直交補空間の性質

部分空間の包含関係は、それぞれの直交補空間において逆転します。また、直交補空間をとることで、部分空間の「和空間」と「共通部分」は互いに入れ替わります。

これらは、いずれも直交補空間の包含関係に関して成り立つ性質です。

直交補空間の包含関係#

定理 7.14（直交補空間の包含関係）#

$V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間、$W_{1}, W_{2}$ を $V$ の部分空間とすると、次が成り立つ。

解説#

（1）部分空間と直交補空間の包含関係#

定理 7.14（直交補空間の包含関係）の（$1$）は、$W_{1}$ が $W_{2}$ の部分空間であることと、$W_{2}$ の直交補空間（$W_{2}^{\perp}$）が $W_{1}$ の直交補空間（$W_{1}^{\perp}$）の部分空間であることが同値であることを表しています。

すなわち、計量ベクトル空間 $V$ において、$2$ つの部分空間 $W_{1}, W_{2}$ の包含関係は、それぞれの直交補空間 $W_{1}^{\perp}, W_{2}^{\perp}$ において逆転するといえます。

（2）和空間の直交補空間#

定理 7.14（直交補空間の包含関係）の（$2$）は、$2$ つの部分空間 $W_{1}$ と $W_{2}$ の和空間の直交補空間 ${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ が、それぞれの直交補空間の共通部分 $W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ に等しいことを表しています。

（3）共通部分の直交補空間#

同様に、 定理 7.14（直交補空間の包含関係）の（$3$）は、$2$ つの部分空間 $W_{1}$ と $W_{2}$ の共通部分の直交補空間 ${(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp}$ が、それぞれの直交補空間の和空間 $W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp}$ に等しいことを表しています。

和空間と共通部分の直交補空間の対応関係#

（$2$）と（$3$）はある種の対応関係にあります。（$2$）の左辺の「和空間」を「共通部分」に、右辺の「共通部分」を「和空間」に入れ替えたものが（$3$）に他なりません。また、（$3$）の左辺の「共通部分」を「和空間」に、右辺の「和空間」を「共通部分」に入れ替えたものが（$2$）になります。

くだけた表現でいえば、直交補空間をとることで、部分空間の「和空間」と「共通部分」は互いに入れ替わるといえます。

和空間と共通部分とは#

$W_{1} \cap W_{2}$ と $W_{1} + W_{2}$ は、それぞれ、$W_{1}$ と $W_{2}$ の 共通部分と 和空間を表しています。それぞれの定義は、次の通りです（ 定理 4.7（共通部分と和空間）参照）。

和集合と和空間の違い#

特に、$W_{1}$ と $W_{2}$ の和空間（$W_{1} + W_{2}$）は、$W_{1}$ と $W_{2}$ の和集合（$W_{1} \cup W_{2}$）により生成される部分空間です。和空間と和集合を混同しないよう注意が必要です。

共通部分と和空間はともに部分空間#

定理 4.7（共通部分と和空間）より、$W_{1}$ と $W_{2}$ の和空間（$W_{1} + W_{2}$）と共通部分（$W_{1} \cap W_{2}$）はともに $V$ の部分空間です。

証明#

（$1$）まず、$W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ を導く。$\bm{v} \in W_{2}^{\perp}$ とすると、任意の $\bm{w}_{2} \in W_{2}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{2} = 0$ が成り立つ。このとき、$W_{1} \subset W_{2}$ より、$\bm{w}_{1} \in W_{1}$ ならば $\bm{w}_{1} \in W_{2}$ であるから、任意の $\bm{w}_{1}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{1} = 0$ が成り立つ。よって、$\bm{v} \in W_{1}^{\perp}$ となる。したがって、$W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ 。

次に、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2}$ を導く。$\bm{v} \in W_{1}$ とすると、任意の $\bm{w}_{1}^{\perp} \in W_{1}^{\perp}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{1}^{\perp} = 0$ が成り立つ。このとき、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ より、$\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{2}^{\perp}$ ならば $\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{1}^{\perp}$ であるから、任意の $\bm{w}_{2}^{\perp}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{2}^{\perp} = 0$ が成り立つ。よって、$\bm{v} \in W_{2}$ となる。したがって、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2}$ 。

以上から、$W_{1} \subset W_{2} \Leftrightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ が成り立つ。

