階数と小行列式 目次 行列 A A A A A A 0 0 0
この定理は、行列の階数が小行列式により定まることを示すとともに、一般の行列に標準形が存在することを示唆する重要な定理です。
行列の階数と小行列式# 定理 4.63（階数と小行列式）# 行列 A A A A A A 0 0 0
小行列式とは# ( m , n ) (m, n) ( m , n ) A A A A A A p p p p p p p p p p p p minor / \text{minor /} minor / minor determinant \text{minor determinant} minor determinant 1 ⩽ p ⩽ m 1 \leqslant p \leqslant m 1 ⩽ p ⩽ m 1 ⩽ p ⩽ n 1 \leqslant p \leqslant n 1 ⩽ p ⩽ n
p p p p p p A A A ( m , n ) (m, n) ( m , n ) A A A A A A m C p ⋅ n C p {}_{m} \text{C}_{p} \cdot {}_{n} \text{C}_{p} m C p ⋅ n C p
階数と小行列式# 定理 4.63（階数と小行列式） は、一般の ( m , n ) (m, n) ( m , n ) 行列式の定義 ）という点です。
定理 4.63 は、一般の ( m , n ) (m, n) ( m , n ) A A A A A A 定理 4.63 は行列の階数と小行列式の関係を表しています。
すなわち、行列 A A A r r r A A A 0 0 0 r r r A A A r r r 0 0 0 r r r A A A 0 0 0
階数の計算方法# 我々は行列式の計算方法 を既に得ていますので、定理 4.63（階数と小行列式） により、具体的に与えられた行列の階数を計算することが可能になります。
つまり、具体的に与えられた行列に対して、値が 0 0 0
しかしながら、この方法にしたがって m C p ⋅ n C p {}_{m} \text{C}_{p} \cdot {}_{n} \text{C}_{p} m C p ⋅ n C p 行列の基本変形 による計算方法により階数を求める方が効率的で簡単です（行列の標準化 まとめ などを参照）。
定理 4.63（階数と小行列式） の意義は、実際的な計算手段よりも理論的な面にあります。すなわち、定理 4.63 により、行列の階数が小行列式の最大次数により定まると考えることができます。
このとき、ある行列 A A A r r r A A A 0 0 0 r r r
いうまでもなく、これは、一般の行列に対して標準形 が存在することや、標準形 への変形が可能であることを示唆しています（行列の標準化 まとめ などを参照）。
A A A r r r 定理 4.60（行階数） より A A A r r r a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ \bm{a}^{\prime}_{i_{1}}, \bm{a}^{\prime}_{i_{2}}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{i_{r}} a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ A A A a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ \bm{a}^{\prime}_{i_{1}}, \bm{a}^{\prime}_{i_{2}}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{i_{r}} a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ ( r , n ) (r, n) ( r , n ) A ′ A^{\prime} A ′ A ′ A^{\prime} A ′ a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ \bm{a}^{\prime}_{i_{1}}, \bm{a}^{\prime}_{i_{2}}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{i_{r}} a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ A ′ A^{\prime} A ′ r r r A ′ A^{\prime} A ′ r r r 定理 4.57（列階数） より A ′ A^{\prime} A ′ r r r a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r \bm{a}_{j_{1}}, \bm{a}_{j_{2}}, \cdots, \bm{a}_{j_{r}} a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r A ′ A^{\prime} A ′ a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r \bm{a}_{j_{1}}, \bm{a}_{j_{2}}, \cdots, \bm{a}_{j_{r}} a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r ( r , r ) (r, r) ( r , r ) A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ r r r
A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ r r r rank A ′ ′ = r \text{rank} \, A^{\prime \prime} = r rank A ′′ = r 定理 4.62（正則行列と階数） より、A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ det A ′ ′ ≠ 0 \det A^{\prime \prime} \neq 0 det A ′′ = 0 A A A r r r 0 0 0
また、r < s r \lt s r < s A A A s s s s s s B B B B B B r r r rank B ⩽ r < s \text{rank} \, B \leqslant r \lt s rank B ⩽ r < s 定理 4.62 より、B B B det B = 0 \det B = 0 det B = 0 A A A r r r 0 0 0 A A A A A A 0 0 0 □ \quad \square □
