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直交補空間の性質

部分空間の包含関係は、それぞれの直交補空間において逆転します。また、直交補空間をとることで、部分空間の「和空間」と「共通部分」は互いに入れ替わります。

これらは、いずれも直交補空間の包含関係に関して成り立つ性質です。

直交補空間の包含関係

定理 7.14 （直交補空間の包含関係）

VV を KK 上の計量ベクトル空間、W1,W2W_{1}, W_{2} を VV の部分空間とすると、次が成り立つ。

(1)W1⊂W2  ⇔  W2⊥⊂W1⊥(2)( W1+W2 )⊥ =  W1⊥∩W2⊥(3)( W1∩W2 )⊥ =  W1⊥+W2⊥ \begin{align*} & (1) & W_{1} \subset W_{2} \; &\Leftrightarrow \; W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \tag{7.3.5} \\ & (2) & {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} & \, = \; W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \tag{7.3.6} \\ & (3) & {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} & \, = \; W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \tag{7.3.7} \\ \end{align*}


解説

（1）部分空間と直交補空間の包含関係

定理 7.14 （直交補空間の包含関係）の（11）は、W1W_{1} が W2W_{2} の部分空間であることと、W2W_{2} の直交補空間（W2⊥W_{2}^{\perp}）が W1W_{1} の直交補空間（W1⊥W_{1}^{\perp}）の部分空間であることが同値であることを表しています。

すなわち、計量ベクトル空間 VV において、22 つの部分空間 W1,W2W_{1}, W_{2} の包含関係は、それぞれの直交補空間 W1⊥,W2⊥W_{1}^{\perp}, W_{2}^{\perp} において逆転するといえます。

（2）和空間の直交補空間

定理 7.14 （直交補空間の包含関係）の（22）は、22 つの部分空間 W1W_{1} と W2W_{2} の和空間の直交補空間 ( W1+W2 )⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} が、それぞれの直交補空間の共通部分 W1⊥∩W2⊥W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} に等しいことを表しています。

（3）共通部分の直交補空間

同様に、定理 7.14 （直交補空間の包含関係）の（33）は、22 つの部分空間 W1W_{1} と W2W_{2} の共通部分の直交補空間 ( W1∩W2 )⊥{(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} が、それぞれの直交補空間の和空間 W1⊥+W2⊥W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} に等しいことを表しています。

和空間と共通部分の直交補空間の対応関係

（22）と（33）はある種の対応関係にあります。（22）の左辺の「和空間」を「共通部分」に、右辺の「共通部分」を「和空間」に入れ替えたものが（33）に他なりません。また、（33）の左辺の「共通部分」を「和空間」に、右辺の「和空間」を「共通部分」に入れ替えたものが（22）になります。

くだけた表現でいえば、直交補空間をとることで、部分空間の「和空間」と「共通部分」は互いに入れ替わるといえます。

和空間と共通部分とは

W1∩W2W_{1} \cap W_{2} と W1+W2W_{1} + W_{2} は、それぞれ、W1W_{1} と W2W_{2} の共通部分と和空間を表しています。それぞれの定義は、次の通りです（定理 4.7（共通部分と和空間）参照）。

（11）共通部分（intersection\text{intersection}）
\quad W1∩W2={w∣w∈W1∧w∈W2}W_{1} \cap W_{2} = \{ \bm{w} \mid \bm{w} \in W_{1} \land \bm{w} \in W_{2} \}
（22）和集合（union\text{union}）
\quad W1∪W2={w∣w∈W1∨w∈W2}W_{1} \cup W_{2} = \{ \bm{w} \mid \bm{w} \in W_{1} \lor \bm{w} \in W_{2} \}
（33）和空間（sum of spaces\text{sum of spaces}）
\quad W1+W2={w1+w2∣w1∈W1,  w2∈W2}W_{1} + W_{2} = \{ \bm{w}_1 + \bm{w}_2 \mid \bm{w_1} \in W_{1}, \; \bm{w_2} \in W_{2} \}

和集合と和空間の違い

特に、W1W_{1} と W2W_{2} の和空間（W1+W2W_{1} + W_{2}）は、W1W_{1} と W2W_{2} の和集合（W1∪W2W_{1} \cup W_{2}）により生成される部分空間です。和空間と和集合を混同しないよう注意が必要です。

共通部分と和空間はともに部分空間

定理 4.7（共通部分と和空間）より、W1W_{1} と W2W_{2} の和空間（W1+W2W_{1} + W_{2}）と共通部分（W1∩W2W_{1} \cap W_{2}）はともに VV の部分空間です。