（$2$）$W_{1} \subset W_{1} + W_{2}$ かつ $W_{2} \subset W_{1} + W_{2}$ であることから、 （$1$）より、${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ かつ ${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{2}^{\perp}$ が成り立つ。すなわち、$\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ とすると、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp}$ かつ $\bm{w} \in W_{2}^{\perp}$ であるから、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ となる。したがって、${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ 。

逆に、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ とすると、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp}$ かつ $\bm{w} \in W_{2}^{\perp}$ であるから、任意の $\bm{w}_{1} \in W_{1}$ と $\bm{w}_{2} \in W_{2}$ について $\bm{w} \cdot \bm{w}_{1} = 0, \, \bm{w} \cdot \bm{w}_{2} = 0$ が成り立つ。したがって、任意の $\bm{w}_{1} + \bm{w}_{2} \in W_{1} + W_{2}$ に対して、次が成り立つ。

よって、$\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ であり、$W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ 。

以上から、${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} = {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp}$ が成り立つ。

（$3$）$W_{1}^{\perp}$ と $W_{2}^{\perp}$ はともに $V$ の部分空間であるから、 （$2$）より、次が成り立つ。

したがって、次が成り立つ。

証明の考え方#

（$1$） 直交補空間の定義にしたがって、$W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ かつ $W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2}$ が成り立つことを示します。

（$2$）と（$3$）の証明では、それぞれ（$1$）と（$2$）を利用します。

（1）の証明#

$W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ の証明#

• まず、$W_{1} \subset W_{2}$ ならば $W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ であることを示します。
  • これは、$W_{1} \subset W_{2}$ を仮定して、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ が成り立つことを示せばよいです。
  • すなわち、$\bm{v} \in W_{2}^{\perp} \Rightarrow \bm{v} \in W_{1}^{\perp}$ を導きます。
• いま、$\bm{v} \in W_{2}^{\perp}$ とすると、 直交補空間の定義より、任意の $\bm{w}_{2} \in W_{2}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{2} = 0$ が成り立ちます。
• また、仮定より $W_{1} \subset W_{2}$ なので、$\bm{w}_{1} \in W_{1}$ ならば $\bm{w}_{1} \in W_{2}$ が成り立ちます。よって、$\bm{v}$ について、任意の $\bm{w}_{1} \in W_{1}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{1} = 0$ が成り立ちます。再び 直交補空間の定義より、これは $\bm{v} \in W_{1}^{\perp}$ を意味します。
• したがって、$W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ が成り立つといえます。

$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2}$ の証明#

• 次に、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ ならば $W_{1} \subset W_{2}$ であることを示します。
  • 同様に、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ を仮定して、$W_{1} \subset W_{2}$ が成り立つことを示せばよいです。
  • すなわち、$\bm{v} \in W_{1} \Rightarrow \bm{v} \in W_{2}$ を導きます。
• いま、$\bm{v} \in W_{1}$ とすると、 直交補空間の定義より、任意の $\bm{w}_{1}^{\perp} \in W_{1}^{\perp}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{1}^{\perp} = 0$ が成り立ちます。
• また、仮定より、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ なので、$\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{2}^{\perp}$ ならば $\bm{w}_{2}^{\perp} \in W_{1}^{\perp}$ が成り立ちます。よって、$\bm{v}$ について、任意の $\bm{w}_{2}^{\perp}$ に対して $\bm{v} \cdot \bm{w}_{2}^{\perp} = 0$ が成り立ちます。したがって、$\bm{v} \in W_{2}$ となります。
• したがって、$W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2}$ が成り立つといえます。

（1）の証明のまとめ#

• 以上から、$W_{1} \subset W_{2} \Rightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ かつ $W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \Rightarrow W_{1} \subset W_{2}$ が成り立つので、$W_{1} \subset W_{2} \Leftrightarrow W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp}$ であることが示されました。

（2）の証明#

${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ の証明#

• まず、${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ であることを示します。

  • これは、$\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \Rightarrow \bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ を導くことで示せます。

• いま、 和空間の定義より、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & W_{1} \subset W_{1} + W_{2} \\ & W_{2} \subset W_{1} + W_{2} \end{gather*} $$

• また、 （$1$）より、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} W_{1} \subset W_{1} + W_{2} \; \Leftrightarrow \; {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \\ W_{2} \subset W_{1} + W_{2} \; \Leftrightarrow \; {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{2}^{\perp} \end{gather*} $$

