$\text{i}$）と（$\text{iii}$）より、次が成り立つ。

また、（$\text{ii}$）と（$\text{iv}$）より、次が成り立つ。

したがって、

いま、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は線型独立であるから、$Q B = A P$ が成り立つ。更に、$Q$ は正則であるから、次が成り立つ。

証明の考え方#

線型写像の行列表示に関する関係式（ 定理 4.50（線型写像の行列表示））と基底変換行列に関する関係式（ 定理 4.49（基底の変換））を用いて、$B = Q^{-1} A P$ を導きます。

（1）前提事項の整理#

• 定理の前提にしたがって、$f$ の表現行列 $A, B$ と基底変換行列 $P, Q$ に関する関係式を整理します。

• 定理 4.50（線型写像の行列表示）より、線型写像 $f$ の表現行列 $A, B$ について、次の関係式が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} (\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \,) &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A \tag{\text{i}} \\ (\, f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, f(\bm{v}^{\prime}_{n}) \,) &= (\, \bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m} \,) \, B \tag{\text{ii}} \\ \end{align*} $$

• また、 定理 4.49（基底の変換）より、基底変換行列 $P, Q$ について、次の関係式が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P \tag{\text{iii}} \\ (\, \bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m} \,) &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, Q \tag{\text{iv}} \\ \end{align*} $$
  • （$\text{iii}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ はともに $V$ の基底であることから、 定理 4.48（基底の間の関係）により $P$ は正則であり、逆行列 $P^{-1}$ を持ちます。
  • （$\text{iv}$）同様に、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ と $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ はともに $W$ の基底であることから 定理 4.48（基底の間の関係）により $Q$ は正則であり、逆行列 $Q^{-1}$ を持ちます。

（2）対等な行列の関係式の導出#

• 関係式 （$\text{i}$）$\sim$ （$\text{iv}$）を組み合わせて $Q B = A P$ を導きます。

  • 証明すべきは $B = Q^{-1} A P$ ですが、 上記の考察より、$P$ と $Q$ が正則であることがわかっていますので、関係式 （$\text{i}$）$\sim$ （$\text{iv}$）を上手く組み合わせて $Q B = A P$ を導くことで $B = Q^{-1} A P$ を得ることを考えます。

• まず、 （$\text{i}$）と （$\text{iii}$）を組み合わせると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} (\, f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, f(\bm{v}^{\prime}_{n}) \,) &\overset{(\alpha)}{=} (\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \,) \, P \\ &\overset{(\beta)}{=} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A P \\ \end{split} $$
  • （$\alpha$）基底変換行列に関する （$\text{iii}$）式に対して、 定理 4.45（線型結合の行列表記）を適用することで得られます。すなわち、$f$ が線型写像であるとき、$(\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,)$ $=$ $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P$ ならば $(\, f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, f(\bm{v}^{\prime}_{n}) \,)$ $=$ $(\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \,) \, P$ が成り立ちます。
  • （$\beta$）上記で得られた（$\alpha$）に、$f$ の表現行列に関する （$\text{i}$）式を適用することで得られます。

• 次に、 （$\text{ii}$）と （$\text{iv}$）を組み合わせると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} (\, f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, f(\bm{v}^{\prime}_{n}) \,) &= (\, \bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m} \,) \, B \\ &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, Q B \\ \end{split} $$
  • これは、$f$ の表現行列に関する （$\text{ii}$）式と基底変換行列に関する （$\text{iv}$）式から、直ちに導くことができます。

• 以上から、次の関係式が得られます。

  $$ \begin{gather*} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A P = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, Q B \end{gather*} $$

• いま、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は $W$ の基底であるから線型独立であり、 定理 4.47（線型独立なベクトルの組 $2$）より、$A P = Q B$ が成り立ちます。

• 更に、$Q$ が正則であることから、$A P = Q B$ の両辺に左から $Q^{-1}$ を掛けることで、$B = Q^{-1} A P$ が得られます。

  $$ \begin{alignat*} {3} && Q B &= A P \\ & \Leftrightarrow \quad & B &= Q^{-1} A P \end{alignat*} $$

• 以上で題意が示されました。

  • 同様の考え方により、$A = Q B P^{-1}$ という関係式を導くこともできます。

可換図式による表現#

対等な行列の可換図式#

基底の変更により線型写像の表現行列が対等な行列に変わることを可換図式で表すと、次のようになります。

可換図式の構成と意味#

上記の可換図式は、 線型写像の行列表示の可換図式と 基底変換行列の可換図式を組み合わせて構成されています（それぞれ、詳細は 前項を参照）。特に、基底変換行列 $P, Q$ に対応する矢印の向きに注意が必要です。

ここで、$\bm{v} \in V$ を基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表したときの座標ベクトルを $\bm{x}$、$\bm{v} \in V$ を基底 $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の線型結合として表したときの座標ベクトルを $\bm{x}^{\prime}$ として、$V$ から $K^{n}$ への同型写像を $\psi, \, \psi^{\prime}$ とすると、$\bm{v} \in V$ と $2$ つの座標ベクトルとの間には、$\bm{x} = \psi(\bm{v}), \; \bm{x}^{\prime} = \psi(\bm{v})$ が成り立ちます。

同様に、$\bm{w} \in W$ を基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合として表したときの座標ベクトルを $\bm{y}$、$\bm{w} \in W$ を基底 $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ の線型結合として表したときの座標ベクトルを $\bm{y}^{\prime}$ として、$V$ から $K^{m}$ への同型写像を $\phi, \, \phi^{\prime}$ とすると、$\bm{w} \in W$ と $2$ つの座標ベクトルとの間に $\bm{y} = \psi(\bm{w}), \; \bm{y}^{\prime} = \psi(\bm{w}^{\prime})$ が成り立ちます。

可換図式の経路と線型写像の対応#

このとき、$f$ の表現行列 $A, B$ と 基底変換行列 $P, Q$ は、それぞれ次のように表せます。

したがって、これを用いて $Q^{-1} A P$ を求めると、

となり、 定理 4.52（対等な行列）の主張と整合することが確かめられます。

まとめ#

• 線型写像 $f : V \to W$ の $2$ つの表現行列 $A, B$ の間には、次の関係式が成り立つ。

  $$ \begin{align*} B = Q^{-1} A P \end{align*} $$
  • $A$：$V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の表現行列。
  • $B$：$V$ の基底 $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ に関する $f$ の表現行列。
  • $P$：$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ から $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ への基底変換行列。
  • $Q$：$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ から $\bm{w}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{w}^{\prime}_{m}$ への基底変換行列。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
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[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
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[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.