行列の階数

行列の列階数と行階数が等しいことを証明します。ある行列の線型独立な列ベクトルの最大数と線型独立な行ベクトルの最大数は等しく、行列の階数は行と列に関して対称的です。列階数と行階数の定義を整理するとともに、階数の対称性について解説します。 $1$ つです。

対等な行列の階数は等しいことを証明・解説します。ある行列と正則行列の積の階数はもとの行列の階数に等しくなります。これは、線型写像の表現行列の階数が基底の変換により不変であること、行列の階数が基本変形により不変であることを示しています。

斉次連立一次方程式の解空間の次元と係数行列の階数の関係について解説します。斉次連立一次方程式の解空間の次元は係数行列の階数と型により定まります。これは、斉次連立一次方程式の基本解の数が係数行列の階数と型により決まることを意味しています。

正方行列が正則である（逆行列をもつ）ための必要十分条件を整理します。正則行列の条件は、行列式やベクトルの線型独立性、連立一次方程式、階数など、様々な観点から示せます。ここでは、特に、行列の階数の観点に基づく正則行列の条件を証明します。

線型写像が単射/全射であるために表現行列が満たすべき条件（必要十分条件）について解説します。表現行列の階数が定義域/値域の次元に等しいことは、線型写像が単射/全射であることと同値です。これは、線型写像の性質を階数を用いて言い換えたものです。

行列の積の階数について解説します。すなわち、2つの行列の積の階数は、もとの行列の階数のいずれをも超えません。このことは、行列の積を線型写像の合成に対応させて、線型写像の基本的性質を適用することで証明できます。

行列の階数の定義について解説します。行列の階数の2つの定義（線形写像による定義、基本変形による定義）の違いを比較します。また、行列に対して階数が一意に定まることを確認し、階数と列階数（線型独立な列ベクトルの最大数）が等しいことを証明します。

転置行列の階数について解説します。すなわち、行階数（線型独立な行ベクトルの最大数）は階数（列階数）に等しく、転置行列の階数はもとの行列の階数に等しいことを証明します。これらは、階数が行と列に関して対称的であることから導かれる性質です。

行列の階数と小行列式の関係について解説します。行列の階数が、0でない小行列式の最大次数に等しいことを証明します。これは、行列の階数が小行列式により定まることを示すとともに、一般の行列に標準形が存在することを示唆する重要な定理です。

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