• すなわち、$\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ ならば $\bm{w} \in W_{1}^{\perp}$ かつ $\bm{w} \in W_{2}^{\perp}$ であり、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ が成り立ちます。

• したがって、${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ が成り立ちます。

$W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ の証明#

• 次に、$W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ であることを示します。

  • 同様に、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \Rightarrow \bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ を導くことで、これを示します。

• いま、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ とすると、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp}$ かつ $\bm{w} \in W_{2}^{\perp}$ であるから、 直交補空間の定義より、任意の $\bm{w}_{1} \in W_{1}$ と $\bm{w}_{2} \in W_{2}$ について $\bm{w} \cdot \bm{w}_{1} = 0, \, \bm{w} \cdot \bm{w}_{2} = 0$ が成り立ちます。

• したがって、任意の $\bm{w}_{1} + \bm{w}_{2} \in W_{1} + W_{2}$ に対して、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \bm{w} \cdot (\bm{w}_{1} + \bm{w}_{2}) &= \bm{w} \cdot \bm{w}_{1} + \bm{w} \cdot \bm{w}_{2} \\ &= 0 + 0 \\ &= 0 \\ \end{align*} $$

• よって、$\bm{w} \in W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ ならば $\bm{w} \in {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ であり、$W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ が成り立ちます。

（2）の証明のまとめ#

• 以上から、${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp}$ かつ $W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \subset {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp}$ であり、したがって、 ${(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} = {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp}$ が成り立つことが示されました。

（3）の証明#

• （$2$）を用いて、${(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} = W_{1} \cap W_{2}$ であることを導きます。

  • 上記の考察の通り、 （$2$）と （$3$）は、直交補空間をとることで、部分空間の「和空間」と「共通部分」が互いに入れ替わることを表しています。
  • したがって、 （$2$）と （$3$）のいずれかが示されていれば、もう一方はその裏返しなります。

• いま、$W_{1}^{\perp}$ と $W_{2}^{\perp}$ はともに $V$ の部分空間であるから、$W_{1}^{\perp}$ と $W_{2}^{\perp}$ の和空間に対して （$2$）を適用すると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} {(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} &\overset{(\text{i})}{=} {(W_{1}^{\perp})}^{\perp} \cap {(W_{2}^{\perp})}^{\perp} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} W_{1} \cap W_{2} \tag{$\ast$} \end{align*} $$
  • （$\text{i}$）$W_{1}^{\perp}$ と $W_{2}^{\perp}$ に対して （$2$）を適用することで得られます。
  • （$\text{ii}$） 前項の 定理 7.13（直交補空間）によります。すなわち、直交補空間の直交補空間はもとの部分空間に等しくなります。

• （$\ast$）式において、両辺の直交補空間をとることで、次が得られます。

  $$ \begin{align*} {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} &\overset{(\text{i})}{=} {\big\{\, {(\, W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \,)}^{\perp} \,\big\}}^{\perp} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \end{align*} $$
  • （$\text{i}$） （$\ast$）式の両辺の直交補空間をとります。
  • （$\text{ii}$） 前項の 定理 7.13（直交補空間）によります。すなわち、直交補空間の直交補空間はもとの部分空間に等しくなります。

• 以上から、${(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} = W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp}$ が得られ、題意が示されました。

まとめ#

• $V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間、$W_{1}, W_{2}$ を $V$ の部分空間とすると、次が成り立つ。

  $$ \begin{align*} & (1) & W_{1} \subset W_{2} \; &\Leftrightarrow \; W_{2}^{\perp} \subset W_{1}^{\perp} \\ & (2) & {(\, W_{1} + W_{2} \,)}^{\perp} & \, = \; W_{1}^{\perp} \cap W_{2}^{\perp} \\ & (3) & {(\, W_{1} \cap W_{2} \,)}^{\perp} & \, = \; W_{1}^{\perp} + W_{2}^{\perp} \\ \end{align*} $$
  • （$1$）部分空間の包含関係は、それぞれの直交補空間において逆転する。
  • （$2$）部分空間の和空間の直交補空間は、それぞれの直交補空間の共通部分に等しい。
  • （$3$）部分空間の共通部分の直交補空間は、それぞれの直交補空間の和空間に等しい。

参考文献

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