証明の考え方# A A A r r r A A A A A A 0 0 0 i \text{i} i A A A r r r 0 0 0 ii \text{ii} ii r r r A A A 0 0 0
（i \text{i} i ii \text{ii} ii 定理 4.57（列階数） 、定理 4.60（行階数） 、定理 4.62（正則行列と階数） を用います。
（i \text{i} i A A A r r r 0 0 0 # A A A r r r A A A ( r , r ) (r, r) ( r , r ) r r r まず、A A A ( r , n ) (r, n) ( r , n ) 定理 4.60（行階数） より、A A A A A A r r r A A A r r r a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ \bm{a}^{\prime}_{i_{1}}, \bm{a}^{\prime}_{i_{2}}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{i_{r}} a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ 1 ⩽ i 1 < i 2 < ⋯ < i r ⩽ m 1 \leqslant i_{1} \lt i_{2} \lt \cdots \lt i_{r} \leqslant m 1 ⩽ i 1 < i 2 < ⋯ < i r ⩽ m
A A A a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ \bm{a}^{\prime}_{i_{1}}, \bm{a}^{\prime}_{i_{2}}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{i_{r}} a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ ( r , n ) (r, n) ( r , n ) A ′ A^{\prime} A ′ A ′ A^{\prime} A ′ A A A i 1 i_{1} i 1 i 2 i_{2} i 2 ⋯ \cdots ⋯ i r i_{r} i r
A ′ = ( a i 1 ′ a i 2 ′ ⋮ a i r ′ ) = ( a i 1 1 a i 1 2 ⋯ a i 1 n a i 2 1 a i 2 2 ⋯ a i 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i r 1 a i r 2 ⋯ a i r n )
\begin{align*}
A^{\prime} = \begin{pmatrix}
\; \bm{a}^{\prime}_{i_{1}} \; \\ \; \bm{a}^{\prime}_{i_{2}} \; \\ \; \vdots \; \\ \; \bm{a}^{\prime}_{i_{r}} \; \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\; a_{i_{1}1} & a_{i_{1}2} & \cdots & a_{i_{1}n} \; \\
\; a_{i_{2}1} & a_{i_{2}2} & \cdots & a_{i_{2}n} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{i_{r}1} & a_{i_{r}2} & \cdots & a_{i_{r}n} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
A ′ = a i 1 ′ a i 2 ′ ⋮ a i r ′ = a i 1 1 a i 2 1 ⋮ a i r 1 a i 1 2 a i 2 2 ⋮ a i r 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a i 1 n a i 2 n ⋮ a i r n
A ′ A^{\prime} A ′ a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ \bm{a}^{\prime}_{i_{1}}, \bm{a}^{\prime}_{i_{2}}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{i_{r}} a i 1 ′ , a i 2 ′ , ⋯ , a i r ′ 定理 4.60（行階数） より、A ′ A^{\prime} A ′ r r r
次に、A ′ A^{\prime} A ′ ( r , r ) (r, r) ( r , r ) A ′ A^{\prime} A ′ r r r 定理 4.57（列階数） より、A ′ A^{\prime} A ′ r r r A ′ A^{\prime} A ′ r r r a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r \bm{a}_{j_{1}}, \bm{a}_{j_{2}}, \cdots, \bm{a}_{j_{r}} a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r 1 ⩽ j 1 < j 2 < ⋯ < j r ⩽ n 1 \leqslant j_{1} \lt j_{2} \lt \cdots \lt j_{r} \leqslant n 1 ⩽ j 1 < j 2 < ⋯ < j r ⩽ n
A ′ A^{\prime} A ′ a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r \bm{a}_{j_{1}}, \bm{a}_{j_{2}}, \cdots, \bm{a}_{j_{r}} a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r ( r , r ) (r, r) ( r , r ) A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ A ′ A^{\prime} A ′ j 1 j_{1} j 1 j 2 j_{2} j 2 ⋯ \cdots ⋯ j r j_{r} j r
A ′ ′ = ( a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r ) = ( a i 1 j 1 a i 1 j 2 ⋯ a i 1 j r a i 2 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i 2 j r ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i r j 1 a i r j 2 ⋯ a i r j r )