証明

（11）まず、W1⊂W2⇒W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} を導く。v∈W2⊥\bm{v} \in W_{2}^{\perp} とすると、任意の w2∈W2\bm{w}_{2} \in W_{2} に対して v⋅w2=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{2} = 0 が成り立つ。このとき、W1⊂W2W_{1} \subset W_{2} より、w1∈W1\bm{w}_{1} \in W_{1} ならば w1∈W2\bm{w}_{1} \in W_{2} であるから、任意の w1\bm{w}_{1} に対して v⋅w1=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{1} = 0 が成り立つ。よって、v∈W1⊥\bm{v} \in W_{1}^{\perp} となる。したがって、W1⊂W2⇒W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} 。

次に、W2⊥⊂W1⊥⇒W1⊂W2W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2} を導く。v∈W1\bm{v} \in W_{1} とすると、任意の w1⊥∈W1⊥\bm{w}_{1}^{\perp} \in W_{1}^{\perp} に対して v⋅w1⊥=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{1}^{\perp} = 0 が成り立つ。このとき、W2⊥⊂W1⊥W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} より、w2⊥∈W2⊥\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{2}^{\perp} ならば w2⊥∈W1⊥\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{1}^{\perp} であるから、任意の w2⊥\bm{w}_{2}^{\perp} に対して v⋅w2⊥=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{2}^{\perp} = 0 が成り立つ。よって、v∈W2\bm{v} \in W_{2} となる。したがって、W2⊥⊂W1⊥⇒W1⊂W2W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2} 。

以上から、W1⊂W2⇔W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Leftrightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} が成り立つ。


（22）W1⊂W1+W2W_{1} \subset W_{1} + W_{2} かつ W2⊂W1+W2W_{2} \subset W_{1} + W_{2} であることから、（11）より、( W1+W2 )⊥⊂W1⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} かつ ( W1+W2 )⊥⊂W2⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{2}^{\perp} が成り立つ。すなわち、w∈( W1+W2 )⊥\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} とすると、w∈W1⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} かつ w∈W2⊥\bm{w} \in W_{2}^{\perp} であるから、w∈W1⊥∩W2⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} となる。したがって、( W1+W2 )⊥⊂W1⊥∩W2⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} 。

逆に、w∈W1⊥∩W2⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} とすると、w∈W1⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} かつ w∈W2⊥\bm{w} \in W_{2}^{\perp} であるから、任意の w1∈W1\bm{w}_{1} \in W_{1} と w2∈W2\bm{w}_{2} \in W_{2} について w⋅w1=0, w⋅w2=0\bm{w} \cdot \bm{w}_{1} = 0, \, \bm{w} \cdot \bm{w}_{2} = 0 が成り立つ。したがって、任意の w1+w2∈W1+W2\bm{w}_{1} + \bm{w}_{2} \in W_{1} + W_{2} に対して、次が成り立つ。

w⋅(w1+w2)=w⋅w1+w⋅w2=0+0=0 \begin{align*} \bm{w} \cdot (\bm{w}_{1} + \bm{w}_{2}) &= \bm{w} \cdot \bm{w}_{1} + \bm{w} \cdot \bm{w}_{2} \\ &= 0 + 0 \\ &= 0 \\ \end{align*}

よって、w∈( W1+W2 )⊥\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} であり、W1⊥∩W2⊥⊂( W1+W2 )⊥W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} 。

以上から、( W1+W2 )⊥=( W1∩W2 )⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} = {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} が成り立つ。


（33）W1⊥W_{1}^{\perp} と W2⊥W_{2}^{\perp} はともに VV の部分空間であるから、（22）より、次が成り立つ。

( W1⊥+W2⊥ )⊥=(W1⊥)⊥∩(W2⊥)⊥=W1∩W2 \begin{align*} {(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} &= {(W_{1}^{\perp})}^{\perp} \cap {(W_{2}^{\perp})}^{\perp} \\ &= W_{1} \cap W_{2} \end{align*}

したがって、次が成り立つ。

( W1∩W2 )⊥={ ( W1⊥+W2⊥ )⊥ }⊥=W1⊥+W2⊥ \begin{align*} {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} % &= {\left\{\, {(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} \,\right\}}^{\perp} \\ &= {\big\{\, {(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} \,\big\}}^{\perp} \\ &= W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \tag*{□\square} \end{align*}


証明の考え方

（11）直交補空間の定義にしたがって、W1⊂W2⇒W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} かつ W2⊥⊂W1⊥⇒W1⊂W2W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2} が成り立つことを示します。

