斉次連立一次方程式の解（1）

斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は、係数行列 $A$ により定まります。

すなわち、$A$ を $(m, n)$ 型行列とすると、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - \text{rank} \, A$ に等しくなります。これは、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が、$n - \text{rank} \, A$ 個の 基本解（線型独立な解）を持つということに他なりません。

斉次連立一次方程式の解空間#

前項では、一般の連立一次方程式 が解を持つための条件を示しました。ここでは、斉次連立一次方程式 について（解を持つ場合）解がどのような形であるかを考えます。

定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解全体の集合は $n$ 次元数ベクトル空間 $K^{n}$ の部分空間であり、その次元は $n - \text{rank} \, A$ に等しい。

解説#

解空間とは：解全体の集合#

解空間とは、方程式の解全体の集合のことです。斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は、$\{\, \bm{x} \mid A \bm{x} = \bm{0} \,\}$ と表すことができます（ 部分空間の例を参照）。

定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）は、斉次連立方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間が $K^{n}$ の部分空間（すなわちベクトル空間）であり、かつ、その次元が $n - \text{rank} \, A$ に等しくなることを示しています。

解空間の次元が $n - \text{rank} \, A$ であるということは、解空間が $n - \text{rank} \, A$ 個の基底を持ち、解空間に含まれる任意の元がこの基底の線型結合として表せるということを意味しています。

基本解と一般解#

このように考えると、 定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）の主張は、「斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ は $n - \text{rank} \, A$ 個の線型独立な解をもち、$A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解がこの線型独立な解の線型結合として表せる」と言い換えることができます。

ここで、$n - \text{rank} \, A$ 個の線型独立な解を 基本解（$\text{fundamental solution}$） といい、基本解の線型結合として表される解を 一般解（$\text{general solution}$） といいます。

なお、基本解と一般解はあくまで一般的な用語であり、微分方程式などの他の方程式系でも用いられます（ 用語について（基本解）を参照）。

解空間の次元と解の形#

定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）は、斉次連立一次方程式の解がどのような形であるかを表すものでもあります。

このことについて、具体例を挙げながら考えます。

斉次連立一次方程式は自明な解（$\bm{x} = \bm{0}$）を持つ#

前提として、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ は必ず解を持ち、これを自明な解といいます（ 基底と次元の準備などを参照）。

$A \bm{x} = \bm{0}$ において $\bm{x} = \bm{0}$ とすれば、係数行列 $A$ によらず $A \bm{x} = A \, \bm{0} =\bm{0}$ が常に成り立ちます。つまり、どのような斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ に対しても自明な解（$\bm{x} = \bm{0}$）が存在するということです。

解空間の次元が $0$ の場合#

解空間の次元が $0$ である場合、解空間は $\{\, \bm{0} \,\}$ であり $A \bm{x} = \bm{0}$ は自明な解しか持ちません。

解空間の次元が $1$ の場合#

解空間の次元が $1$ である場合、基本解（解空間の基底）は $1$ つであり、これを $\bm{x}_{1}$ とすれば、任意の解は $\bm{x}_{1}$ の線型結合、すなわち $c_{1} \bm{x}_{1}$ として表すことができます。

ここで、$c_{1} = 0$ とすれば、$c_{1} \bm{x}_{1} = \bm{0}$ となることから、任意の解 $c_{1} \bm{x}_{1}$ には（当然）自明な解も含まれることが確かめられます。

解空間の次元が $2$ の場合#

同様に、解空間の次元が $2$ である場合、基本解（解空間の基底）は $2$ つであり、これを $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}$ とすれば、任意の解は $c_{1} \bm{x}_{1} + c_{2} \bm{x}_{2}$ として表すことができます。より高次の場合も同様です。

一般の連立一次方程式の解との関係#

定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）は斉次連立一次方程式の解空間に限って成り立つ定理です。

しかしながら、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解と、一般の連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の解との間には対応関係があります（ 定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）を参照）。

したがって、 定理 5.2は、一般の連立一次方程式の解の形を考える際にも、非常に重要な役割を果たします。このことについては、 定理 5.6（連立一次方程式の解の形）において、改めて整理します。

証明#

$A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とすると、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は $\text{Ker} f_{A}$ と表すことができる。ここで、 定理 4.8（斉次連立一次方程式の解空間）より、$\text{Ker} f_{A}$ は $K^{n}$ の部分空間である。また、 定理 4.37（線型写像の基本定理）より、次が成り立つ。

したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - \text{rank} \, A$ に等しい。$\quad \square$

証明の考え方#

$A$ により定まる線型写像を $f_{A}$ とすると、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は $\text{Ker} f_{A}$ と表せます。このとき、$\text{Ker} f_{A}$ が $K^{n}$ の部分空間であることは、 定理 4.8（斉次連立一次方程式の解空間）において既に示しています。$f_{A}$ に対して、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いることで $\dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = n - \text{rank} \, A$ が直ちに導かれます。

（1）係数行列と線形写像の対応#

• 係数行列 $A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とします。

• $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間とは $A \bm{x} = \bm{0}$ の解全体の集合であり、これを $W$ と置くと、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} W &\overset{(1)}{=} \{\, \bm{x} \in K^{n} \mid A \bm{x} = \bm{0} \,\} \\ &\overset{(2)}{=} \{\, \bm{x} \in K^{n} \mid f_{A} (\bm{x}) = \bm{0} \,\} \\ &\overset{(2)}{=} \text{Ker} f_{A} \\ \end{split} $$
  • （$1$） 解空間の定義によります。
  • （$2$）$f_{A}$ の置き方により、$A \bm{x} = \bm{0}$ と $f_{A} (\bm{x}) = \bm{0}$ は $1$ 対 $1$ に対応します。
  • （$2$） 線型写像の核の定義によります。

• すなわち、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は $\text{Ker} f_{A}$ に等しいということです。

（2）部分空間であることの証明#

• $\text{Ker} f_{A}$ が $K^{n}$ の部分空間であることを示します。
• このことは、 定理 4.8（斉次連立一次方程式の解空間）に既に示されています。
• 定理 4.8（斉次連立一次方程式の解空間）を用いなくとも、 部分空間の定義により、次のように簡単に確かめられます。
  • 解空間の定義より、$\bm{x} \in \text{Ker} f_{A} \Rightarrow \bm{x} \in K^{n}$ であるので、$\text{Ker} f_{A} \subset K^{n}$、すなわち $\text{Ker} f_{A}$ が $K^{n}$ の部分集合であることは明らかです。
  • また、$f_{A}$ が線型写像であることから、$\text{Ker} f_{A}$ が和とスカラー倍の演算について閉じていることは明らかです。このことも、 部分空間の定義により、次のように確かめられます。

    • 和について、$\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2} \in \text{Ker} f_{A}$ とすれば、$f_{A} (\bm{x}_{1}) = \bm{0}, \, f_{A} (\bm{x}_{2}) = \bm{0}$ であることから、次が成り立ちます。

      $$ \begin{split} f_{A} (\, \bm{x}_{1} + \bm{x}_{2} \,) &= f_{A} (\bm{x}_{1}) + f_{A} (\bm{x}_{2}) \\ &= \bm{0} + \bm{0} \\ &= \bm{0} \\ \end{split} $$

    • スカラー倍について、$\bm{x}_{1} \in \text{Ker} f_{A}, \, c_{1} \in K$ とすれば、$f_{A} (\bm{x}_{1}) = \bm{0}$ であることから、次が成り立ちます。

      $$ \begin{split} f_{A} (\, c_{1} \bm{x}_{1} \,) &= c_{1} f_{A} (\bm{x}_{1}) \\ &= c_{1} \, \bm{0} \\ &= \bm{0} \\ \end{split} $$

（3）解空間の次元についての照明#

• $\text{Ker} f_{A}$ の次元が $n - \text{rank} \, A$ に等しいことを示します。

• $f_{A}$ に対して、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用します。

• $\dim K^{n} = n$ であること、 階数の定義より $\text{rank} \, A = \dim \text{Im} f_{A}$ であることから、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} \dim K^{n} = \dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) + \dim (\, \text{Im} f_{A} \,) \\ \Leftrightarrow \; n = \dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) + \text{rank} \, A \\ \Leftrightarrow \; \dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = n - \text{rank} \, A \end{gather*} $$

• 以上から、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元が $n - \text{rank} \, A$ に等しいことが示されました。

まとめ#

• 斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解全体の集合は $n$ 次元数ベクトル空間 $K^{n}$ の部分空間であり、その次元は $n - \text{rank} \, A$ に等しい。
• $(m, n)$ 型行列 $A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とすると、次が成り立つ。
  $$ \begin{equation*} \dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = n - \text{rank} \, A \end{equation*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.