\begin{split}
A^{\prime \prime} &= (\, \bm{a}_{j_{1}}, \, \bm{a}_{j_{2}}, \, \cdots, \, \bm{a}_{j_{r}} \,) \\
&= \begin{pmatrix}
\; a_{i_{1} j_{1}} & a_{i_{1} j_{2}} & \cdots & a_{i_{1} j_{r}} \; \\
\; a_{i_{2} j_{1}} & a_{i_{2} j_{2}} & \cdots & a_{i_{2} j_{r}} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{i_{r} j_{1}} & a_{i_{r} j_{2}} & \cdots & a_{i_{r} j_{r}} \; \\
\end{pmatrix}
\end{split}
A ′′ = ( a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r ) = a i 1 j 1 a i 2 j 1 ⋮ a i r j 1 a i 1 j 2 a i 2 j 2 ⋮ a i r j 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a i 1 j r a i 2 j r ⋮ a i r j r
A A A A ′ A^{\prime} A ′ A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r \bm{a}_{j_{1}}, \bm{a}_{j_{2}}, \cdots, \bm{a}_{j_{r}} a j 1 , a j 2 , ⋯ , a j r 定理 4.57（列階数） より、A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ r r r
ここまでで、( m , n ) (m, n) ( m , n ) A A A ( r , r ) (r, r) ( r , r ) A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′
A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ r r r rank A ′ ′ = r \text{rank} \, A^{\prime \prime} = r rank A ′′ = r 定理 4.62（正則行列と階数） より A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ したがって、det A ′ ′ ≠ 0 \det A^{\prime \prime} \neq 0 det A ′′ = 0 これは、定理 3.22（逆行列を持つための条件） より、A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ det A ′ ′ ≠ 0 \det A^{\prime \prime} \neq 0 det A ′′ = 0 以上から、（i \text{i} i A A A r r r 0 0 0 （ii \text{ii} ii r r r A A A 0 0 0 # r < s r \lt s r < s A A A s s s s s s B B B このとき、B B B A A A 定理 4.57（列階数） および定理 4.60（行階数） より、A A A A A A r r r したがって、A A A B B B r r r よって、B B B A A A r r r rank B ⩽ r \text{rank} \, B \leqslant r rank B ⩽ r r < s r \lt s r < s rank B ⩽ r \text{rank} \, B \leqslant r rank B ⩽ r rank B ⩽ r < s \text{rank} \, B \leqslant r \lt s rank B ⩽ r < s rank B < s \text{rank} \, B \lt s rank B < s したがって、定理 4.62（正則行列と階数） より（より詳しくは定理 4.62 の対偶により） B B B したがって、det B = 0 \det B = 0 det B = 0 これは、定理 3.22（逆行列を持つための条件） （の対偶）より、A ′ ′ A^{\prime \prime} A ′′ det A ′ ′ = 0 \det A^{\prime \prime} = 0 det A ′′ = 0 以上から、（ii \text{ii} ii r r r A A A 0 0 0 まとめ# 行列 A A A A A A 0 0 0 [1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966. [2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986. [3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010. [4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018. [5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008. [6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987. [7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022. [8] 雪江明彦. 代数学 1 1 1 [9] 雪江明彦. 代数学 2 2 2 [10] 桂利行. 代数学 I \text{I} I [11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976. [12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965. [13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002. [14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014. [15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-05-29 | 改訂：2025-07-05