（22）と（33）の証明では、それぞれ（11）と（22）を利用します。

（1）の証明

W1⊂W2⇒W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} の証明
  • まず、W1⊂W2W_{1} \subset W_{2} ならば W2⊥⊂W1⊥W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} であることを示します。
    • これは、W1⊂W2W_{1} \subset W_{2} を仮定して、W2⊥⊂W1⊥W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} が成り立つことを示せばよいです。
    • すなわち、v∈W2⊥⇒v∈W1⊥\bm{v} \in W_{2}^{\perp} \Rightarrow \bm{v} \in W_{1}^{\perp} を導きます。
  • いま、v∈W2⊥\bm{v} \in W_{2}^{\perp} とすると、直交補空間の定義より、任意の w2∈W2\bm{w}_{2} \in W_{2} に対して v⋅w2=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{2} = 0 が成り立ちます。
  • また、仮定より W1⊂W2W_{1} \subset W_{2} なので、w1∈W1\bm{w}_{1} \in W_{1} ならば w1∈W2\bm{w}_{1} \in W_{2} が成り立ちます。よって、v\bm{v} について、任意の w1∈W1\bm{w}_{1} \in W_{1} に対して v⋅w1=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{1} = 0 が成り立ちます。再び直交補空間の定義より、これは v∈W1⊥\bm{v} \in W_{1}^{\perp} を意味します。
  • したがって、W1⊂W2⇒W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} が成り立つといえます。
W2⊥⊂W1⊥⇒W1⊂W2W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2} の証明
  • 次に、W2⊥⊂W1⊥W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} ならば W1⊂W2W_{1} \subset W_{2} であることを示します。
    • 同様に、W2⊥⊂W1⊥W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} を仮定して、W1⊂W2W_{1} \subset W_{2} が成り立つことを示せばよいです。
    • すなわち、v∈W1⇒v∈W2\bm{v} \in W_{1} \Rightarrow \bm{v} \in W_{2} を導きます。
  • いま、v∈W1\bm{v} \in W_{1} とすると、直交補空間の定義より、任意の w1⊥∈W1⊥\bm{w}_{1}^{\perp} \in W_{1}^{\perp} に対して v⋅w1⊥=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{1}^{\perp} = 0 が成り立ちます。
  • また、仮定より、W2⊥⊂W1⊥W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} なので、w2⊥∈W2⊥\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{2}^{\perp} ならば w2⊥∈W1⊥\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{1}^{\perp} が成り立ちます。よって、v\bm{v} について、任意の w2⊥\bm{w}_{2}^{\perp} に対して v⋅w2⊥=0\bm{v} \cdot \bm{w}_{2}^{\perp} = 0 が成り立ちます。したがって、v∈W2\bm{v} \in W_{2} となります。
  • したがって、W2⊥⊂W1⊥⇒W1⊂W2W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2} が成り立つといえます。
（1）の証明のまとめ
  • 以上から、W1⊂W2⇒W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} かつ W2⊥⊂W1⊥⇒W1⊂W2W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2} が成り立つので、W1⊂W2⇔W2⊥⊂W1⊥W_{1} \subset W_{2} \Leftrightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} であることが示されました。

（2）の証明

( W1+W2 )⊥⊂W1⊥∩W2⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} の証明

  • まず、( W1+W2 )⊥⊂W1⊥∩W2⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} であることを示します。

    • これは、w∈( W1+W2 )⊥⇒w∈W1⊥∩W2⊥\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \Rightarrow \bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} を導くことで示せます。

  • いま、和空間の定義より、次が成り立ちます。

    W1⊂W1+W2W2⊂W1+W2 \begin{gather*} & W_{1} \subset W_{1} + W_{2} \\ & W_{2} \subset W_{1} + W_{2} \end{gather*}

  • また、（11）より、次が成り立ちます。

    W1⊂W1+W2  ⇔  ( W1+W2 )⊥⊂W1⊥W2⊂W1+W2  ⇔  ( W1+W2 )⊥⊂W2⊥ \begin{gather*} W_{1} \subset W_{1} + W_{2} \; \Leftrightarrow \; {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \\ W_{2} \subset W_{1} + W_{2} \; \Leftrightarrow \; {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{2}^{\perp} \end{gather*}

  • すなわち、w∈( W1+W2 )⊥\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} ならば w∈W1⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} かつ w∈W2⊥\bm{w} \in W_{2}^{\perp} であり、w∈W1⊥∩W2⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} が成り立ちます。

  • したがって、( W1+W2 )⊥⊂W1⊥∩W2⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} が成り立ちます。

W1⊥∩W2⊥⊂( W1+W2 )⊥W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} の証明

  • 次に、W1⊥∩W2⊥⊂( W1+W2 )⊥W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} であることを示します。

