行列の基本変形

行列の基本変形とは、行列に対する可逆的な変形操作です。基本変形により、階数などの特性を保ったまま、行列をより簡単な形に変形できます。

行列の基本変形は、連立一次方程式の解法や逆行列の計算などにおいて重要な役割を果たします。

基本変形の定義#

まず、行列の基本変形の定義を示します。

定義 5.1（行列の基本変形）#

行列に対する次の操作を、行列の基本変形（$\text{elementary transformation}$）という。ここで、$c$ は任意のスカラーを表す（ $c \in K$ ）。

解説#

行基本変形と列基本変形#

行列の基本変形とは、行列に対する（可逆的な）変形操作の集合です。

上記の操作のうち（$1$）$\sim$（$3$）を行に関する基本変形（または、単に行基本変形）、（$1^{\prime}$）$\sim$（$3^{\prime}$）を列に関する基本変形（または、単に列基本変形）といいます。行基本変形と列基本変形を、まとめて行列の基本変形といいます。

基本変形の可逆性#

次に、行列の基本変形が可逆的であることを確かめます。

定理 5.7（基本変形の可逆性）#

行列の基本変形は可逆的である。

解説#

行列の基本変形は可逆的#

基本変形の各操作が可逆的であることは、定義から直ちに導くことができます。

すなわち、ある行列 $A$ に対して基本変形を施すことで別の行列 $A^{\prime}$ が得られたとすると、逆に行列 $A^{\prime}$ に対して基本変形を施すことで行列 $A$ を得ることができます。

これは、基本変形の重要な性質（というよりも要請）であり、基本変形が、階数などの行列の特性を保つ変形であることを担保しています。

行列の基本変形は行列の型を変えない#

また、基本変形の定義より、当然ながら、基本変形は行列の型を変えません。

証明#

行に関する基本変形について示す。（$1$）ある行列 $A$ の第 $i$ 行を $c$ 倍（$c\neq 0$）して得られた行列を $A_{1}$ とすると、$A_{1}$ の第 $i$ 行を $\displaystyle \frac{\, 1 \,}{\, c \,}$ 倍することで $A$ が得られる。（$2$）ある行列 $A$ の第 $i$ 行を $c$ 倍して第 $j$ 行に加えることで得られた行列を $A_{2}$ とすると、$A_{2}$ の第 $i$ 行を $-c$ 倍して第 $j$ 行に加えることで $A$ が得られる。（$3$）ある行列 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えることで得られた行列を $A_{3}$ とすると、$A_{3}$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えることで $A$ が得られる。したがって、行に関する基本変形（$1$）$\sim$（$3$）は可逆的である。

列についても同様に考えることで、列に関する基本変形（$1^{\prime}$）$\sim$（$3^{\prime}$）も可逆的であることが確かめられる。$\quad \square$

証明の考え方#

基本変形の定義から明らかといえます。

行に関する基本変形（$1$）$\sim$（$3$）と、列に関する基本変形（$1^{\prime}$）$\sim$（$3^{\prime}$）は、行と列に関して対称的であるので、どちらか一方について証明すれば良いです。

まとめ#

• 次の操作を、行列の基本変形という。

  （$1$）ある行を $c$ 倍（$c \neq 0$）する。
  （$2$）ある行を $c$ 倍して他の行に加える。
  （$3$）$2$ つの行を入れ替える。
  （$1^{\prime}$）ある列を $c$ 倍（$c \neq 0$）する。
  （$2^{\prime}$）ある列を $c$ 倍して他の列に加える。
  （$3^{\prime}$）$2$ つの列を入れ替える。

• 行列の基本変形は可逆的である。

• 行列の基本変形は行列の型を変えない。

参考文献#

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