行列の基本変形

行列の基本変形とは、行列に対する（可逆な）操作の集合です。基本変形により、階数などの特性を保ったまま、行列をより簡単な形に変形できます。

行列の基本変形は実用面において非常に重要であり、連立一次方程式の解法や逆行列の計算法などに利用できます。

基本変形の定義#

定義 5.1（行列の基本変形）#

行列に対する次の操作を、行列の基本変形（$\text{elementary transformation}$）という。

定義 5.1において $c$ は任意のスカラーを表しています（ $c \in K$ ）。

（$1$）$\sim$（$3$）を行に関する基本変形（または、単に行基本変形）、（$1^{\prime}$）$\sim$（$3^{\prime}$）を列に関する基本変形（または、単に列基本変形）といい、これらをまとめて行列の基本変形といいます。

定義から直ちにわかること#

定義 5.1から直ちにわかることとして、基本変形の各操作が可逆であることを示します。

すなわち、ある行列 $A$ に対して基本変形を施すことで別の行列 $A^{\prime}$ が得られたとすると、逆に行列 $A^{\prime}$ に対して基本変形を施すことで行列 $A$ を得ることができます。

これは、基本変形の重要な性質（というよりも要請）であり、基本変形が、階数などの行列の特性を保つ変形であることを担保しています。

また、定義 5.1より、当然ながら、基本変形は行列の型を変えません。

定理 5.7（基本変形の可逆性）#

行列の基本変形は可逆である。

証明#

行に関する基本変形について示す。（$1$）ある行列 $A$ の第 $i$ 行を $c$ 倍（$ c\neq 0$）して得られた行列を $A_{1}$ とすると、$A_{1}$ の 第 $i$ 行を $\displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, c \,}$ 倍することで $A$ が得られる。（$2$）ある行列 $A$ の第 $i$ 行を $c$ 倍して第 $j$ 行に加えることで得られた行列を $A_{2}$ とすると、$A_{2}$ の第 $i$ 行を $-c$ 倍して第 $j$ 行に加えることで $A$ が得られる。（$3$）ある行列 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えることで得られた行列を $A_{3}$ とすると、$A_{3}$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えることで $A$ が得られる。したがって、行に関する基本変形（$1$）$\sim$（$3$）は可逆である。列についても同様に考えることで、列に関する基本変形（$1^{\prime}$）$\sim$（$3^{\prime}$）も可逆であるといえる。$\quad \square$

定義 5.1から明らかといえます。

行に関する基本変形（$1$）$\sim$（$3$）と、列に関する基本変形（$1^{\prime}$）$\sim$（$3^{\prime}$）は、行と列に関して対称的であるので、どちらか一方について証明すれば良いです。

まとめ#

• 次の操作を、行列の基本変形という。

  （$1$）ある行を $c$ 倍（$c \neq 0$）する。
  （$2$）ある行を $c$ 倍して他の行に加える。
  （$3$）$2$ つの行を入れ替える。
  （$1^{\prime}$）ある列を $c$ 倍（$c \neq 0$）する。
  （$2^{\prime}$）ある列を $c$ 倍して他の列に加える。
  （$3^{\prime}$）$2$ つの列を入れ替える。

• 行列の基本変形は可逆である。

• 行列の基本変形は行列の型を変えない。

参考文献#