    • 同様に、w∈W1⊥∩W2⊥⇒w∈( W1+W2 )⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \Rightarrow \bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} を導くことで、これを示します。

  • いま、w∈W1⊥∩W2⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} とすると、w∈W1⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} かつ w∈W2⊥\bm{w} \in W_{2}^{\perp} であるから、直交補空間の定義より、任意の w1∈W1\bm{w}_{1} \in W_{1} と w2∈W2\bm{w}_{2} \in W_{2} について w⋅w1=0, w⋅w2=0\bm{w} \cdot \bm{w}_{1} = 0, \, \bm{w} \cdot \bm{w}_{2} = 0 が成り立ちます。

  • したがって、任意の w1+w2∈W1+W2\bm{w}_{1} + \bm{w}_{2} \in W_{1} + W_{2} に対して、次が成り立ちます。

    w⋅(w1+w2)=w⋅w1+w⋅w2=0+0=0 \begin{align*} \bm{w} \cdot (\bm{w}_{1} + \bm{w}_{2}) &= \bm{w} \cdot \bm{w}_{1} + \bm{w} \cdot \bm{w}_{2} \\ &= 0 + 0 \\ &= 0 \\ \end{align*}

  • よって、w∈W1⊥∩W2⊥\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} ならば w∈( W1+W2 )⊥\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} であり、W1⊥∩W2⊥⊂( W1+W2 )⊥W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} が成り立ちます。

（2）の証明のまとめ
  • 以上から、( W1+W2 )⊥⊂W1⊥∩W2⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} かつ W1⊥∩W2⊥⊂( W1+W2 )⊥W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} であり、したがって、 ( W1+W2 )⊥=( W1∩W2 )⊥{(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} = {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} が成り立つことが示されました。

（3）の証明

  • （22）を用いて、( W1⊥+W2⊥ )⊥=W1∩W2{(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} = W_{1} \cap W_{2} であることを導きます。

    • 上記の考察の通り、（22）と（33）は、直交補空間をとることで、部分空間の「和空間」と「共通部分」が互いに入れ替わることを表しています。
    • したがって、（22）と（33）のいずれかが示されていれば、もう一方はその裏返しなります。

  • いま、W1⊥W_{1}^{\perp} と W2⊥W_{2}^{\perp} はともに VV の部分空間であるから、W1⊥W_{1}^{\perp} と W2⊥W_{2}^{\perp} の和空間に対して（22）を適用すると、次が成り立ちます。

    ( W1⊥+W2⊥ )⊥=(i)(W1⊥)⊥∩(W2⊥)⊥=(ii)W1∩W2 \begin{align*} {(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} &\overset{(\text{i})}{=} {(W_{1}^{\perp})}^{\perp} \cap {(W_{2}^{\perp})}^{\perp} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} W_{1} \cap W_{2} \tag{∗\ast} \end{align*}

    • （i\text{i}）W1⊥W_{1}^{\perp} と W2⊥W_{2}^{\perp} に対して（22）を適用することで得られます。
    • （ii\text{ii}）前項の定理 7.13（直交補空間）によります。すなわち、直交補空間の直交補空間はもとの部分空間に等しくなります。

  • （∗\ast）式において、両辺の直交補空間をとることで、次が得られます。

    ( W1∩W2 )⊥=(i){ ( W1⊥+W2⊥ )⊥ }⊥=(ii)W1⊥+W2⊥ \begin{align*} {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} &\overset{(\text{i})}{=} {\big\{\, {(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} \,\big\}}^{\perp} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \end{align*}

  • 以上から、( W1∩W2 )⊥=W1⊥+W2⊥{(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} = W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} が得られ、題意が示されました。


まとめ

  • VV を KK 上の計量ベクトル空間、W1,W2W_{1}, W_{2} を VV の部分空間とすると、次が成り立つ。

    (1)W1⊂W2  ⇔  W2⊥⊂W1⊥(2)( W1+W2 )⊥ =  W1⊥∩W2⊥(3)( W1∩W2 )⊥ =  W1⊥+W2⊥ \begin{align*} & (1) & W_{1} \subset W_{2} \; &\Leftrightarrow \; W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \\ & (2) & {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} & \, = \; W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \\ & (3) & {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} & \, = \; W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \\ \end{align*}

    • （11）部分空間の包含関係は、それぞれの直交補空間において逆転する。
    • （22）部分空間の和空間の直交補空間は、それぞれの直交補空間の共通部分に等しい。
    • （33）部分空間の共通部分の直交補空間は、それぞれの直交補空間の和空間に等しい。

参考文献

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初版：2023-11-22   |   改訂：2025-03-24
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